Л.И.МАНДЕЛЬШТАМ. ТОМ IV

Научная библиотека

Научная библиотека

Л.И.МАНДЕЛЬШТАМ. ТОМ IV

АКАДЕМИЯ НАУК СОЮЗА ССР
И.И.МАНДЕЛЬШТАМ
ПОЛНОЕ СОБРАНИЕ ТРУДОВ
И 3, АТ Е $\Lambda$ Б СТВ О
АКАДЕМИИ НАУК СССР 1955

АКАДЕМИЯ НАУК СОЮЗА С СР
ПОЛНОЕ СОБРАНИЕ
ТРУ, $Д$ О В
IV
ПОД, РЕДАКЦИЕЙ АКА,ДЕМИКА
М. А. $\triangle$ ЕОНТТОВИЧА
ИЗ А,АТЕ В СТ В О
АКА, ЕМИИ НАУК СССР 1955

Комиссия по изданию трудов
л. И. МАНДЕЛЬШТАМА:
академик М. А. Леонтович, академик A. A. Андронов,

академик Г. С. Ландсбери, академик И. Е. Тамм

Оглавление

ОT РЕДАКТОРА
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ (1930-32 гг.)
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. КОЛЕБАНИЯ СОСРЕДОТОЧЕННЫХ СИСТЕМ
ПЕРВАЯ ЛЕКЦИЯ (Сентябрь 1930 г.) ${ }^{1}$. Для теории колебаний характерно рассяотрение не состояния в данный момент, а процесса в целом. Общие зхкономерности теории колебаний. Теория колебаний и волновая механика. Содружество математики, физики и техники в теории колебаний.
ВТОРАЯ ЛЕКЦИЯ (Сентябрь 1930 г.) Периодическая функция. Синусоидальная функция. Амплитуда, частота, циклическая частота, фаза. Диапазон частот, встречающихся в природе. Среднее, среднее квадратичное, эффективное значение. Сложение синусоидальных колебаний. Суперпояиция, неудачность термина „интерференция“; неаддитивность энериий. Сложение колебаний со случайными фазами; необходимость статистического постулата; аддитивность энериий в среднем; когерентные и некогерентные колебания.
ТРЕТЬЯ ЛЕКЦИЯ (Октябрь 1930 г.) Задача об апроксимации функций тригонометрическими полиномами. Теорема Фурье. Исторические замечания о понятии функции. Класс функций, раяложимых в ряд Фурье. Метод комплексных величин; когда можно и когда нельяя его применять.
ЧЕТВЕРТАЯ ЛЕКЦИЯ (Октябрь 1930 г.) Ряды Фурье (продолжение); явление Гиббса. Биения. Как мы уянаём направление на источник явука. „Гармоническое колеБание с медленно меняющейся амллитудой и фаяой“. Критерий медленности определяется конкретной фияической вадачей. Кажущееся нарушение вакона сохранения энериии при интерференции
ПЯТАЯ ЛЕКЦИЯ (Октябрь 1930 г.) Почти-периодические функии. Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний одинакового периода. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний, имеющих различные периоды. Соизмеримость и несоиямеримосто периодов. Радиолрием „посредством биений“. Роль нелинейности. Детекторы. Выпряление. Образование разностного тона. Некоторые методы экспериментального исследования колеБаний.
ШЕСТАЯ ЛЕКЦИЯ $(24 / X 1930 \text { г.) })^{1}$ Теория колебаний маятника, данная Галихеем. Теория колебаний каяп ника, основанная на законе сохранения энерии. Роль маятника в истори физики. Гармонические колебания механических систем, в которых сих определяется упругими деформащияли. Колебания в коктуре, обладающе. емкостью и индуктивностью. Общие заметания о колебан:ях около устой чивог положения равновесия. Кажущееся однообразие электрических коль бательны.т систел.
СЕДЬМАЯ ЛЕКЦИЯ (27/X 1930 r.) Примеры механических колебательных систем. Вал с двумя дисками и его электрическая модель. Осторожность, необходимая при идеалияациях. Пример Бореля. „Неетественные\” нацалные условия в случае груза, висящето на пружине. Электрическая аналоия этого случая. Кагественное исследование движений нелинейной консеввативной системы с одной степенью свободы с помощью интеграла энерии: неоранитенное одностороннее движение, либрационное движение, лимитационное движение. Применение общей теории к гармоническому осцихлатору и к маятнику.
ВОСЬМАЯ ЛЕКЦИЯ (3/XI 1930 2.) Илюстрации к качественной теории Вейерштрасса. Налядное представление и математическая теория. Представление движения на фазовой плоскости. Особые точки и замкнутые интегральные кривые нелинейного дифференциального уравнения.
ДЕВЯТАЯ ЛЕКЦИЯ$\boldsymbol{\Lambda}\[ \text { (15/XI } 1930 \text { г.) } \] Изображение движения на фазовой плоскости (продолжение). Особые точки и замкнутые кривые. Фазовая картина некоторых консервативных систек. Теорема вириала и ее применение к кинетической теории газов.
ДЕСЯТАЯ ЛЕКЦИЯ \[ \text { (25/XI } 1930 \text { г.) } \] Применения теоремы вириала (продолжение). Пример Богуславского. Идеальный гая. Твердое тело. Статистический постулат Больцмана. Вычисление средней энерии осциллатора. Классическая теория теплоемкости твердого тела; ее неудовлетворительность. Равновесное иялучение. Вопрос о распределении энерии в его спектре. Классическая теория; ее неудовлетворительность. Статистический постулат Планка; квятование энергии осциллатора.
ОДИННАДДАТАЯ ЛЕКЦИЯ \[ \text { (28/XI } 1930 \text { г.) } \] Вычисление средней энертии квантованного осщиллатора. Квантовые формулы для спектральной плотности равновесного излучения и для энергии твердого тела. Понятие адиабатического инварианта. Адиабатическая инвариантность отношения средней кинетической энергии к частоте (на примерах).
ДВЕНАДДАТАЯ ЛЕК ИИ (5/XII 1930 2.) Адиабатические инварианты (окончание): квантование осџилятора по Планку и теория адиабатических инвариантов; гипотеза Эрен реста. Квантование осциллатора в волновой механике. Колебательные системы с одной степенью свободы с учетом трения (сопротивления). Отриџательное сопротивление и второй закон термодинамики. Коэффициент полезното действия*роцесса зарядки конденсатора аккумуляторной батареей. Затухающие колебания: коэффиџиент затухания; логарифмический декремент. Маятник Фроуда.
ТРИНАДДАТАЯ ЛЕКЦИЯ (8/XII 1930 г.) Затухающие и нарастающие колебания в линейной системе. Маятник Фроуда (продолжение). Ламповый генератор. Невозможность незатухающих колебаний в линейной неконсервативкой системе. Нелинейная задача о системе с постоянным трением. Разрывная идеализация характеристики электронной лампь.
ЧЕТЫРНАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ (15/XII 1930 г.) Идеализированный дамповый генератор. Периодическое движение. Его устойчивость. Процесс установления колебаний. Предел применимости идеализации. Изменение мощности генератора при параллельном включении нескольких ламп. Коэффициент полезного действия генератора. Линейная система с одной степенью свободы; случай, колда движения апериодичны. Действие внешней периодической силы на линейную систему с одной степенью свободы; предварительное понятие о резонансе.
ПЯТНААДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ \[ \text { (18/XII } 1930 \text { 2.) } \] Действие внешней синусоидальной силь на линейную систему с одной степенью свободы. Установившиеся колебания. Энергетические соотношения. Резонанс для заряда (смещения) и для тока (скорости). Резонансные кривые. Измерение декремента. Фазовые соотношения. Иэмерение декремента с помощью элекіродинамометра.
ШЕСТНАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ (25/XII 1930 г.) Резонанс в технике. Резонанс в оптике; фазовые соотномения. Неустановившийя режим; нарастание колеБаний в затухающем осџиллаторе. Резонанс в незатухающем осциллаторе. Мнимое опровержение теории относительности, Сила, состоящая из ряда синусоидальных составляющих. Фияическое яначение раяложения Фуре. Противоречие между требованиями селективности и правильного воспроизведения модуляции. Ошибочная точка зрения Флемина в вопросе о реальности боковых полос.
СЕМНАДДАТАЯ ЛЕКЦИЯ (28/XII 1930 г.) Действие помех на линейную колебательную систему с одной степенью свободы. Увеличение отномения сигналіпомеха при уменьшении затухания.
ВОСЕМНАДДАТАЯ ЛЕКЦИЯ (5/I 1931 г.) Уравнение колебаний маятника с горизонтально и вертикально колеблющейся точкой подвеса. Контур с периодически меняющейся емкостью. Теория линейного дифференциального уравнения второг порядка с периодическими коэффициентами.
ДЕВЯТНАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ (8/I 1931 r.) Примеры систем с периодически меняющимся параметром. Параметрический резонанс; его отличие от „объного резонанса. Физическое объяснение простейшего случая параметрического резонанса. Частотная модуляия. Ошибочное мнение о возможности сузить интервал частот, нужный для радиопередачи, посредством перехода к частотной модуляции. Асимптотическое решение для медленното изменения частоты и ето разложение на синусоидальные составляющие. Как правильно записать „синусоидальное колебание с переменной частотой“. Колда имеет смысл говорить о „синусоидальном колебании с переменной частотой“.
ДВАЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ (15/I 1931 г.) Интеграл Фурье. Разложение в интеграл Фурье отрезка синусоиды. Несовместимость монохроматитности и концентрированности сигнала. Аналогия с соотношением неопределенностей в волновой механике. Рассмотрение действия произвольной внешней силы на гармонический осџиллатор без ралложения в спектр.
ДВАДДАТЬ ПЕРВАЯ ЛЕКЦИЯ (18/I 1931 2.) Реальность синусообразных слагаемых в интеграле Фурье. Прияенения гармонических резонаторов в регистрирующих приборах. \”Молоточек\” H. Н. Андреева. Ток в ускоренно движущемся электрическом контуре; инерџия электронов. Аналогия в вопросах колебаний.
ДВАДЦАТЬ ВТОРАЯ ЛЕКЦИЯ (25/I 1931 г.) Понятие о связя в механике. Сөязи гэлономные, неголономные и полуголономные. Полуголономные связи в электрических системах. Уравнения ЛарранжаМаксвелла. Условие устойчивости Дирихле. Кинетическая и потенциальная энерия как квадратичные форны. Относительность рода связи.
ДВАДДАТЬ ТРЕТЬЯ ЛЕКЦИЯ (28/I 1931 2.) Математическая теория линейной консервативной системы с двуя степенями свободы. Нормальные колебания. Секулярное уравнение. Связь между парциальными и нормальными частотами. Нормальные координаты. Общее решение как суперпозиция нормальных колебаний.
ДВАДДАТЬ ЧЕТВЕРТАЯ ЛЕКЦИЯ \[ \text { (25/II } 1931 \text { r.) } \] Циклические координаты. Решение уравнений для линейной системы с двумя степенями свободы (без трения). Нормальные колебания, их частоты и распределения. Нормальные коодинаты. Нормальные частоты как экстремумы отношения двух квадратичных форм. Разделение системы на парциальные системы
ДВАДДАТЬ ПЯТАЯ ЛЕКЦИЯ (7/III 1931 х.) Случай вырождения-случай двух одинаковых нормальных частот. Еше раз о парџиальных системах и парциальных частотах. Задача о взаимодействии парџиальных систем. Сяабая и сильная связь; слабая и сильная „свлзанность\”. Нормальные колебания и перекачка энерии в случае слабой и сильной \”связанности“. Парадокс, связанный с полной перекачкой энериии при сколь угодно слабой связи.
ДВАДЦАТЬ ШЕСТАЯ ЛЕКЦИЯ (17/III 1931 2.) Примеры, эде существенное значение имеет распределение нормальных колебаний. Когда можно приближенно рассматривать связанные колебания как вынужденные. Приближенное вычисление изменения нормальной частоты при малом изменении параметра. Вырожденный случай. Эффект слабой связи в теории возмущений. Вынужденные колебания в системе с двумя степенями свободы. Теорема взаимности. Резонанс. Успокоение.
ДВАДЦАТЬ СЕДЬМАЯ ЛЕКЦИЯ (27/III 1931 г.) Механические успокоители и электрические \”пробки“. Отсутствие резонанса при совпадении частоты внешней силы с одной из нормальных частот и в случае внешней силы, ортогональной к нормальному колебанию. Линейная система с двумя степенями свободы при наличии трения. Метод, появоляющий находить интегральные эффекты, не решая дифференциального уравкения.
ДВАДЦАТЬ ВОСЬМАЯ ЛЕК ЏИЯ (6/IV 1931 2.) Затухающие колебания системы с дзумя степенями свободы. Оптические применения теории связанных колебаний. Примеры систем с бо́льиим числом степеней свободы. Самовозбуждение систем с произвольным числом степеней свободы; условия Раута-Гурвиџа. Случай кратных корней; ошибка Лагранжа.
ДВАДЦАТЬ ДЕВЯТАЯ ЛЕКЦИЯ (Апрель 1931 г.) Системы со многими стетенями свободы, кратные корни (повторение). Испольяование симметрии для отыскания формы и частоты колебаний. Введение в теорию кристаллических решеток. Квантовая теория теплоемкости кристаллов. Работа Эйнштейна. Приближенный прием Дебая. Решение дискретной задачи Борном и Карманом. Одномерная модель кристалла, состоящего из двух сортов атомов. Дебаевский и борновский спеттры.
ТРИДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ (6/V 1931 2.) Одномерная модель кристаля, состолщето из двух сортов атомов (продолжение). Подробнсе исследование типов колебаний и строения спектра. Акустические и внутримолекулярные колебания. Принцитиальное отличие от теории, не утитывающей атомистическую структуру. Переход к случаю, кода все атомы имеют одинаковую массу. Задача об электрических фильтрах.
ТРИДЦАТЬ ПЕРВАЯ ЛЕКЦИЯ (8/V 1931 2.) Фильтры (продолжение). Задача о собственных колебаниях; граничные условия. Апроксимауия кабеля одной ячейкой и многими ячейками. Фильтр как передающая система. Критическая частота; условия пропускания. „Обратный“ фильтр. Физическое обтяснение действия фильтров. Вычисление напряжения на конще фильтр в области пропускания. Резонанс.
ТРИДЦАТЬ ВТОРАЯ ЛЕКЦИЯ \[ \text { (12/V } 1931 \text { r.) } \] Фильтры (оконтание). Исследование „прямого филтра при частоте выие критической. Распределение напряжения по ячейкам. Напряжение на конце. Поведение реальных фильтров при очень высоких частотах. Акустический резонатор и акустический фильтр. Механический фильтр В. Ф. Миткевича. Общие замечания о теории колебаний. Переход к распределенным системам. Разложимость произвольной функции по собственным функциям сплошной колебательной системь.
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. КОЛЕБАНИЯ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ
ПЕРВАЯ ЛЕКЦИЯ (19/XI 1931 2.) Теория относительности утверждает, что не существует абсолютно твердых тел. Различные подходы к задаче о колебаниях твердого тела. Предельный переход к сплошной среде з решении задачи об одномерной упруэой цепочке. Вывод уравнения стержня из теории континуума. Замечания о понятии скорости волны. Проияводная для данного места и для данной частиџы. Изотермический и адиабатический модули Юнга.
ВТОРАЯ ЛЕКЦИЯ (29/XI 1931 г.) Уравнения идродинамики и вывод из них волнового уравнения. Определение понятия скорости волны. Скорость звука в газах по Ньютону и по Лапласу. \”Элементарный вывод\” уравнений двухпроводной электрической линии. Критика этого вывода. Правильная постановка задачи на основе теории Максвелла.
ТРЕТЬЯ ЛЕКЦИЯ (3/XII 1931 г.) Рассмотрение двухпроводной линии на основе теории Максвеляа. Статические задачи. Динамические задачи. Волновое уравнение. Условие применимости до-максвелловского рассмотрения. Постановка математической задачи о колебаниях растределенной системы; эраничные и начальные условия.
ЧЕТВЕРТАЯ ЛЕКЦИЯ (9/XII 1931 2.) Некоторые замечания о неоднородной электрической задаче. Различные краевые условия. Доказательство единственности решения и его связь с законом сохранения энергии. Способ Бернулли: разделение переменных. Постановка краевой задачи. Понятие о собственных значениях и собственных функция.
ПЯТАЯ ЛЕКЦИЯ (13/XII 1931 г.) Уравнение, с.одное с уравнением Шрёдингера. Периодические краевые условия. Собетвенные числа оператора. Основные свойства собственных чисел задачи Штурма-Лиувилля. Вопрос о разложимости функции в ряд по собственным функциям задачи Штурма-Лиявилля. Вопрос сходимости.
ШЕСТАЯ ЛЕКЦИЯ (19/XII 1931 г.) Задача об однородном стержне с закрепленными концами. Частоты и формы колебаний. Свойства, типичные и нетипичные для общего случая задачи Штурма-Диувилля. Случай свободных концов. Случй, кода один конец свободен, а другой- закреплен. Случай электрической линии, наруженной конденсатором. Случай электрическої линии, маруженной катушкой самоиндукции.
СЕДЬМАЯ ЛЕКЦИЯ \[ \text { (9/I } 1932 \text { г.) } \] Дополнительные замечания о ираниных условиях. Однопроводная электрическая система. Понятие о решении Абрагама. Метод Даламбера. Начальные и граничные условия. Скорость фронта волны в неоднородной системе.
ВОСЬМАЯ ЛЕКЦИЯ (13/I 1932 г.) Положительность собственных яначений задачи Штурма- Диувиляя. Каждому собственному значению соответствует одна собственная функция. Экстремальное свойство основного собственного значения. Его применение для приближенной оценки основной частоты. Свойства ортогональности собственных функций и их физический смьсх.
ДЕВЯТАЯ ЛЕКЦИЯ (19/I 1932 2.) Уравнение для отьскания собственньх значениї. Случай, колдо нет собственных значений. Случай, колда любое число является собственнын яначением. Вычисление решений дифференцального уравнения в виде ряда по степеням параметра. Теорема о существовании бесчисленного множство собственных значений задачи Штурма-Лиувиляя (начало).
ДЕСЯТАЯ ЛЕКЦИЯ (23/I 1932 2.) Окончание доказательства основной теорежы о собственных значениях задачи Штурма-Лиувилля. Число узлов собственных функций Оценки собственных значений. Изменение собственных значений при изменении параметров. Массы и индуктивности на кондах распределенной системы.
ОДИННАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ (3/III 1932 г.) Роль интегральных уравнений для физики. Функџия Грина для струны или стержня; ее зависимость от граних бых условий. Функция Грина в теории потенциала. Свойство симметрии функџии Грина. Интегральное уравнение для динамической задачи о колебаниях струны или стержня. Симметризаџия ядра уравнения.
ДВЕНАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ (9/III 1932 2.) Невозможность построить функцию Грина в случае стержня со свободными концами. Предельный переход от задачи о колебаниях дискретной цепочки к интегральному. уравнению колебаний стержня. Эквивалентность интегрального уравнения и дифференциальной схемы задачи ШтурмаЛиувилля. Пример физической вадачи другог типа, приводящей к интегральному уравнению: задача об идеальном оттическом ияображении.
ТРИНАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ (13/III 1932 г.) Дополнительные замечания по теории интегральных уравнений. Вопрос о возможности разложения произвольной функции, удовлетворяющей краевым условиям, по собственным функциям краевой задачи.
ЧЕТЫРНАДЦАТАЯ ЛЕКџИЯ \[ \text { (19/III } 1932 \text { г.) } \] Краткое реяюме содержания предыдущей лекщии. Вопрос об апроксимащии функции конечным числом членов ряда. Полнота системы собственных функций. Вопрос об условиях разложимости и’ быстроте сходимости ряда. Распределение амплитуд гармоник в зависимости от начальных условий. Пример струны, возбуждаемой щипком и ударом. Электрический аналог возбуждения ударом. Влияние ширины интервала возбуждения при ударе.
ПЯТНАДДАТАЯ ЛЕКЦИЯ (23/III 1932 г.) Замечания о собственных колебаниях. Вынужденные колебания. Однородное и неоднородное интегральное уравнение, альтернатива. Случай, кодда внешняя сила ортогональна к собственному колебанию. Альтерматива в случае дискретной системы. Нарастающие решения при резонансе. Форма колебаний при очень малой частоте внешней силы. Форма колебаний вблизи резонанса. Зависимость амплитуды вынужденного колебания от формы внешней силы.
ШЕСТНАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ (29/III 1932 г.) Нарастание колебаний при резонансе. Случай, когда внешняя сила сосредоточена на малом участке. Рассмотрение того же случая с помощью дифференциального уравнения. Зависимость амплитуды от места возбуждения. Случай, когда задано движение в тсчке. Изменение числа узлов при повьшении частсть внешней силы. Сравнительная оценка интетральных и дифференциальных уравнений. Интегральные уравнения колебаний стержня и мембраны. Приведение задачи теории потенциала к интегральным уравнениям.
ОПЕЧАТКИ И ИСПРАВЛЕНИЯ