ГЛАВА XII. СИЛЬНЫЕ РАДИОЧАСТОТНЫЕ ПОЛЯ

На протяжении всей книги неоднократно подчеркивалось, что лучший, если не единственный, способ исследования ядерного магнетизма основан на применении радиочастотных полей, частоты которых лежат в окрестности ларморовской частоты спинов или, в более общем смысле, в окрестности резонансной частоты , соответствующей переходу между двумя уровнями системы спинов. В гл III было показано, что феноменологические уравнения Блоха могут быть применены для описания переходных и установившихся процессов в системе спинов, находящейся во вращающемся поле произвольной амплитуды. Для жидких образцов такое описание является количественно точным. Однако для твердых тел оно в лучшем случае дает только качественно правильные результаты, а иногда может приводить к совершенно неправильным выводам. Никаких доказательств справедливости уравнений Блоха, полученных из основных положений, ранее не было приведено. На протяжении всей книги радиочастотные поля предполагались либо достаточно слабыми, чтобы вызываемое ими возмущение состояния системы спинов было пренебрежимо малым, либо, наоборот (как в импульсных методах), настолько сильными и действующими в течение такого малого промежутка времени, что в течение этих промежутков времени можно было пренебречь спин-спиновыми и спин-решеточными взаимодействиями и использовать приближение свободных спинов, рассмотренное в гл. II.

Предполагалось также, в частности при обсуждении экспериментов с динамической поляризацией, что поляризацию спина можно заметно уменьшить, помещая его в сильное радиочастотное поле, частота которого равна ларморовской частоте этого спина, или даже выравнить населенности двух уровней системы спинов.

В настоящей главе проведено более фундаментальное исследование поведения системы спинов в сильных радиочастотных полях.

А. СИЛЬНЫЕ РАДИОЧАСТОТНЫЕ ПОЛЯ В ЖИДКОСТЯХ

§ 1. НЕВЯЗКИЕ ЖИДКОСТИ

С точки зрения ядерного магнетизма образец можно назвать жидким в том случае, если внутренние движения усредняют различные спин-спиновые взаимодействия, описываемые с помощью локальных полей, и если время корреляции, связанное с этими движениями, достаточно мало. Так, если - гамильтониан, соответствующий упомянутым взаимодействиям, то для жидкого образца должно быть малым числом. Поэтому некоторые металлы, в которых диффузия приводит к заметному сужению резонансной линии, можно называть «жидкостями» при температурах значительно более низких, чем температура плавления.

В гл. VIII было показано, что в случае такой «жидкости» может быть

написано основное линейное уравнение для скорости изменения матрицы плотности а, описывающей статистическое поведение системы спинов. Используя основное уравнение, можно показать, что для многих механизмов релаксации, например, таких, как диполь-дипольное взаимодействие между одинаковыми спинами или флуктуирующее квадрупольное взаимодействие (при условии сильного сужения), макроскопическая намагниченность ядерной системы в отсутствие приложенных радиочастотных полей подчиняется уравнениям Блоха.

Исследуем теперь вопрос о том, при каких условиях система спинов, описываемая уравнениями Блоха в отсутствие радиочастотных полей, будет им подчиняться и при наличии радиочастотного поля. В гл. VIII было показано, что предположение о высокой температуре решетки и малом времени корреляции приводит в представлении взаимодействия следующему основному уравнению:

где

а черта обозначает шпур, взятый по степеням свободы решетки. Через А обозначено число степеней свободы системы спинов, Соответственно гамильтониан системы спинов, решетки и их взаимодействия. Из выражения

которое является следствием определения (XII.1а), мы пришли к выражению (см. гл. VIII)

в котором

представляет собой больцмановскую матрицу плотности для случая теплового равновесия.

Урванение (XI 1.3) можно записать в форме

и уравнение для матрицы плотности примет вид

Уравнение (XII.5) выражает два обстоятельства. Во-первых, для бесконечной температуры решетки основное уравнение имеет вид

Отсюда, как показано в гл. VIII, могут быть вычислены времена релаксации. Во-вторых, случай высокой, но конечной температуры решетки можно учесть простой заменой на в (XII.5а), где равновесная больцмановская матрица плотности.

При получении выражений (XII.1) — (XII.5) было сделано предположение

Из гл. VIII, § 7, следует, что практически достаточным является менее общее предположение

В дальнейшем мы будем использовать разложение (а). Однако для получения (XI 1.3) будет использовано также более ограничивающее предположение (б), связанное с более сложными вычислениями.

Теперь применим приведенные выше результаты к случаю, когда спиновый гамильтониан явно содержит время

В этом случае легко показать, что уравнение (XII.1) все еще справедливо при следующих определениях:

Здесь унитарный оператор представляет собой решение дифференциального уравнения

при Введем более общее определение как такое решение уравнения (XII.8), что Тогда из (XII.8) следует

Если зависящая от времени часть спинового гамильтониана мала то становится равным просто равным .

Используя (XII.8а), можно переписать уравнение (XII.1) в форме, аналогичной (XI 1.4), а именно

Тогда соответствующее уравнение для а принимает вид

В случае когда спиновый гамильтониан явно содержит время, возникает два вопроса.

Во-первых, следует выяснить, при каких условиях для бесконечной температуры решетки добавление к независящей от времени статической части в уравнении (XII.6) зависящей от времени части не влияет на релаксационные члены в основном уравнении. Например, следует выяснить, изменяются ли времена релаксации и в присутствии сильного радиочастотного поля

Во-вторых, если ввести конечную температуру решетки, заменив в релаксационных членах на где

то возникает вопрос, является ли мгновенной больцмановской матрицей плотности?

Ответим сначала на второй вопрос. Член в уравнении (XII.10)

равен

где

Выражение (XII. 12) является следствием равенства

которое получается из выражений (XII.6) — (XII.8) и Теперь основное уравнение можно записать в виде

Поскольку в настоящем параграфе рассматриваются «невязкие» жидкости, время корреляции можно считать настолько малым, что произведение где — зависящая от времени часть также очень мало.

Независящая от времени часть может оказаться значительно больше и условие может как выполняться, так и не выполняться. Если оно выполняется, то происходит сильное сужение.

В интеграле (XII.13а) заметный вклад дают только значения, для которых Для этого интервала значений х можно написать

Цредположим сначала, что (предположение сильного сужения не обязательно). В можно с достаточной точностью заменить на на внутри коммутатора в (XII.13а) член — можно заменить на

При релаксации а стремится к

С другой стороны, предположим существование сильного сужения (условие не является обязательным). Тогда , согласно (XII. 14), имеем

Относительное изменение в интервале равно

Если — периодическая функция частоты то и поскольку практически величина сотс очень мала и в (XII. 13а) можно заменить на Отсюда сразу следует, что при релаксаций стремится к мгновенному значению больцмановской матрицы плотности определенной выражением (XI 1.11).

Рассмотрим в качестве примера движение спинов в постоянном поле и вращающемся поле частоты и амплитуды Предположению малой вязкости решетки соответствует неравенство Если релаксационный механизм таков, что уравнения Блоха справедливы для бесконечной температуры решетки, то для: конечной температуры ядерная намагниченность М будет релаксировать следующим образом:

1. Если намагниченность стремится к равновесной величине (которая мало отличается от величины

2. Если (сильное сужение), намагниченность стремится величине

Такое видоизменение уравнений Блоха, существенное для слабых постоянных полей, уже было сделано без доказательства в гл. III. Зависимость релаксационных членов от амплитуды радиочастотного поля также определяется величиной произведения . Для невязких жидкостей это произведение очень мало. Поэтому для

и поскольку подынтегральное выражение (XII. 10), соответствующее очень мало, то, пренебрегая малой величиной можно написать

где зависящая от времени часть гамильтониана равна нулю.

Таким образом, присутствие зависящего от времени оператора в основном уравнении не влияет на релаксационные члены. В частности, если физические условия таковы, что уравнения Блоха справедливы в отсутствие радиочастотного поля, то они будут также справедливыми с теми же временами релаксации при наличии поля амплитуды при условии