7.9. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В СТЕРЖНЕ И ШАРЕ С ВНУТРЕННИМИ ИСТОЧНИКАМИ ТЕПЛА

Внутренние источники тепла могут возникать при прохождении через тело электрического тока, при фазовых переходах, химических превращениях, радиоактивном распаде, внутреннем трении и т. п.

Вычислим распределение температур в плоской стенке и цилиндрическом стержне с равнораспределенными внутренними источниками, т. е. когда имеет одно и то же значение во всех точках стержня. Для плоской стенки, когда Т является функцией только координаты х, из уравнения теплопроводности следует

    (7.9.1)

где — постоянные интегрирования.

Положим, что со стороны поверхности, которая принята за начало отсчета координаты х, стенка омывается средой с температурой и коэффициентом теплоотдачи а Со сторбны другой поверхности среда имеет температуру и коэффициент теплоотдачи . Пусть . Тепловой поток через поверхности стенки равен

Определяя из этих условий , находим выражение для температур стенки:

    (7.9.3)

откуда

Если одна поверхность стенки, например со стороны х = 0, настолько хорошо изолирована, что можно принять и соответственно , то

Рассмотрим теперь температурное поле в цилиндрической односторонне охлаждаемой стенке. Когда Т является функцией только радиуса R, имеем:

Поскольку цилиндр односторонне охлаждаемый, то с поверхности охлаждения отводится только тепло, выделившееся в цилиндре за счет внутренних источников. Это тепло равно

    (7.9.8)

Если цилиндр охлаждается с внешней поверхности, то

Здесь — внутренний и внешний радиусы цилиндра; — температура охлаждающей среды.

Определяя отсюда значения постоянных интегрирования и подставляя их в интеграл уравнения (7.9.7), получаем выражение для температурного поля

Температура внутренней поверхности цилиндра

В том случае, когда известно значение (например, путем измерения в опытах), константа может быть вычислена из уравнения (7.9.7) при и

    (7.9.12)

Для сплошного круглого стержня уравнение температурного поля имеет вид

Температура на оси стержня

Температура на поверхности стержня

    (7.9.15)

Если цилиндр охлаждается с внутренней стороны, то граничные условия можно записать в виде .

Соответственно

Для шара с равномерным отводом тепла по его поверхности

    (7.9.19)

Здесь температура наружной поверхности шара; — температура окружающей среды; — радиус шара. Отсюда выражение для определения температурного поля в шаре имеет вид

    (7.9.20)

Температура в центре шара

и температура поверхности шара

    (7.9.22)