§ 30. Распространение упругих волн в стержнях.

Совершенно иначе будет обстоять дело в том случае, когда по стержню производят удар со значительной скоростью. Для того чтобы выяснить характер деформации стержня в этом случае, предположим сначала, что к концу весьма длинного стержня внезапно приложена сила Р, которой соответствуют напряжение и упругая деформация . По истечении времени t после приложения силы картина будет следующая. Участок стержня длины будет равномерно сжат или растянут в зависимости от направления силы, остальная часть стержня останется еще ненапряженной.

Сечение (рис. 37), являющееся границей между напряженной и ненапряженной частями стержня, называется фронтом упругой волны. Фронт упругой волны движется со скоростью с, которая зависит только от материала стержня.

Рис. 37.

Возьмем некоторое фиксированное сечение которое в данный момент времени находится на расстоянии от фронта волны. Участок между сечениями равномерно сжат, относительная деформация есть , следовательно, сечение сместилось из первоначального своего положения на расстояние

В бесконечно близкий момент времени фронт волны переместился на величину с на эту же величину увеличилось расстояние от фиксированного сечения до фронта волны, перемещение этого сечения стало

Скорость движения сечения есть

Таким образом, мы установили, что при постоянной сжимающей силе все сечения, находящиеся позади фронта волны, движутся с постоянной скоростью. Отсюда можно сделать и обратное заключение, а именно: если заставить конец стержня двигаться с постоянной скоростью, позади фронта волны напряжения будут всюду и все время постоянными. Представим себе, например, удар по стержню телом весьма большой массы, движущимся со скоростью v. Деформация при этом будет

и по закону Гука

Осталось определить величину скорости распределения упругой волны с. Для этого выделим из рассматриваемого стержня участок длины между сечениями 1—1 и 2—2 (рис. 38). Пусть в момент времени t фронт упругой волны проходит через сечение 1—1, в момент через сечение 2—2. Для этого нужно, чтобы было

Рис. 38.

Применим к выделенной части стержня второй закон Ньютона. В течение времени в сечении 1—1 действует сила , сечение 2—2 остается ненапряженным, следовательно, импульс силы равен .

В момент времени t вся выделенная часть стержня была в покое, в момент вся она движется со скоростью следовательно, изменение количества движения есть

Здесь q — плотность, - площадь сечения.

Приравнивая импульс силы изменению количества движения и используя соотношение между , а также закон Гука, найдем:

Приводим значения с для некоторых материалов:

Формула (30.1) показывает, что уже при сравнительно небольших скоростях соударения неизбежны пластические деформации. Действительно, для стали, например, если предел текучести равен 3000 и модуль упругости , для появления пластических деформаций достаточно выбрать скорость удара превышающей 7,4 м/сек, что соответствует высоте падения всего 2,8 м.

Предположим теперь, что постоянная сила действовала на конец стержня не все время, а в течение определенного отрезка времени . График зависимости силы Р от времени приведен на рис. 39, а, при при при

Пока было , фронт упругой волны успел распространиться на длину за фронтом всюду напряжение постоянно и равно а, эпюра распространения напряжений изображена на рис. 39, б. При фронт ушел на расстояние . При картина меняется, на конце сила уже не действует, значит, напряжение на конце равно нулю. Свободная от напряжений область распространяется по стержню с той же скоростью с, образуется задний фронт волны, эпюра распространения напряжений выглядит так, как показано на рис. 39, в, она движется, сохраняя неизменную форму, со скоростью с. Таким образом, эпюра распределения напряжений по длине стержня воспроизводит график изменения силы, действующей на конце, во времени.

Рис. 39.

Скорости за задним фронтом волны равны нулю, смещение же остается постоянным.

Сделанный вывод можно распространить и на случай, когда сила Р меняется во времени по произвольному закону. Пусть этот закон задан некоторым графиком. Заменяя кривую ступенчатой ломаной, мы сведем дело к рассмотрению последовательности волн, посылаемых вдоль стержня весьма кратковременными нагрузками постоянной интенсивности, то есть к рассмотренному случаю, а переходя к пределу, получим перемещающуюся вдоль стержня эпюру распределения напряжений по длине, которая в точности воспроизводит график изменения силы во времени. Заметим, что если в сечении с координатой х поставить прибор, позволяющий замерить напряжение, зависимость напряжения от времени будет повторять зависимость от времени напряжения на конце, только со сдвигом на время .

Если масса тела, ударяющего о стержень, не бесконечно велика, движение его будет замедленным. Скорость v, с которой происходит соударение, определяет по формуле (30.1) наибольшее напряжение в момент удара, в последующие моменты скорость будет меньше, уменьшится и напряжение. Таким образом, формула (30.1) является совершенно общей, если только стержень достаточно длинен, В коротких стержнях может оказаться, что передний фронт волны дойдет до другого конца стержня, пока еще скорость груза особенно не уменьшилась и напряжение достаточно велико. От второго конца пойдёт отраженная волна в противоположном направлении, и наложение этих волн даст напряжения большие, чем те, которые получаются по формуле (30.1). Последняя формула, строго говоря, верна лишь для стержня бесконечно большой длины, а практически для длинного стержня, по которому производится удар телом малой массы. Если масса ударяющего тела велика по сравнению с массой стержня, расчет нужно производить по формуле (29.2), которую можно преобразовать к следующему виду:

Здесь М — масса груза, — масса стержня. Как видно, напряжения по этой формуле оказываются значительно большими, чем по формуле (30.1).