§ 6. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ

Полуклассический подход, в котором связь с решеткой описывается случайными функциями, страдает несколькими недостатками. Основной из них состоит в том, что этот подход всегда приводит к бесконечной температуре системы спинов в установившемся состоянии.

Покажем, что квантовомеханическое описание решетки может быть сделано в форме, очень сходной с полуклассической, но при этом приводит к конечной температуре системы спинов, равной температуре решетки. Будем исходить из гамильтониана, не зависящего от времени

где — невозмущенные гамильтонианы системы спинов и решетки с собственными состояниями соответственно,

описывает возмущающее взаимодействие между ними и зависит от параметров как системы спинов, так и решетки.

Гамильтониан можно разложить в ряд

где — соответственно операторы решетки и спина.

Следуя приведенному выше полуклассическому формализму, определим

где

и

Сходство по форме с обозначениями предыдущих параграфов является полным.

Чтобы понять как описание спин-решеточного взаимодействия приводит к конечной температуре системы спинов, рассмотрим случай, когда разложение (VIII.48) содержит единственный член который вызывает в системе спинов с вероятностью в единицу времени переход из состояния в состояние . Разность энергии между соответствующими уровнями равна соар Рассмотрим вначале более подробно переход объединенной системы «спины плюс решетка». Вероятность такого перехода определяется выражением

Эту формулу можно сделать очень похожей по внешнему виду на формулу (VIII.2), используя соотношение

Полная вероятность дается выражением

где вероятность нахождения решетки при температуре Т в некотором начальном состоянии Вследствие непрерывного спектра решетки дискретное суммирование по индексу следует заменить соответствующим интегрированием где — плотность состояний решетки. Для простоты будем продолжать пользоваться обозначением Из определения ясно, что выражение

не зависит от и может быть записано в виде

где — статистический оператор

Функция представляет собой квантовомеханический аналог классической функции корреляции классической случайной функции ранее определенной в виде черта означала усреднение случайной функции по ансамблю с помощью вероятностного распределения. Вводя

получаем формулу

которая формально идентична формуле (VIII.24а). Однако существует важное отличие, которое состоит в том, что теперь

и, согласно (VIII.56), решетка вызывает переход, при котором она приобретает энергию с вероятностью, большей в раз, чем вероятность противоположного перехода. Это видно из определений (VIII.53) и (VIII.55)

Поскольку суммирование по в действительности представляет интегрирование в пределах от до то, заменяя на получаем

Теперь перейдем к более общей задаче вывода основного уравнения, описывающего движение системы спинов и аналогичного

уравнениям (VIII.34), (VIII.35) или (VIII.42). Поведение объединенной квантовомеханической системы «спины решетка» будем описывать матрицей плотности . В представлении взаимодействия эта матрица имеет вид

и подчиняется уравнению

где (0 определяется (VIII.49а). Прямое интегрирование (VIII.59) приводит к уравнению, сходному по форме с уравнением (VIII.32)

Все наблюдения относятся к системе спинов, поэтому вся полезная информация содержится в приведенной матрице плотности

матричные элементы которой равны

Сделаем существенное предположение о том, что решетка вследствие очень большой теплоемкости остается в тепловом равновесии и где — статистический оператор (VIII.54).

Чтобы получить уравнение для скорости изменения спиновой матрицы плотности а, вычислим шпур от обеих сторон (VIII.60) относительно параметров решетки

Предположим сначала, что температура решетки бесконечна. Тогда статистический оператор пропорционален единичному оператору и . В этом случае величина

равна , где — число степеней свободы решетки (астрономически большое). Обозначим чертой операцию Тогда получим

Это уравнение формально идентично уравнению (VIII.32), поэтому, используя выражение (VIII.49) для можно получить основное уравнение для а точно такой же формы, что и уравнения (VIII.40) и (VIII.42). Единственное отличие состоит в том, что корреляционные функции классических случайных функций заменяются корреляционными функциями операторов определяемыми формулой

которая является частным случаем формулы (VIII.53), справедливой для конечной температуры решетки. Условия справедливости основного

уравнения по отношению к малости времени корреляции формулируются точно так же, как и в разделе Б, § 5, ж.

Таким образом, для предельного случая бесконечных температур решетки полуклассический расчет релаксации формально эквивалентен квантовомеханическому.

Случай конечной температуры более сложен, так как этом операторы решетки не коммутируют и двойной коммутатор в правой части (VIII.60) необходимо разложить на четыре различных члена и рассматривать каждый из них отдельно. Этот случай изучен подробно в работах [2, 3], где показано, что мы снова приходим к линейному основному уравнению для а, которое, однако, сложнее, чем (VIII.33) или (VIII.42). Более того, в нем встречаются обобщенные функции корреляции вида (VIII.53), спектральные плотности которых обладают свойством

Благодаря (VIII.63) установившееся решение линейного уравнения имеет вид

Предположим для простоты (на практике это предположение редко оправдывается), что температура решетки достаточно высока, чтобы можно было заменить линейным разложением и что состояние системы спинов, описываемой матрицей плотности никогда не отклоняется значительно от состояния, которому соответствует одинаковая населенность всех спиновых энергетических уровней. В этом случае

где А — число степеней свободы системы спинов. Отсюда следует, что в правой части основного уравнения для а появляется добавочный член

Пренебрегая малыми мнимыми членами, его можно привести к виду

Легко проверйть, что

Это равенство является следствием сохранения полной энергии Поэтому в (VIII.65) можно заменить на , поскольку единичный оператор коммутирует с любым оператором, переписать этот член в виде

Тогда мы приходим к следующей форме основного уравнения:

Таким образом, подтверждается эмпирическое правило, согласно которому в релаксационном уравнении, полученном полуклассическим методом, а должно быть заменено на .

Ясно, что для большинства случаев данное доказательство не является строгим, ибо очень общее и необходимое требование приводит, согласно (VIII.62), к таким выражениям для функции корреляции (а следовательно, к таким выражениям для времен релаксации), которые не зависят от температуры. Фактически достаточно лишь потребовать выполнения значительно менее сильного условия

Будем исходить из уравнения

где Выражение (VIII.66а) можно переписать следующим образом:

Рассмотрим матричный элемент

Поскольку

то (VIII.66в) можно переписать в виде

Поэтому интеграл в (VIII.666) можно заменить выражением

где

Таким образом, (VIII.666) можно переписать в виде

Заменим а в последних двух членах единицей согласно предположению Тогда (VIII.666) примет вид

Определение функции корреляции (VIII.62) должно быть заменено следующим:

здесь зависимость от температуры решетки становится явной.