§ 157. Интеграл перемещений.

Для определения перемещений в стержневых системах, элементы которых работают на растяжение, изгиб и кручение, можно получить из теоремы Кастильяно очень простую формулу. Воспользуемся для этого вариационной записью теоремы Кастильяно (154.2):

Пусть нам нужно определить перемещение в точке номер s. Предположим, что все силы остаются неизменными, варьируется лишь сила (в частном случае бывшая равной нулю). От изменения силы которая получает приращение изменяются усилия, в стержнях, крутящие моменты и изгибающие моменты. Очевидно, что изменения усилий и моментов пропорциональны поэтому мы обозначим изменение продольной силы через изменение крутящегося момента через изменение изгибающего момента через . Величины представляют собою продольную силу, крутящий момент и изгибающий момент, вызванные единичной силой, то есть силой, величина которой равна единице, приложенной в точке s.

В левой части уравнения (157.1) мы получим:

Первоначальное значение есть

Ее приращенное значение

Пренебрегая квадратом малой величины и сокращая ее, «о формуле (157.1) получим:

Формула (157.2) представляет собою так называемый интеграл перемещений, или интеграл Мора.

Для примера решим задачу об определении перемещения точки А криволинейного стержня, изображенного на рис. 232. Влиянием продольной силы N, на перемещение можно пренебречь. Изгибающий момент от силы Р есть

Обозначим номером 1 вертикальное направление, номером 2 — горизонтальное Приложим единичную силу в направлении 1 и в направлении 2. Соответствующие моменты:

Рис. 232.

Для перемещений по формуле (157.2) получим:

При решении этой задачи мы пользовались зависимостью между изменением кривизны и изгибающим моментом, следующей из теории прямого бруса, считая размеры сечения малыми по сравнению с радиусом R.

Этот пример очень отчетливо выявляет преимущества энергетических теорем.

Желая подсчитать тот же прогиб без этих теорем, мы должны были бы составлять дифференциальное уравнение изогнуто» оси криволинейного стержня, что требует геометрического рассмотрения. Формула (157.2) дает результат совершенно автоматически. То же относится к расчету винтовой пружины. Чтобы вывести формулу (155.1) без помощи теоремы Кастильяно, нужно прибегнуть к довольно сложным и малонаглядным геометрическим рассуждениям, тогда как упомянутая теорема дает результат немедленно.