§ 3. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКОГО АНСАМБЛЯ СВОБОДНЫХ СПИНОВ. МАТРИЦА ПЛОТНОСТИ

Рассмотрим образец, содержащий большое число одинаковых ядерных спинов (для простоты ), который достаточно долго находился в постоянном поле Хорошо известно, что в этом случае макроскопическая ядерная намагниченность в направлении поля равна где — статическая ядерная восприимчивость, а Выясним, можно ли получить эти результаты, описывая каждый ядерный спин одной и той же волновой функцией

где

— собственные волновые функции оператора с собственными значениями Легко найти, что

Первое из уравнений (11.21) очевидно. Оно уже использовалось в настоящей главе. Величины представляют собой вероятности нахождения каждого спина в состоянии или, как часто говорят, относительные населенности этих состояний. Из второго уравнения (11.21) следует, что (за исключением случая полной поляризации всех спинов образца, когда или равно нулю) намагниченность образца должна иметь составляющую в плоскости, перпендикулярной полю; это противоречит эксперименту.

Таким образом, предположение о том, что коэффициенты одинаковы для всех спинов образца, несостоятельно. Поэтому следует предположить, что они различны для разных спинов и что усредненное но всему образцу произведение равно

Аналогичным образом для относительных населенностей двух уровней следует пользоваться средними значениями

Если теперь внезапно в момент времени наложить вращающееся поле Ни действующее до момента то коэффициенты можно представить в виде линейных комбинаций и используя амплитуду вероятности (11.18), и затем вычислить среднее . С другой стороны, эта величина может быть найдена весьма простым способомг так как мы знаем из уравнений (II.1) характер изменения макроскопической намагниченности образца. Например, при резонансе, когда вектор магнитного момента повернется к моменту вокруг на угол и за то же время вокруг оси вращающейся системы координат на угол . В результате найдем

Сравнивая эти равенства с уравнениями (11.21), получаем

Из этого очень простого примера следует, что описание ансамбля спинов с помощью относительных населенностей их энергетических уровней в общем случае недостаточно и должно быть дополнено знанием перекрестных произведений, таких, как

Этот результат хорошо известен в квантовой статистике, где обычно вводят статистический оператор представленный так называемой матрицей плотности с матричными элементами

Оператор содержит всю информацию, необходимую для описания статистического ансамбля одинаковых систем. В частности, ожидаемое значение любой наблюдаемой величины определяется уравнением

частным случаем которого являются уравнения (11.21).

Изменение со временем описывается уравнением

где — гамильтониан отдельной системы. Оно очень похоже на уравнение движения Гейзенберга (отметим, однако, различие в знаке), и поэтому связано с соотношением

где — унитарный оператор. В случае не зависящего от времени, гамильтониана величину можно записать в виде

На практике часто приходится сталкиваться с трудностью, заключающейся в том, что системы (здесь спины), образующие ансамбль, иногда статистически отличаются своими гамильтонианами, а также и своими волновыми функциями (коэффициенты ) при . Например, вследствие неизбежной неоднородности внешнего поля в пределах ансамбля ларморовские частоты всех спинов будут распределены в

соответствующем интервале. В этом случае нужно подразделить статистический ансамбль на подансамбли, каждый из которых достаточно велик, т. е. содержит большое число отдельных систем (спинов), и в то же время достаточно мал, чтобы можно было пренебречь изменениями отдельных гамильтонианов внутри каждого из них.

Определим для каждого из подансамблей матрицы плотности связанные между собой выражением

и найдем среднюю матрицу плотности для всего ансамбля. Совершенна ясно, что определенные таким образом и не будут в общем случае связаны унитарным преобразованием.

Более подробное описание и обобщение свойств матрицы плотности будет сделано ниже.

В следующем параграфе мы сравним полученные до сих пор результаты с результатами обычной теории квантовых переходов, основанной на методе возмущений.