8.4. МОНОТОННЫЙ ПЕРЕХОД К ТЕПЛОВОМУ РАВНОВЕСИЮ
Рассмотрим плоскую стенку толщиной 
. С обеих сторон стенка охлаж дается одинаково интенсивно средой с температурой, равной 
. В начальный момент времени стенка была равномерно прогрета до температуры 
. В рассматриваемом случае температурное поле во все время процесса симметричнс относительно оси стенки, так как с обеих сторон последняя охлаждается одинаково. Следовательно, 
должна быть четной функцией, и в формуле (8.3.7) следует положить 
:
(8.4.1]
Здесь 
. Краевые условия имеют вид
Приводя пространственное краевое условие к безразмерному виду, получаем
где 
. Дифференцируя уравнение (8.4.1) и подставляя полученное значение производной в уравнение (8.4.3), находим
(8.4.4)
Этот результат показывает, что пространственные краевые условия определяют значение постоянной 
и оставляют для постоянной С произвольное значение. Последнее находится с помощью краевых условий. Значения первых пяти корней уравнения (8.4.4) приведены в табл. 8.1.
Согласно теории дифференциальных уравнений общее решение строится как сумма частных решений, т. е. в рассматриваемом случае
(8.4.5)
В начальный момент
(8.4.6)
Отсюда
(8.4.7)
В теории рядов Фурье показано, что коэффициенты
(8.4.8)
Таблица 8.1. Значение корней уравнения 
В данном случае 
и
(8.4.9)
Окончательно получаем
Изменение теплосодержания стенки проще всего определить по формуле
Начальное теплосодержание стенки, отсчитанное от температуры 
, равно
(8.4.12)
Отсюда, принимая во внимание, что
получаем выражение для относительных тепловых потерь стенки
(8.4.13)
Подставляя сюда значение д из уравнения (8.4.10), получаем
(8.4.14)
Интегрирование дает выражение
Не останавливаясь на деталях решения уравнений для цилиндра и шара, поскольку с физической точки зрения они не содержат ничего нового по сравнению с рассмотренным выше примером, приведем окончательные формулы: для сплошного протяженного цилиндра
Здссь 
— функция Бесселя первого рода первого порядка.
Для сплошного шара
(8.4.18)
Значения первых пяти корней уравнений 
приведены в табл. 8.2 и 8.3.
Таблица 8.2. Значение корней уравнения 
Таблица 8.3. Значение корней уравнения 
В общем случае нестационарная теплопроводность характеризуется функциональными связями типа
(8.4.20)
(8.4.21)
где 
— характерный линейный размер; 
— текущая координата. На рис. 8.1 и 8.2 приведены диаграммы Д. В. Будрина и Г. Гребера, построенные по приведенным выше формулам. Эти диаграммы позволяют определить температуру центра тела, температуру поверхности тела и изменение его теплосодержания в процессе охлаждения или прогрева.
(кликните для просмотра скана)
(кликните для просмотра скана)
Рис. 8.1. (см. скан) Определение температуры в зависимости от 
при 
в средней плоскости (а) и на поверхности пластины (б); на оси (в) и на поверхности цилиндра (г); в центре (г) и на поверхности шара (е)
Как видно из рис. 8.3, медленнее всего охлаждается плоская стенка и быстрее всего шар, т. е. кривые располагаются в порядке изменения отношения поверхности тела к его объему. Чем больше это отношение (при R = idem), тем быстрее изменяется температура тела.
