7.9. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В СТЕРЖНЕ И ШАРЕ С ВНУТРЕННИМИ ИСТОЧНИКАМИ ТЕПЛА
Внутренние источники тепла могут возникать при прохождении через тело электрического тока, при фазовых переходах, химических превращениях, радиоактивном распаде, внутреннем трении и т. п.
Вычислим распределение температур в плоской стенке и цилиндрическом стержне с равнораспределенными внутренними источниками, т. е. когда 
имеет одно и то же значение во всех точках стержня. Для плоской стенки, когда Т является функцией только координаты х, из уравнения теплопроводности следует
(7.9.1)
где 
— постоянные интегрирования.
Положим, что со стороны поверхности, которая принята за начало отсчета координаты х, стенка омывается средой с температурой 
и коэффициентом теплоотдачи а Со сторбны другой поверхности среда имеет температуру 
и коэффициент теплоотдачи 
. Пусть 
. Тепловой поток через поверхности стенки равен
Определяя из этих условий 
, находим выражение для температур стенки:
(7.9.3)
откуда
Если одна поверхность стенки, например со стороны х = 0, настолько хорошо изолирована, что можно принять 
и соответственно 
, то
Рассмотрим теперь температурное поле в цилиндрической односторонне охлаждаемой стенке. Когда Т является функцией только радиуса R, имеем:
Поскольку цилиндр односторонне охлаждаемый, то с поверхности охлаждения отводится только тепло, выделившееся в цилиндре за счет внутренних источников. Это тепло равно
(7.9.8)
Если цилиндр охлаждается с внешней поверхности, то
Здесь 
— внутренний и внешний радиусы цилиндра; 
— температура охлаждающей среды.
Определяя отсюда значения постоянных интегрирования и подставляя их в интеграл уравнения (7.9.7), получаем выражение для температурного поля
Температура внутренней поверхности цилиндра
В том случае, когда известно значение 
(например, путем измерения в опытах), константа 
может быть вычислена из уравнения (7.9.7) при 
и
(7.9.12)
Для сплошного круглого стержня 
уравнение температурного поля имеет вид
Температура на оси стержня
Температура на поверхности стержня
(7.9.15)
Если цилиндр охлаждается с внутренней стороны, то граничные условия можно записать в виде 
.
Соответственно
Для шара с равномерным отводом тепла по его поверхности
(7.9.19)
Здесь 
температура наружной поверхности шара; 
— температура окружающей среды; 
— радиус шара. Отсюда выражение для определения температурного поля в шаре имеет вид
(7.9.20)
Температура в центре шара
и температура поверхности шара
(7.9.22)
