§ 178. Способ Релея — Ритца в применении к поперечным колебаниям стержня.
Способ Релея, изложенный в применении к системам с конечным числом степеней свободы, находит применение и для приближенного определения частоты основного тона свободных колебаний балки. Пусть 
— прогиб балки под действием нагрузки q (z). Составим выражение
(178.1)
Правая часть аналогична здесь правой части формулы (173.4), только конечные суммы заменены интегралами.
Так как 
представляет собою прогиб от нагрузки q, эту функцию можно представить в виде абсолютно и равномерно сходящегося ряда:
Выпишем числитель выражения (178.1):
Здесь мы воспользовались формулой (176.6). Найдем теперь знаменатель. Нам придется возводить в квадрат ряд для 
и интегрировать либо квадраты, либо попарные произведения функций 
умноженные на 
. Принимая во внимание условия ортогональности и нормирования (176.4) и (176.5), получим:
Таким образом,
(178.2)
Из этого равенства следует, что формула (178.1) определяет частоту свободных колебаний балки 
тогда, когда функция 
совпадает с соответствующей главной формой колебаний. С другой стороны, формулу (178.2) можно переписать следующим образом:
Каждый член числителя, начиная со второго, больше, чем соответствующий член знаменателя, поэтому 
или
(178.3)
При использовании формулы (178.3) для приближенного определения частоты основного тона мы должны постараться угадать первую главную форму колебаний.
В качестве таковой для балки на двух опорах, например, можно взять кривую прогиба от собственного веса.
Обращаясь к формуле (178.3), заметим, что числитель правой части представляет собою удвоенную потенциальную энергию изгиба балки, прогиб которой выражается функцией 
тогда как знаменатель — это удвоенная кинетическая энергия, при вычислении которой скорости заменяются прогибами. Поэтому эту формулу можно переписать в следующем, более общем виде:
Такая более общая трактовка формулы Релея позволяет:
1. Брать в качестве 
функцию, выражающую прогиб балок не только от распределенной нагрузки 
, но и от сосредоточенных сил 
в точках 
. Тогда
2. Учитывать не только непрерывно распределенную массу балки, но также сосредоточенные массы 
в точках 
Тогда
3. Задаваться функцией 
определяя ее не как прогиб от некоторой нагрузки, а просто подбирая непрерывную вместе с первой производной четырежды дифференцируемую функцию, удовлетворяющую граничным условиям задачи.
Воспользуемся формулой (154.5) для упругой энергии изгиба, заменив в ней момент через кривизну при помощи соотношения
. Получим:
(178.5)
Знаменатель в формуле (178.4) сохраняет свое выражение:
Заметим, что при применении метода Релея требование удовлетворения функцией 
всех граничных условий является излишним.
Разрывы вторых производных функции 
соответствуют приложенным сосредоточенным моментам, разрывы третьих производных — сосредоточенным силам. Следовательно, если функция 
непрерывна вместе с первой производной и удовлетворяет граничным условиям, наложенным на прогиб и угол поворота, она всегда может быть представлена как функция прогиба некоторой балки под действием распределенной нагрузки, сосредоточенных сил и моментов и доказательство теоремы Релея сохраняет силу. Будем называть граничные условия, налагаемые на 
кинематическими условиями, а на момент и перерезывающую силу, то есть 
и 
динамическими условиями.
Дальнейшее развитие метода Релея представляет метод Ритца. Выберем 
функций 
каждая из которых непрерывна вместе 
своей производной и удовлетворяет кинематическим граничным условиям. Теми же свойствами обладает линейная комбинация:
Здесь 
— произвольные постоянные. Выпишем величины 
это будут квадратичные функции коэффициентов 
обозначим их 
. Тогда по формуле (178.4)
(178.6)
Формула (178.6) дает верхнюю оценку для 
зависящую от коэффициентов 
при этом наилучшей оценкой будет самая меньшая. Вопрос об отыскании наименьшей оценки для со сводится к нахождению минимума правой части неравенства (178.6), рассматриваемой как функция неопределенных коэффициентов. По общему правилу составляем частные производные этого выражения по 
и приравниваем их нулю:
Сократим множитель 
и обозначим через в соответствии с (178.1). Получим систему 
уравнений вида
Система (178.7) представляет собою систему линейных однородных уравнений относительно 
она имеет нетривиальное решение только тогда, когда ее определитель равен нулю. Но условие равенства нулю определителя приводит к уравнению степени 
относительно 
корни этого уравнения дают стационарные значения частот 
, определяемых формулой (178.1).
Наименьший корень да наилучшую при данной аппроксимации прогиба оценку для перв собственной частоты, притом оценку сверху.
Можно показать, что второй корень будет близок к 
и разни между точным значением 
и полученным приближением уменьшает с возрастанием числа членов в выражении для 
. Однако нельзя сказать, будет ли это оценка сверху или снизу.
Пример. Балка постоянного сечения длины I защемлена одном конце, второй конец свободен. Точное значение собственн частоты основного тона:
а) Примем за функцию 
кривую прогиба от сосредоточена силы Q на конце. Уравнение упругой линии:
Потенциальная энергия деформации:
Условная кинетическая энергия 
:
По формуле (178.4)
Разница с точным решением обнаруживается, как видно, толь в третьем знаке.
б) Применим к рассмотренной уже задаче метод Ритца, полож
При этом
Уравнения (178.7) получаются следующими:
Здесь
Приравнивая нулю определитель, получим квадратное уравнение, наименьший корень его 
поэтому
Заметим, что и в том и в другом случае мы выбирали функцию 
удовлетворяющей только кинематическим граничным условиям. Несмотря на это, точность оценки получается довольно высокой. Если взять в качестве 
функцию, выражающую прогиб балки от равномерно распределенной нагрузки, будут выполнены и динамические граничные условия. В точном и приближенном решениях при этом совпадают третьи знаки.
