Зависимость периода гармонических колебаний от параметров системы играет важную роль во многих технических и физических измерениях, например: в определении моментов инерџии тел, в измерении магнитных полей. Если известен момент инерџии магнита, то из результатов исследования его колебаний в магнитном поле можно найти в отдельности произведение магнитного момента на поле и отношение магнитного момента к полю и вычислить по этим данным магнитное поле. Этим способом Гаусс определял напряжение магнитного поля Земли.

Вопросы, относяџиеся к периоду колебаний, играют важную роль в машиностроении. Часто случается, что џентр тяжести вращающейся массы машины немного смещен по отношению к оси вращения. При вращении развивается џентробежная сила, периодически действующая на ось. Когда период вращения совпадает с периодом собственных колебаний системы, состоящей из машины и фундамента, на котором она укреплена, то развиваются опасные явления: колебания усиливаются. Это явление носит название резонанса.

Можно множить до бесконечности примеры систем, совершающих гармонические колебания. Остановимся на одном из них. Представим себе, что в Земле просверлен канал, проходящий через ее центр, и что в этом канале находится тяжелое тело. Легко доказать, что действующая на него сила пропорџиональна расстоянию от пентра Земли. Это соответствует гармоническому колебанию; его период – около 42 минут. Конечно, это шутка, но вы знаете, что Дж. Дж. Томсон положил подобную модель в основу своей теории атома. Согласно этой модели атом – шар, равномерно заряженный по всему объему положительным электричеством, внутри которого колеблются отриџательные заряды – электроны. Известно теперь, что эта модель глубоко, принџипиально неправильна, но в свое время она сыграла большую роль.

Рассмотрим еще один пример, на котором мы убедимся, как мне кажется, в пользе рассмотрения колебательных вопросов с общей точки зрения. Попутно я хотел бы спросить, qто для вас нагляднее: механические или электрические схемы? Кельвин говорил: „Я могу сказать, что я понял явление, если я могу составить для него механическую модель\”. Многие современные физики сказали бы обратное: „Я понимаю механическое явление, если я создал для него электрическую модель\”.

Представим себе два диска, соединенные стержнем (как сказал бы физик) или валом (как сказал бы техник). Эта система имеет две степени свободы: во-первых, диски могут вращаться вместе, как твердое тело; во-вторых, они могут поворачиваться друг относительно друга и закручивать стержень. Рассчитаем движение такой системы. Ее кинетическая энергия
\[
T=\frac{I_{1} \dot{\varphi}_{1}^{2}}{2}+\frac{I_{2} \dot{\varphi}_{2}^{2}}{2}
\]

где $I_{1}, I_{2}$ – моменты инерџии дисков; $\varphi_{1}, \varphi_{2}$-их углы поворота. Потенџиальная энергия $U$ зависит только от разности $\varphi_{1}-\varphi_{2}$ :
\[
U=\frac{k\left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)^{2}}{2},
\]

причем коэффиџиент $k$ характеризует упругость стержня при кручении.

Представим себе, что мы скрутили систему и пустили ее. Тогда движение будет совершаться под действием одних только внутренних сил. При этом справедлив закон моментов количества движения:
\[
I_{1} \dot{\varphi}_{1}+I_{2} \dot{\varphi}_{2}=\text { const. }
\]

Если в начальный момент система была в покое, то const $=0$ и
\[
I_{1} \varphi_{1}+I_{2} \varphi_{2}=\text { const }^{\prime} .
\]

Если теперь мы условимся отсчитывать углы так, чтобы для $t=0$ было
\[
I_{1} \varphi_{1}+I_{2} \varphi_{2}=0
\]

то это уравнение будет оставаться верным для произвольного $t$. Уравнение (1) – это простоз алгебраическое уравнение. Мы как будто получили систему с одной степенью свободы. Нас интересует, каков период ее собственных колебаний. Но мы не будем его вычислять, а рассмотрим вместо этого аналогичный әлектрический пример (рис. 20). Введем обозначения:
\[
Q_{1}=\int_{0}^{t} i_{1} d t, \quad Q_{2}=\int_{0}^{t} i_{2} d t
\]
$\left(Q_{1}\right.$ и $Q_{2}$-заряды $)$. Потенциальной энергией здесь является электростатическая өнергия
\[
U=\frac{\left(Q_{1}-Q_{2}\right)^{2}}{2 C} .
\]

Кинетической энергией здесь является магнитная энергия
\[
T=\frac{L_{1} \dot{Q}_{1}^{2}}{2}+\frac{L_{2} \dot{Q}_{2}^{2}}{2} .
\]

Кроме того, если взять обход, показанный стрелками, то по обобщенному закону Кирхгофа имеем:
\[
L_{1} \dot{Q}_{1}+L_{2} \dot{Q_{2}}=0 .
\]

Сравните наши две задачи: они совершенно ‘аналогичны. Те, кто занимается өлектрическими схемами, сразу дадут ответ на вторую задачу. Две параллельно соединенные индуктивности өквивалентны одной индуктивности:
\[
L=\frac{L_{1} L_{2}}{L_{1}+L_{2}} .
\]

Отсюда видно, что в механическом примере мы можем рассуждать так, как будто у нас одна степень свободы, но момент инерџии есть
\[
I=\frac{I_{1} I_{2}}{I_{1}+I_{2}} .
\]

Следовательно, период колебаний механической системы равен
\[
\tau=2 \pi \sqrt{\frac{l}{k}} \text {. }
\]

Для меня механический пример не был сразу ясен. Я бы не смог сразу, не рассуждая, заменить два диска одним диском с подходяшим моментом инерџии. Между тем электрическая модель для меня совершенно очевидна. Вероятно, для тех, кто много занимается пропеллерами, дело обстоит как раз наоборот.

Еше одно замечание: чему в электрической системе соответствует вращение всей механической системы как џелого? Ему соответствует постоянный ток в џепи из индуктивностей. Если он есть, то он будет продолжать течь неопределенно долго (в случае отсутствия сопротивления). Здесь видно, что теория колебаний систем с одной степенью свободы охватывает более широкий класс явлений, чем это могло показаться с первого взгляда.

Перейдем к другому вопросу. Очень часто, когда делают выводы из той или иной теории, забывают, что допущена определенная идеализаџия и впадают при этом в большие ошибки. Вернемся к тем предпосылкам, из которых мы исходили, когда рассматривали маятник с одной степенью свободы. Мы считали, что стержень не имеет массы. В сущности, этим мы откинули все явления, связанные с тем, что стержень может колебаться, как распределенная система. Казалось бы, естественно представить себе, что стержень становится все более и более жестким, но здесь нельзя перейти к пределу. Современная физика считает, что принџипиально не существует абсолютно жестких тел. Я приведу доказательство этого утверждения, данное Лауэ. Предположим, что у нас имеется очень длинный стержень (рис. 21) и пусть он абсолютно жесткий. Если мы передвинем конец $A$ стержня, то в то же мгновение должен передвинуться и конеџ $B$. Теория относительности утверждает, что это невозможно: она принимает в качестве постулата, что скорость сигнала может быть только меньше или равна скорости света. Выход из противоречия в том, что благодаря сжимаемости стержня движение передается по нему не мгновенно.

Разберем другое сделанное нами предположение. Допустим, что мы можем ограничиться рассмотрением одной степени свободы. Вообще говоря, закон Гука не имеет места. Пользуясь, как мы это делали, законом Гука, мы ограничились первым членом разложения силы, как функции смещения, в степенной ряд. Можно ли отбрасывать остальные члены? Это очень важный
Рис. 21.

и тонкий вопрос. Существует ли непрерывная зависимость между параметрами, входящими в дифферендиальное уравнение, и его решениями? Я не знаю, рассмотрен ли этот вопрос где-нибудь как следует (кое-что сказано з книге Куранта и Гильберта²). Между тем без такого рассмотрения никакая математическая теория не может претендовать на физическую значимость.

Борель приводит пример, где сколь угодно малое спедиальное изменение дифференџиального уравнения ведет к коренному изменению характера решений. Надо надеяться, что тот класс уравнений, с которым мы имеем дело, не допускает подобных вещей. Пример Бореля связан как раз с гармоническими колебаниями. Напишем уравнение
\[
m \dot{x}^{2}+k x^{2}=\text { const. }
\]

Его решениями являются синусоидальные функџии, имеющие периодический или, говоря более обще, осџиллаторный (колебательный) характер. (Здесь характерно чередование: максимум, нуль, минимум и т. д.)
1 [Р. Курант и Д. Гильберт. Методы математической физики. (M.-N., 1951).1

Изменим уравнение следующим образом:
\[
m \dot{x}^{2}+k x^{2}=\text { const }+\lambda t,
\]

причем константа $\lambda$ положительна и как угодно мала. Добавление члена $\lambda t$ качественно изменяет характер решений: уравнение (2) не допускает колебательного решения. Действительно, в силу (2)
\[
(m \ddot{x}+k x) \dot{x}=\lambda,
\]

что исключает (так как $\lambda>0$ ) возможность равенства $\dot{x}=0$. Поэтому $x$ не может иметь максимума или минимума, решение не может быть осџиллаторным. Если бы мы получили уравнение (2) и откинули бы член с $\lambda$ ввиду его малости, то, даже интересуясь только изменением $x$ на протяжении конечного времени, мы получили бы в корне неправильный ответ.

К счастью, в тех случаях, с которыми мы оперируем, дело обстоит, повидимому, благополучно. Однако вы видите, насколько нужно быть осторожным: приходится предполагать, что мы такого рода отбрасывания делаем удачно.

Вернемся к физике. Обычно говорят: в случае груза, висящего на пружине, можно считать, что система имеет одну степень свободы, если масса пружины мала по сравнению с массой груза. По существу это в конечном счете верно. Смысл того, что я скажу-не в том, что обычное утверждение ошибочно, а в том, что оно не разъясняет сущности дела. Ведь при выводе уравнения движения рассматриваемой системы предположение о малости массы пружины нигде не входит. При выводе уравнения движения пользуются вторым законом Ньютона:
\[
m \ddot{x}=f,
\]

справедливым независимо от величины массы $m$. Предполагается далее, что
\[
f=-k x .
\]

При этом ни слова не говорится о том, что масса пружины мала. Но известно, что если пружина имеет очень большую массу, то уравнение (3) неверно. В чем же дело?

Мы сделали предположение, что если нижний конеџ пружины сдвинется на $x$, то разовьется сила- $k x$. Это, вообще говоря, неверно. Эта гипотеза верна только в статическом случае, если пружина растягивается достаточно медленно. В общем случае пружина в разных своих частях сжата или растянута по-разному; при этом ее удлинение не пропорџионально силе.

Итак, существенно предположение, что пружина деформируется статически или, точнее, квазистатически. Как это связано с величиной ее массы? Строгий анализ показывает, что пружина сама может колебаться, как распределенная система. При этом пружина уже не ведет себя квазистатически. Но если масса пружины мала, то мы имеем право не считаться с этими колебаниями, потому что они тогда очень быстрые и весьма быстро затухают. Они изменяют картину только в „первый момент\”, пока они еще не затухли. Но иногда уже „первый момент\” чрезвычайно существенен. Я приведу два примера.
Допустим, что мы оттягиваем пружину за середину (рис. 22) и отпускаем (аналогично можно поступить с зарядом на конденсаторе). Если начальные условия – „естественные“ для одной степени свободы (т. е. в начальный момент пружина деформирована однородно), то быстрые колебания не возникают. Но в данном случае в первый момент пружина начнет быстро колебаться, и эти быстрые колебания могут поглотить очень много өнергии. Потенџиальная энергия равняется в начальный момент
\[
\frac{k^{\prime} x^{2}}{2},
\]

где $k^{\prime}$ – сила, нужная для того, чтобы оттянуть пружину на 1 см в месте захвата. Если өто место – середина пружины, то $k^{\prime}=2 k$, где $k$-жесткость при растяжении за конеџ пружины. Таким образом, сила при том же самом удлинении вдвое больше, если точка ее приложения находится в середине пружины. Итак, потенџиальная энергия равна в начальный момент
\[
\frac{(2 k) x^{2}}{2} \text {. }
\]

Когда натяжение в пружине перераспределяется, смещение груза останется равным $x$, так как груз не успеет заметно сдвинуться. Поэтому после перераспределения потенџиальная өнергия будет равна $k x^{2} / 2$. Отсюда видно, что половина начальной энергии уходит на быстрые колебания. Дальнейший проуесс идет с половинной әнергией.

Второй пример – электрический аналог первого. Сперва заряжается одна пара пластин (рис. 23), затем проскакивает искра и возникают быстрые затухающие колебания в контуре, состоящем из конденсаторов и соединяющих их проводов (колебания эти быстрые из-за того, что соединительные провода очень коротки). Вследствие этих колебаний происходит перераспределение зарядов между пластинами. После того, как произошло өто перераспределение, два конденсатора можно рассматривать как один. Но в первый момент этого делать нельзя, так как имеет место „неестественное\” начальное условие. Вместе с перераспределением зарядов происходит перераспределение энергии. Часть өнергии идет при этом на теплоту, выделяюшуюся при быстрых колебаниях.

Если забыть об особенностях начальных условий, то будет сделана ошибка в өнергии. Эта ошибка может быть очень велика (может превратиться в тепло любая доля энергии), в завиРис. 23. симости от точки приложения силы (в случае пружины) или от соотношения емкостей (в случае конденсаторов). Итак, не нужно забывать, что могут быть такие начальные условия, при которых обычная идеализаџия не является справедливой.

Рассмотрим теперь системы с одной степенью свободы в более общем случае, когда емкость и индуктивность зависят от величин электрического и магнитного поля. Так будет в случае катушки с железом и конденсатора с селнетовой солью. Поведение таких систем при больших амплитудах описывается нелижейными дифференџиальными уравнениями. Написать эти уравнения легко, но они мало изучены. Здесь можно пойти в таком направлении: можно стараться представить себе на основании самого дифферендиального уравнения, не решая его, всю качественную картину движений. Особенно важен и плодотворен этот подход в теории так называемых автоколебательных систем. Әтими вопросами мы будем в свое время заниматься ${ }^{1}$.
1 [См. 13-ую и 14-ую лекџии.]

Постараемся, применяя эти методы, выяснить картину движения, не ограничиваясь спеџиальным случаем линейности. Пусть уравнение движения имеет вид
\[
m \ddot{x}=f(x),
\]

где $f(x)$-однозначная функџия $x$. Умножив уравнение на $d x / d t$ и проинтегрировав, мы получим, обозначив
\[
F^{\prime}(x)=-f(x),
\]

первый интеграл:
\[
\frac{m}{2}\left(\begin{array}{l}
d x \\
d t
\end{array}\right)^{2}+F(x)=W
\]
( $W$-постоянная). $F(x)$ называется потенџиальной энергией. Это уравнение выражает закон сохранения энергии (мы имеем дело с консервативной системой).
Пусть для простоты $m=2$. Тогда, обозначив
\[
W-F(x)=\Phi(x),
\]

имеем:
\[
\frac{d x}{d t}= \pm \sqrt{\Phi(x)} .
\]

Двузначность квадратного корня имеет огромное значение для поведения системы. С ней связана возможность периодических (и вообще колебательных) решений.
Рассмотрим уравнение
\[
\frac{d x}{d t}=\psi(x)
\]

где $\psi(x)$ – однозначная функция от $x$. Такое уравнение не допускает периодического решения (оно соответствует телу без массы, движущемуся в вязкой жидкости). Физически ясно, что здесь не может быть периодического движения: при периодическом движении тело должно поочередно проходить одно и то же положение, двигаясь в одну, затем в другую сторону, т. е. при одном и том же $x$ скорость должна иметь то один, то другой знак. Но здесь, при данном $x$, скорость $d x / d t$ имеет вполне определенное значение, и, следовательно, это невозможно. В случае же консервативной системы, из-за наличия двух знаков, это не запрещается.
Заметим, что $\Phi(x) \geqslant 0$ (мнимые скорости не рассматриваются).

Рассмотрим ряд случаев.
1. Пусть на всем рассматриваемом интервале значений $x$ функџия $\Phi(x)$ не имеет корней, т. е. не обращается в нуль. Так обстоит дело, например, тогда, когда точку отталкивает сила, пропорџиональная расстоянию.
Перепишем дифференџиальное уравнение (4) в виде
\[
d t=\frac{d x}{\sqrt{\Phi(x)}},
\]

откуда
\[
t+C=\int_{x_{0}}^{x} \frac{d x}{\sqrt{\Phi(x)}} .
\]

Предположим, что мы пускаем часы $(t=0)$ в тот момент, когда $x=x_{0}$ (мы вводим спешиальный отсчет времени). Тогда $C=0$.

С увеличением $x$ здесь $t$ монотонно растет. Скорость направ. лена всегда в одну сторону. Мы еџе не нашли $x$, как функцию от $t$, т. е. $x=x(t)$. Однако мы уже знаем, что $t$-монотонная функџия от $x$. Следовательно, ее можно однозначно обернуть. Таким образом, мы решили качественную задачу. Мы знаем, что тело все время движется в одном и том же направлении. Может случиться, что $x$ обращается в бесконечность при конечном значении $t$, т. е. тело за конечное время уходит в бесконечность. Но нормальный случай – тот, когда точка уходит в бесконечность за бесконечное время.
2. Пусть функџия $\Phi(x)$ имеем два корня:
\[
\boldsymbol{\Phi}\left(x_{1}\right)=0, \boldsymbol{\Phi}\left(x_{2}\right)=0,
\]

и пусть начальное значение $x=x_{0}$ заключено между этими корнями:
\[
x_{1} \gtrless x_{0}<x_{2} \text {. }
\]

Тогда
\[
t=\int_{x_{0}}^{x} \frac{d x}{\sqrt{\Phi(x)}},
\]

причем
\[
\Phi(x)=\left(x_{2}-x\right)\left(x-x_{1}\right) \Psi(x)
\]

и $\Psi(x)$ в интервале $x_{1}<x<x_{2}$ не обращается в нуль. Так как $\Phi(x) \geqslant 0$, то в интервале $x_{1}<x<x_{2}$ имеем $\Psi(x)>0$; значения $\Psi\left(x_{1}\right)$ и $\Psi\left(x_{2}\right)$ могут равняться нулю. Если $\Psi\left(x_{1}\right)$ равно нулю, то $x_{1}$ – кратный корень функџии $\Phi(x)$. Аналогично обстоит дело c $\Psi\left(x_{2}\right)$. В общем случае можно написать:
\[
\Phi(x)=\left(x_{2}-x\right)^{m}\left(x-x_{1}\right)^{n} \Psi(x),
\]

где $m$ и $n$ – џелые числа, указывающие кратность корней $x_{2}$ и $x_{1}$, а $\Psi(x)
eq 0$ на сегменте $x_{1}<x<x_{2}$. Заметим еще, что если корень – двойной, то в нем не только $\Phi(x)$, но и $\Phi^{\prime}(x)$ обращается в нуль.
Рассмотрим случай простых корней.
Пусть сначала $d x / d t$ – положительная величина. Точка движется в сторону возрастающих $x$. При $x=x_{2}$ она имеет скорость нуль. Достигает ли она положения $x=x_{2}$ за конечное или за бесконечное время? Оказывается, что если корень $x=x_{2}$ простой, то она достигает положения $x=x_{2}$ за конечное время.

Это следует из известной теоремы, согласно которой при $f(b)=\infty$ интеграл
\[
\int_{a}^{b} f(x) d x
\]

конечен, если в окрестности точки $b$
\[
\left|(b-x)^{n} f(x)\right|<C,
\]

причем $p<1$; в нашем случае простого корня это неравенство выполняется при $p=\frac{1}{2}$. Оказывается далее, что если корень $x=x_{2}$ – кратный, то положение $x=x_{2}$ достигается за бесконечное время. Мы имеем дело в последнем случае с асимптотическим движением: точка асимптотически приближается к положению $x=x_{2}$.

Различный характер движения в случае простого и кратного корня поясняет следуюший простой пример.
Пусть
\[
\Phi(x)=(a-x)^{2}
\]
( $x=a$ – двукратный корень). $3_{\text {десь интеграл }}$
\[
\int_{0}^{a} \frac{d x}{\sqrt{\Phi(x)}}=\int_{0}^{a} \frac{d x}{a-x}
\]

логарифмически обращается в бесконечность. Пусть теперь
\[
\Phi(x)=a-x
\]

( $x=a$ – простой корень). Тогда интеграл
\[
\int_{0}^{a} \frac{d x}{\sqrt{\Phi(x)}}=\int_{0}^{a} \frac{d x}{\sqrt{a-x}}
\]

конечен.
Если $d x / d t<0$ и происходит движение в обратную сторону, то можно высказать аналогичные утверждения.

Пусть корни $x=x_{1}$ и $x=x_{2}$-простые. Точка достигает положения $x=x_{2}$ за конечное время. Что произойдет в точке $x=x_{2}$ ? Скорость здесь равна нулю. Найдем ускорение:
\[
f(x)=-F^{\prime}(x)=\Phi^{\prime}(x) .
\]

Но в случае простого корня
\[
\Phi(x)=\left(x_{2}-x\right) \Psi(x),
\]

где $\Psi\left(x_{2}\right)>0$ и, следовательно,
\[
f\left(x_{2}\right)=\Phi^{\prime}\left(x_{2}\right)=-\Psi\left(x_{2}\right)<0 .
\]

Таким образом, ускорение в положении $x=x_{2}$ отриџательно, а значит, по достижении положения $x=x_{2}$ возникает движение в обратном направлении. Материальная точка пробегает затем все положения со скоростью, совпадающей с прежней по абсолютной величине, но с обратным знаком. Легко видеть, что движение при этом периодическое.

Итак, мы получили следующий замечательный результат. Если $\Phi(x)$ не имеет корня, то движение непременно присходит в одном направлении. Если имеется два корня и оба-простые, то получается периодическое (либраџионное) движение. Если хотя бы один из корней двойной, то получится асимптотическое (лимитационное) движение.

В случае либраџионного движения для периода $\tau$ имеем, очевидно, выражение
\[
\tau=2 \int_{x_{1}}^{x_{2}} \frac{d x}{\sqrt{\Phi(x)}} .
\]

Мы приобрели большие знания путем простого исследования уравнения (4).

Применим теперь полученные общие результаты к линейному осџиллатору и к маятнику.
В случае линейного осџиллатора
\[
F(x)=\frac{k x^{2}}{2}
\]

и $\boldsymbol{\Phi}(x)$ имеет при всяком $W>0$ два простых корня:
\[
x_{1}=-\sqrt{\frac{2 W}{k}}, x_{2}=+V^{\frac{2 W}{k}} .
\]

Движение – периодическое, между $x=x_{1}$ и $x=x_{2}$.
Совершенно другая картина получается для маятника. Возьмем математический маятник. Для него
\[
F(\varphi)=m g l(1-\cos \varphi)=2 m g l \sin ^{2} \frac{\varphi}{2}, \Phi(\varphi)=W-2 m g l \sin ^{2} \frac{\varphi}{2} .
\]

Будем различать три случая.
1. Пусть
\[
W<2 m g l \text {. }
\]

Тогда $\Phi(\varphi)$ имеет корни $\pm \wp_{1}$, где $0<\varphi_{1}<\pi$. Оба корня – простые, так как $\Phi^{\prime}\left(\varphi_{1}\right)
eq 0$. Следовательно, имеет место периодическое движение, причем период его зависит от амплитуды. Если $\varphi_{1}$ не очень велико, имеем приближенно, обозначив через $\varphi_{0}$, максимальное отклонение
\[
\tau=2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}\left(1+\frac{1}{4} \sin ^{2} \frac{\varphi_{0}}{2}\right) .}
\]

Период колебаний консервативной системы, вообще говоря, зависит от амплитуды.
2. Пусть
\[
W=2 m g l .
\]

Функция $\Phi(\varphi)$ имеет теперь корни
\[
\varphi_{1,2}= \pm \pi .
\]

Эти корни-кратные, и, следовательно, будет лимитационное движение: маятник подходит к верхнему положению асимптотически, никогда его не достигая.
3. Пусть, наконеџ,
\[
W>2 m g l \text {. }
\]

Тогда уравнение $\Phi(\varphi)=0$ не имеет действительного корня. Движение происходит все время в одном и том же направлении: маятник совершает вращательное движение.

Здесь, для консервативной системы, с помощью уравнения (4) мы легко получили всю картину движений. В случае неконсервативных систем такой анализ невозможен. Качественное исследование их движений должно исходить непосредственно из дифференциального уравнения. Разнообразие возможных движений оказывается там гораздо больше. При этом ряд теорем о качественном характере движений проще всего излагается на геометрическом языке.