§ 5. ВИДОИЗМЕНЕНИЕ УРАВНЕНИЙ БЛОХА В СЛУЧАЕ СЛАБЫХ ПОЛЕЙ

Справедливость уравнений Блоха (III.11) и их стационарных решений (III.15) становится проблематичной, когда внешнее постоянное поле Но сравнимо как с шириной линии (в эрстедах), так и с амплитудой радиочастотного поля.

Из теоретических соображений следует, что предположение о релаксации намагниченности к постоянному равновесному значению при наличии радиочастотного поля необходимо заменить предположением о релаксации намагниченности к мгновенному значению Это различие, несущественное в сильных полях, становится важным, когда сравнимы по величине.

Как будет показано ниже, предположение относительно релаксации М к позволяет устранить нежелательную особенность уравнений Блоха. Поглощенная мощность радиочастотного поля, описываемая формулой (III.21), стремится к нулю при уменьшении даже если частота поля имеет конечное значение. Этот результат трудно согласовать с теоретическими представлениями; кроме того, он находится в противоречии с низкочастотными измерениями релаксации, выполненными физиками голландской школы.

Обоснование справедливости видоизмененных уравнений Блоха будет дано в гл. XII; здесь же мы ограничимся обсуждением некоторых вытекающих из них следствий. В гл. XII будет показано, что если не слишком мало по сравнению с то условия справедливости простого предположения о релаксации намагниченности к такие же, как и в случае Таким образом, будем считать, что

видоизмененные уравнения Блоха имеют вид

Теперь необходимо более тщательно исследовать реакцию намагниченности на осциллирующее и на вращающееся поля, так как в первом случае влияние противоположно вращающейся компоненты становится заметным, когда сравнимо с

Прежде всего рассмотрим стационарные решения в случае вращающегося поля. Используя те же обозначения, что и для (III.14), и полагая можно записать (во вращающейся системе координат)

Выразим поперечные компоненты стационарного решения (III.35) через радиочастотные восприимчивости [индекс R обозначает вращающееся поле, а индекс М напоминает нам, что (111.35) являются видоизмененными уравнениями Блоха] и найдем

Если можно пренебречь насыщением (случай ), то выражения (111.36) принимают вид

где

— выражения, описывающие восприимчивости для вращающегося поля (III.24); они получены из обычных уравнений Блоха (III.11) при Восприимчивости в (III.37) удовлетворяют соотношениям Крамерса — Кронига. Это сразу же следует из того, что упомянутым соотношениям удовлетворяют в (III.37а). Для М, получим выражение

которое следует сравнить с полученным ранее выражением (111.15), переписанным в виде

(напомним, что

При сравнении (111.36) и (III.22), с одной стороны, и (III.38) и (III.38а) — с другой, обнаруживаются интересные особенности видоизмененных уравнений Блоха. Наиболее удивительно, что при из формулы (III.38) в противоположность (III.38а) вытекает существование отличной от нуля намагниченности

Фиг. 2. Зависимость величины резонансного сигнала в твердом дифенилпикрилгидразиле (ДФПГ) при постоянном поле от амплитуды радиочастотного поля. Сплошные кривые соответствуют теоретической зависимости (III.38) в предположении, что времена релаксации, измеренные независимо, равны сек

С физической точки зрения это вполне правдоподобный результат. Во вращающейся системе координат спины «чувствуют» постоянное поле Не с составляющими вокруг которого они прецессируют, релаксируя к Между положительными и отрицательными значениями симметрия явно отсутствует, что приводит к отличному от нуля стационарному значению Следствия, вытекающие из формулы (III.38), были проверены экспериментально [1].

На фиг. 2 показана зависимость от напряженности вращающегося поля, вытекающая из формулы (III.38) для случаев На этой же фигуре приведены экспериментальные данные. Прекрасное согласие с теорией показывает, что невидоизмененные уравнения Блоха, которые приводят к значению для являются несовершенными.

Другая интересная особенность видоизмененных уравнений Блоха состоит в том, что поглощенная мощность не стремится

к нулю при уменьшении так как в (III.36) пропорционально а не

Отсылая читателя за дальнейшими подробностями к работе [1], перейдем к обсуждению стационарного решения (III.34) для случая линейно поляризованного радиочастотного поля.

Для сравнения с реакцией на вращающееся поле рассмотрим вначале случай, когда Тогда уравнения (III.34) записываются в виде

Точное стационарное решение уравнений (III.39) получается сразу

откуда

Остальные компоненты тензора восприимчивости равны нулю. Это — формулы Дебая, хорошо известные в теории диэлектрической дисперсии и релаксации.

Для конечного и осциллирующего радиочастотного поля нельзя найти решение уравнения (III.34) в замкнутой форме. Подобный случай уже встречался в задаче для свободных спинов. Стационарное решение может быть найдено в виде ряда

где пробегает значения

Появление в (111.41) гармоник с можно интерпретировать как поглощение системой спинов более чем одного кванта. Это явление уже было отмечено в гл. II в связи с реакцией ансамбля свободных спинов на осциллирующее радиочастотное поле (а не на вращающееся). Поведение решений определяется двумя безразмерными параметрами

первый из которых характеризует остроту резонанса, а второй — величину насыщения.

Если пренебречь насыщением, то выражения для сразу же получаются из решения (III.37) для вращающегося поля, поскольку

линейно поляризованное поле является суперпозицией двух таких полей

С помощью (III.37) и (III.37а) легко убедиться, что при как так и стремятся к значениям Дебая (III.40).

Если поперечная ядерная намагниченность регистрируется по , индуцируемой в катушке, которая располагается под прямым углом к катушке, создающей поле Ни то необходимо знать Последние легко вычисляются как суммы вкладов от реакции образца на обе противоположно вращающиеся составляющие внешнего поля и оказываются равными

причем определяются выражением (III.37). Мы не будем рассматривать случай линейно поляризованного радиочастотного поля при наличии насыщения, т. е. случай, когда Если отношение мало, то различие между решениями видоизмененных и невидоизмененных уравнений Блоха для вращающегося и линейно поляризованного радиочастотного полей незначительно. Такая задача уже была рассмотрена и решена раньше. С другой стороны, если одновременно то задача чрезвычайно усложняется, ибо необходимо решение системы уравнений с бесконечным числом неизвестных величин Практическое значение этого вопроса в ядерном магнетизме не оправдывает труда, необходимого для решения такой задачи.

В. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ МЕТОДЫ В ЯДЕРНОМ МАГНЕТИЗМЕ

Уравнения Блоха получаются из более простых уравнений справедливых для ансамбля свободных спинов, путем добавления релаксационных членов, которые содержат времена релаксации Физический смысл как постоянной времени, характеризующей скорость установления теплового равновесия системы спинов с решеткой, совершенно ясен. Во многих случаях можно показать экспериментально, а в некоторых и теоретически, что такой процесс действительно можно описать единственной экспонентой с постоянной времени Дать однозначное определение гораздо труднее, и в литературе можно найти противоречивые толкования его смысла.

При макроскопическом подходе, который используется в этой главе, можно дать следующее операционное определение Экспериментально было показано, что для широкого круга веществ (главным образом жидкостей), находящихся в достаточно однородных полях, движение макроскопического вектора ядерной намагниченности, включая и случай насыщения, точно описывается уравнениями Блоха с соответствующими значениями постоянных Тогда из уравнений Блоха следует, что как обратная ширина ненасыщенной линии, так и постоянная времени свободного затухания поперечной намагниченности равны Поле можно считать достаточно однородным, если уменьшение размеров образца

не приводит к уменьшению ширины линии. Однако на практике для многих жидких образцов такой однородности никогда не удается достигнуть, и неоднородность внешнего поля все еще остается главной причиной, обусловливающей ширину линии даже для самых малых образцов, которые еще могут давать наблюдаемый сигнал. В этом случае должно быть найдено иное операционное определение для