7.3. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ЧЕРЕЗ ЦИЛИНДРИЧЕСКУЮ СТЕНКУ

На внутренней поверхности цилиндра задана температура , а на наружной . Внутренний радиус равен , наружный . Длина цилиндра достаточно велика для того, чтобы пренебречь потоком тепла к его торцам вдоль оси z.

При этих условиях в уравнении теплопроводности (7.1.3) температура является функцией только одной координаты — радиуса :

Отсюда тепловой поток через цилиндрическую стенку

    (7.3.2)

где L — длина цилиндра.

Для многослойной цилиндрической стенки

    (7.3.3)

где

Величина k называется коэффициентом теплопередачи с поверхности трубы длиной 1 м и равна тепловому потоку, проходящему через цилиндрическую стенку длиной 1 м при разности температур 1° С.

Если относить количество тепла не к 1 м длины трубы, а к площади ее внутренней поверхности или наружной поверхности изоляции, то

где

    (7.3.6)

Для промежуточных температур многослойной цилиндрической стенки существуют уравнения:

    (7.3.7)

Цилиндрическая тепловая изоляция в отличие от изоляции плоской может иметь некоторое конечное значение критического диаметра, соответствующего максимуму теплового потока. Действительно, тепловое сопротивление трубы с цилиндрической изоляцией равно

    (7.3.8)

Здесь — внутренний диаметр трубы; — наружный диаметр трубы; наружный диаметр изоляции; — коэффициент теплопроводности материала трубы; — коэффициент теплопроводности изоляции.

Продифференцировав это выражение по и при условии , получаем формулы Власова:

    (7.3.9)

Следовательно, при тепловое сопротивление трубы минимально и соответственно тепловой поток достигает наибольшего значения.

Критический диаметр изоляции не зависит от размеров трубопровода и коэффициента теплоотдачи , а определяется только коэффициентом теплопроводности изоляции и коэффициентом теплоотдачи в окружающую изоляцию среду.

Чем лучше изоляционный материал, т. е. чем меньше его коэффициент теплопроводности, и чем интенсивнее охлаждение изоляции, т.е. чем больше , тем меньше критический диаметр изоляции.

Толщину изоляции, при которой тепловой поток становится равным теплопотерям неизолированного трубопровода, можно найти из уравнения

Изоляция становится эффективной тогда, когда сопротивление теплопереходу от поверхности неизолированной трубы к окружающей среде становится меньше термического сопротивления теплопереходу через слой изоляции (рис. 7.1):

    (7.3.11)

Отсюда диаметр эффективной изоляции должен быть больше значения определяемого из условия

    (7.3.12)

Рис. 7.1. Тепловые потери через цилиндрическую изоляцию в зависисти от ее толщины

Рассмотренное решение справедливо, когда не зависит от температуры поверхности изоляции и ее диаметра. Это условие с известным приближением выполняется при вынужденном продольном обтекании изоляции охлаждающей средой. При вынужденном поперечном обтекании изоляции можно полагать (при прочих равных условиях) , где порядка 0,2—0,4. Тогда

и критический диаметр изоляции

    (7.3.14)

При свободной конвекции , где — разность температур поверхности изоляции и охлаждающей среды. Таким образом, с утолщением изоляции будет уменьшаться даже при больших значениях .