Глава 2. УРАВНЕНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТЕПЛА В ВЕЩЕСТВЕННОЙ СРЕДЕ

2.1. ГИПОТЕЗА О ПРЯМОЙ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТИ ВЕКТОРА ТЕПЛОВОГО ПОТОКА ГРАДИЕНТУ ТЕМПЕРАТУР

При стационарном процессе теплообмена и постоянной плотности теплового потока количество тепла, проходящего через некоторый элемент тела, прямо пропорционально площади рассматриваемого элемента и промежутку времени. Для нестационарного процесса такого рода пропорциональность может быть сохранена только в том случае, если мы будем рассматривать весьма малые промежутки времени и площади. В соответствии с этим

    (2.1.1)

где — элементарная площадь, через которую проходит тепловой поток; — элементарный период времени; — элементарный поток тепла, который рассматривается в данном случае как дифференциал второго порядка (поскольку величины dF и dt рассматриваются как дифференциалы первого порядка). Величина q, имеющая размерность представляет собой вектор теплового потока, направленный по нормали к площадке в сторону, обратную направлению градиента температур.

В середине XVIII столетия М. В. Ломоносов указал [1], что количество теплоты, передаваемое от одного тела к другому, пропорционально разности количеств движения составляющих эти тела «частиц», т. е. молекул. Количество движения, передаваемое молекулам, пропорционально разности их кинетических энергий в рассматриваемых областях тела, т. е. пропорционально разности температур этих областей. Формально в математическую физику это положение было введено в начале XIX столетия в виде гипотезы Био-Фурье о прямой пропорциональности вектора теплового потока градиенту температуры:

    (2.1.2)

Знак минус показывает взаимообратную направленность вектора теплового потока и градиента температур, а множитель пропорциональности , рассматривается как некоторая физическая характеристика, именуемая коэффициентом тепмпроводности. Размерность коэффициента теплопроводности

В действительности коэффициент теплопроводности данного вещества отнюдь не является строго постоянной величиной, а так же, как и другие физические характеристики (удельная теплоемкость, коэффициент вязкости и т. п.), меняется с изменением состояния тела и, в первую очередь, в связи с изменением его температуры. Так, коэффициент теплопроводности газов возрастает с повышением температуры (рис. 2.1). То же наблюдается и у многих теплоизоляционных твердых материалов (рис. 2.2). У чистых металлов коэффициент теплопроводности уменьшается с ростом температуры (рис. 2.3), а у жидкостей эта зависимость подчас имеет весьма сложный характер (рис. 2.4. и 2.5). Так, коэффициент теплопроводности воды в некотором интервале температур возрастает, а затем уменьшается (рис. 2.6). В газах импульс и энергия теплового движения передаются при непосредственном взаимодействии (столкновении) молекул, вследствие чего коэффициенты теплопроводности, вязкости и диффузии пропорциональны друг другу:

    (2.1.3)

где D — коэффициент диффузии,

Рис. 2.1. Температурные зависимости коэффициентов теплопроводности некоторых газов при нормальном давлении: 1 — водород; 2 — гелий; 3 — неон; 4 — аргон; 5 — воздух; 6 — азот; 7 — двуокись углерода; 8 — фреон-12; 9 — фреон-11

Рис. 2.3. Температурные зависимости коэффициентов теплопроводности некоторых металлов:

— медь 100%-ная; 2 — медь 99.9%-ная; 3 - алюминий 99.7%-иый; 4 — алюминий 99.0%-ный; 5 — марганец 100%-ный; 6 — марганец 99,6%-ный; 7 — цинк 99.8%-ный; 8 — платина 100%-ная; 9 — никель 99%-ный; 10 — никель 97%-ный; 11 — железо 99.2%-ное; 12 — свинец технически чистый

Рис. 2.2. Температурные зависимости коэффициентов теплопроводности некоторых изоляционных материалов: 1 — асбест; 2 — инфузорная земля; 3 — трепельиы» нирпич (обожженный); 4— пробковая мелочь; 5 — 88%-ный карборундовый кирпич; 6 — -ный карборундовый кирпич

Рис. 2.4. Температурные зависимости коэффициентов теплопроводности некоторых жидкостей: 1 — глицерин; 2 — уксусный ангидрид; 3 — масляная кислота; 4 — пропилацетат; 5 — амиловый спирт; 6 — масло ВМ-4; 7 — бромбензол; 8 — дибромэтан

В неметаллических конденсированных средах энергия теплового движения передается в основном за счет колебаний молекул, т. е. имеет место фононная теплопроводность. В чистых конденсированных металлах теплота переносится движением свободных электронов, что обусловливает высокую теплопроводность и пропорциональность электропроводности.

В сплавах фононная и электронная теплопроводности! могут быть соизмеримыми.

Для кристаллов имеет место анизотропия теплопроводности, т. е. значение Я не одинаково в направлении различных осей кристалла.

Рис. 2.5. Температурные зависимости коэффициентов теплопроводности некоторых жидких металлов по данным Л. П. Филиппова

Рис. 2.6. Температурные зависимости коэффициентов теплопроводности воды и водяного пара

Таким образом, в уравнении (2.1.2) множитель пропорциональности в общем случае следует рассматривать как некоторую функцию температуры и координат, а следовательно, и времени. Однако во многих практически интересных случаях с достаточной степенью точности оказывается возможным считать величину постоянной, вводя в расчет ее некоторое среднее значение в данном интервале температур.