Глава 7. УСТАНОВИВШИЙСЯ ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ

7.1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ СТАЦИОНАРНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

При из уравнения (2.3.4) следует уравнение стационарной теплопроводности в неподвижной среде:

    (7.1.1)

При постоянном коэффициенте теплопроводности и отсутствии внутреннего источника тепла уравнение температурного поля максимально упрощается и сводится к условию равенства нулю лапласиана температуры

т. е. в прямоугольных координатах:

    (7.1.2)

в цилиндрических координатах:

    (7.1.3)

в сферических координатах:

    (7.1.4)

В случае изотропного тела с коэффициентом теплопроводности, являющимся функцией только температуры, целесообразно ввести функцию

    (7.1.5)

Дифференцируя функцию U по координатам, получаем

    (7.1.6)

Теперь уравнение теплопроводности (7.1.1) можно переписать в виде

    (7.1.8)

    (7.1.9)

Тепловой поток через заданную поверхность F определяется формулой

или в соответствии с (7.1.6)

    (7.1.11)

У геометрически подобных тел с аналогично заданными граничными условиями функции

    (7.1.12)

должны иметь одно и то же значение. Следовательно, стационарный тепловой поток через твердое тело, коэффициент теплопроводности которого является функцией температуры, определяется в общем виде формулой

    (7.1.13)

Здесь — значения функций U в характерных местах тела (например) на внутреннем и внешнем изотермических контурах). Величина Ф в этой формуле характеризует геометрические свойства тела и называется формфактором.

При из (7.1.13) следует, что

    (7.1.14)

Как видно, величина формфактора обратно пропорциональна термическому сопротивлению тела при постоянном коэффициенте теплопроводности . Разность значений функций может быть определена так:

    (7.1.15)

Здесь

Таким образом, тепловой поток в изотропных телах с коэффициентом теплопроводности, являющимся функцией температуры, может вычисляться по формулам, выведенным для случая , при подстановке в эти формулы среднего коэффициента теплопроводности, определенного по формуле (7.1.16). Если поверхности, ограждающие данное тело, изотермические, то граничные условия к уравнениям (7.1.1) и (7.1.8) всегда подобны. Действительно, в этом случае на контурах системы соответственно заданы условия:

При и, следовательно, в геометрически подобных телах с подобно заданными граничными условиями поле температур для тела с подобно полю функции U для тела с .

Обычно с достаточной для большинства практически важных задач точностью можно считать коэффициент теплопроводности или постоянным, равным его среднему значению в данном интервале температур, или линейно меняющимся с температурой:

    (7.1.17)

В последнем случае

    (7.1.18)

и поле температур связано с полем функции U (т. е. с полем температур для гела той же конфигурации и ) формулой

    (7.1.19)