§ 36. Общий случай плоского напряженного состояния.

Общий случай плоского напряженного состояния реализуется тогда, когда все плоскости, параллельные некоторой, свободны от напряжений. Примем одну из этих плоскостей за плоскость направим оси х и у произвольным образом в этой плоскости. Рассмотрим теперь призму, грани которой параллельны плоскостям действующие на эти грани напряжения обозначим так, как показано на рис. 46, а. Для равновесия прнзмы необходимо, чтобы было .

Рис. 46.

Это следует из уравнения моментов относительно оси . Если измерения призмы суть , то площадь грани, перпендикулярной оси есть касательная сила плечо а, таким образом, момент равен аналогично момент касательной силы, приложенной к грани, перпендикулярной оси у, есть — . Приравнивая эти моменты, находим:

Рассмотренный случай представляет собою самый общий случай плоского напряженного состояния, величины и называются компонентами тензора напряжений.

Напряженное состояние, изображенное на рис. 46, а, является однородным напряженным состоянием, если, как это принято, все напряжения распределены равномерно по граням и одинаковы на противоположных гранях. В общем случае компоненты тензора напряжений меняются от точки к точке, то есть являются функциями координат х и у.

Следующие ниже выводы относятся также и к неоднородному напряженному состоянию, если считать размеры а и b бесконечно малыми.

Докажем следующие теоремы:

I. Произвольное плоское напряженное состояние приводится к растяжению — сжатию по двум взаимно перпендикулярным направлениям.

II. Задание компонент тензора напряжений и позволяет найти вектор напряжения на любой площадке, а следовательно, полностью определяет напряженное состояние в точке.

Для доказательства первой теоремы заметим, что если напряженное состояние, изображенное на рис. 46, а, является результатом растяжения — сжатия с напряжениями и а, на площадках, перпендикулярных некоторым осям 1 и 2, то по формулам. (34.2) и (34.3), отождествляя направление оси с направлением и оси у с направлением имеем:

Применяя формулы (34.2), мы заменили в них а через так как направления отсчета углов на рис. 44 и 46 оказываются противоположными.

Будем считать в этих уравнениях известными, а — искомыми величинами. Возможность решения написанной системы уравнений относительно доказывает первую теорему. Складывая два первых уравнения, найдем:

Вычтем теперь из первого уравнения второе:

Возведем в квадрат последнее равенство, а также уравнение (36.3) и сложим. Получим:

Выбор знака в последнем равенстве произволен, поэтому мы условимся принимать за наибольшее напряжение, за — наименьшее. Тогда перед радикалом нужно удержать знак плюс. Из (36.4) и (36.6) следует:

Разделив (36.3) на (36.5), получим:

Через , обозначен угол между осью х и направлением через — угол между осью х и направлением . Уравнение (36.8) дает два решения, разнящиеся. между собою на 90°.

Вывод этих формул может быть заменен графическим построением диаграммы Мора (рис. 46, б). Нанесем в плоскости точку с координатами и точку у с координатами . Соединяющая их прямая должна быть диаметром круга, следовательно, точка С есть его центр. Координата центра:

Для вычисления радиуса R рассмотрим треугольник, заштрихованный на чертеже. Катеты его: . Следовательно,

Точки 1 и 2 соответствуют площадкам, свободным от касательных напряжений; соответствующие нормальные напряжения суть

что совпадает с формулой (36.7).

Чтобы найти направление оси 1, воспользуемся правилом предыдущего параграфа. Кратчайший путь от точки к точке 1 на круге Мора измеряется дугой в направлении по часовой стрелке, поэтому для нахождения оси 1 следует отложить угол а против часовой стрелки от оси Это и сделано на рис. 46, а.

Формула (36.8) получается из рассмотрения заштрихованного треугольника. Недостаток ее состоит в том, что, зная решение уравнения (36.8), мы не имеем возможности различить . Поэтому удобнее следующие формулы, вытекающие из рассмотрения треугольников или

Нормальные напряжения , называются главными напряжениями, соответствующие направления 1 и 2 — главными направлениями.

Заметим, что среди нормальных напряжений на всех площадках, параллельных оси , напряжения , являются соответственно наибольшим и наименьшим. Наибольшее касательное напряжение действует на площадках, составляющих угол 45° с главными осями, и равно , или, что то же,