8.4. МОНОТОННЫЙ ПЕРЕХОД К ТЕПЛОВОМУ РАВНОВЕСИЮ

Рассмотрим плоскую стенку толщиной . С обеих сторон стенка охлаж дается одинаково интенсивно средой с температурой, равной . В начальный момент времени стенка была равномерно прогрета до температуры . В рассматриваемом случае температурное поле во все время процесса симметричнс относительно оси стенки, так как с обеих сторон последняя охлаждается одинаково. Следовательно, должна быть четной функцией, и в формуле (8.3.7) следует положить :

    (8.4.1]

Здесь . Краевые условия имеют вид

Приводя пространственное краевое условие к безразмерному виду, получаем

где . Дифференцируя уравнение (8.4.1) и подставляя полученное значение производной в уравнение (8.4.3), находим

    (8.4.4)

Этот результат показывает, что пространственные краевые условия определяют значение постоянной и оставляют для постоянной С произвольное значение. Последнее находится с помощью краевых условий. Значения первых пяти корней уравнения (8.4.4) приведены в табл. 8.1.

Согласно теории дифференциальных уравнений общее решение строится как сумма частных решений, т. е. в рассматриваемом случае

    (8.4.5)

В начальный момент

    (8.4.6)

Отсюда

    (8.4.7)

В теории рядов Фурье показано, что коэффициенты

    (8.4.8)

Таблица 8.1. Значение корней уравнения

В данном случае и

    (8.4.9)

Окончательно получаем

Изменение теплосодержания стенки проще всего определить по формуле

Начальное теплосодержание стенки, отсчитанное от температуры , равно

(8.4.12)

Отсюда, принимая во внимание, что

получаем выражение для относительных тепловых потерь стенки

    (8.4.13)

Подставляя сюда значение д из уравнения (8.4.10), получаем

    (8.4.14)

Интегрирование дает выражение

Не останавливаясь на деталях решения уравнений для цилиндра и шара, поскольку с физической точки зрения они не содержат ничего нового по сравнению с рассмотренным выше примером, приведем окончательные формулы: для сплошного протяженного цилиндра

Здссь — функция Бесселя первого рода первого порядка.

Для сплошного шара

    (8.4.18)

Значения первых пяти корней уравнений приведены в табл. 8.2 и 8.3.

Таблица 8.2. Значение корней уравнения

Таблица 8.3. Значение корней уравнения

В общем случае нестационарная теплопроводность характеризуется функциональными связями типа

    (8.4.20)

    (8.4.21)

где — характерный линейный размер; — текущая координата. На рис. 8.1 и 8.2 приведены диаграммы Д. В. Будрина и Г. Гребера, построенные по приведенным выше формулам. Эти диаграммы позволяют определить температуру центра тела, температуру поверхности тела и изменение его теплосодержания в процессе охлаждения или прогрева.

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

Рис. 8.1. (см. скан) Определение температуры в зависимости от при в средней плоскости (а) и на поверхности пластины (б); на оси (в) и на поверхности цилиндра (г); в центре (г) и на поверхности шара (е)

Как видно из рис. 8.3, медленнее всего охлаждается плоская стенка и быстрее всего шар, т. е. кривые располагаются в порядке изменения отношения поверхности тела к его объему. Чем больше это отношение (при R = idem), тем быстрее изменяется температура тела.