§ 148. Предельное равновесие вращающегося диска.

Определение угловой скорости, при которой весь материал диска переходит в пластическое состояние, проще всего производится на основе теории пластичности Сен-Венана. В упругом диске, как мы видели, оба напряжения, положительны, при этом . Предположим, что это справедливо и для пластического состояния диска. Тогда наибольшее напряжение есть а наименьшее равно нулю, поэтому условие пластичности Треска принимает вид:

Внесем это в уравнение равновесия (146.1), перенесем второй и третий члены уравнения в правую часть и проинтегрируем по от до Получим:

Найдем отсюда угловую скорость:

Здесь Q — площадь половины сечеиия диска (заштрихована на рис. 227), J — момент инерции этой площади относительно оси .

Рис. 227.

Рассмотрим два простых примера.

а) Сплошной диск постоянной толщины h, обод не нагружен.

Здесь v — окружная скорость.

б) Тонкое кольцо радиуса b с площадью Q; момент инерции .

Эти величины интересно сопоставить с найденной в § 20 предельной скоростью конца вращающегося стержня:

а также с предельной окружной скоростью вращающегося диска постоянной толщины, найденной из условия достижения предела текучести в одной точке, а именно в центре диска. Из формулы (146.4) следуетг

Интересно отметить, что после того, как появились первые пластические деформации, достаточно очень небольшого увеличения скорости вращения (приблизительно 11%), чтобы весь диск перешел в пластическое состояние.

Нахождение скорости, соответствующей предельному состоянию, по теории Мизеса значительно более сложно.