Мы вывели в прошлый раз ряд основных свойств собствениых значений задачи Штурма- иувилля, но нам еце остается доказать само существование собственных значений, а также то, что они образуют бесконечное множество, не имегоее точек сгущения в конечной области. Исследование этих вопросов — дело трудное, так как мы не можем получить, вообще говоря, в замкнутой форме выражения для собственных функций и собственных значений.

Возникает еше другой вопрос: как практически вычислять собственные значения и собственные функџии? Существует систематический способ, который при достаточном терпении приводит к желаемому результату. Существуют также простые или плохо обоснованные способы, спеџифичные для разных частных случаев.

Предположим, что собственные значения существуют и посмотрим, как можно их вычислить. Наша задача записывается так:
$$\begin{array}{rl}\frac{d}{dx}\left(p\frac{d\phi }{dx}\right)+\lambda \overline{q}\phi & =0,\\ {({\overline{\alpha }}_1\phi -{\overline{\alpha }}_2{\phi }^{\prime })}_0& =0,\\ {({\overline{\beta }}_1\phi +{\overline{\beta }}_2{\phi }^{\prime })}_l& =0,\end{array}$$

причем
$${\overline{\alpha }}_1{\overline{\alpha }}_2>0,{\overline{\beta }}_1{\overline{\beta }}_2>0.$$

Мы можем несколько упростить уравнение (1), введя вместо $x$ новую переменную:
$$\xi ={\int }_0^x\frac{dx}{p(x)}\text{. }$$

Такое преобразование всегда возможно, так как
$$p(x)>0.$$

Имеем:
$$\frac{d\phi }{dx}=\frac{d\phi }{d\xi }\cdot \frac{1}{p},$$

и, следовательно, уравнение (1) принимает вид
$$\frac{d^2\phi }{d{\xi }^2}+\lambda q(\xi )\phi =0,$$

где
$$q(\xi )=p(x)\overline{q}(x).$$

Таким образом, наша задача записывается теперь так (вместо $\xi$ мы снова пишем $x$ ):
$$\begin{array}{rl}\frac{d^2\phi }{d{x}^2}+\lambda q(x)\phi & =0,\\ {({\alpha }_1\phi -{\alpha }_2{\phi }^{\prime })}_0& =0,\\ {({\beta }_1\phi +{\beta }_2{\phi }^{\prime })}_l& =0,\end{array}$$

где
$${\alpha }_2=\overline{{\alpha }_2},{\beta }_2=\overline{{\beta }_2},$$

Следует помнить, что здесь $l$ имеет другой смысл, чем в (3). Мы обозначили через $l$ значение $\xi$, соответствуюе прежнему $x=l$. Итак, мы можем рассматривать вместо (1) уравнение, в котором $p(x)=1$.

В обычной классической задаче о решении дифференџиального уравнения задаются $\phi$ и ${\phi }^{\prime }$ для одной точки. В интересующей нас задаче заданы два условия для $\phi$ и ${\phi }^{\prime }$ в двух точках. Но мы будем опираться при решении исследуемой задачи на то, что известно относительно классической задачи.

Уравнение (5) линейно. Если ${\phi }_1$-решение уравнения (5), то $C\phi$, где $C$-постоянная, тоже решение.

Известно, что уравнение (5) имеет фундаментальную систему решений ${\phi }_1$ и ${\phi }_2$, такую, что любое решение, вся совокупность решений, может быть представлена в виде
$$\phi =C_1{\phi }_1+C_2{\phi }_2,$$

где $C_1$ и $C_2$ — постоянные.
Если заданы $\phi$ и ${\phi }^{\prime }$ для $x=0$, то, подобрав соответственно $C_1$ и $C_2$, всегда можно найти решение (9), удовлетворяющее этим условиям.

Возьмем для простоты в качестве $p_1$ решение, удовлетворяющее при $x=0$ условиям
$${\phi }_1(0)=1,{\phi }_1^{\prime }(0)=0,$$

а в. качестве ${\phi }_2$ — решение, удовлетворяющее условиям
$${\phi }_2(0)=0,{\phi }_2^{\prime }(0)=1.$$

Такие решения существуют в силу основной теоремы теории дифференџиальных уравнений. Выясним, образуют ли эти решения фундаментальную систему. Вспомним, что необходимое и достаточное условие того, что ${\phi }_1$ и ${\phi }_2$ образуют фундаментальную систему, таково:
$$W(x)=\left|\begin{array}{cc}{\phi }_1(x)& {\phi }_2(x)\\ {\phi }_1^{\prime }(x)& {\phi }_2^{\prime }(x)\end{array}\right|eq0.$$

Для нашего уравнения (5) очень легко доказать теорему, утверждающую, что если детерминант $W(x)$ отличен от нуля для какого-то одного значения $x$, то он отличен от нуля для всех значений $x$. Но в нашем случае
$$W(0)=\left|\begin{array}{cc}{ϝ}_1(0)& {\phi }_2(0)\\ {\phi }_1^{\prime }(0)& \stackrel{\prime }{\overbrace{2}}(0)\end{array}\right|=1.$$

Следовательно, для любого $x$
$$W(x):eq0$$

и решения ${\rho }_1$ и ${\phi }_2$ образуют фундаментальную систему.
Решим теперь основной вопрос: существует ли решение, удовлетворяющее граничным условиям (6) и (7). Запишем их сокращенно в таком виде:
$$\begin{array}{l}{l}_1(0)=0;\\ l_2(v)=0.\end{array}$$

Операторы $l_1$ и $l_2$ линейны:
$$\begin{array}{c}{l}_{1,2}({\phi }_1+{\varrho }_{12})=l_{1,2}\left({\rho }_1\right)+l_{1,2}\left({\varrho }_2\right);\\ l_{1,2}(C)=C{l}_{1,2}(\mathrm{\%}).\end{array}$$

Если краевая задача (5) — (7) имеет решение, то оно содержится в (9), так как в этом семействе функций содержатся все решения уравнения (5). Таким образом, вопрос сводится к тому, можно ли подобрать $C_1$ и $C_2$ так, чтобы удовлетворить условиям (6) и (7).

Укажем явно, что наши решения ${\phi }_1$ и ${\phi }_2$ зависят от параметра $\lambda$, т. е. будем писать их в виде
$$p_1={\phi }_1(x,\lambda ),{\phi }_2={\phi }_2(x,\lambda ).$$

Потребуем, чтобы решение (9) удовлетворяло граничным условням:
$$\begin{array}{l}{C}_1{l}_1\left({\phi }_1\right)+C_2{l}_1\left({\phi }_2\right)=0\\ C_1{l}_2\left({\phi }_1\right)+C_2{l}_2\left({\phi }_2\right)=0\end{array}\}$$

Эти уравнения линейны и однородны по отношению к $C_1$ и $C_2$. Они всегда имеют тривиальное решение:
$$C_1=C_2=0,$$

но оно нас ие интересует. Нам нужно, чтобы по крайней мере одна из констант $C_1$ и $C_2$ не равнялась нулю. Уравнения (14) имеют нетривиальное решение только тогда, когда
$$\mathrm{\Delta }=\left|\begin{array}{ll}{l}_1[{\phi }_1(\lambda )]& l_1[{\phi }_2(\lambda )]\\ l_2[{\phi }_1(\lambda )]& l_2[{\phi }_2(\lambda )]\end{array}\right|=0.$$

Левая часть есть некоторая трансцендентная функция от $\lambda$. Нетривиальные решения для $C_1$ и $C_2$ могут быть только при таких $\mathrm{\%}$, которые удовлетворяют трансџендентному уравнению (15). Таким образом, сразу видно, что краевая задача имеет решение не при всяком $\lambda$.

Итак, мы получили трансџендентное уравнение для определения интересующих нас чисел $\lambda$. Нам нужно уметь его решать, хотя бы приближенным способом.

Вернемся к уже рассмотренному случаю однородного стержня и посмотрим, что там дает изложенный способ. Возьмем простейшие краевые условия
$$\phi (0)=0,\phi (l)=0$$

и положим для простоты:
$$q(x)=1.$$

Пойдем только что указанным „лобовым“, систематическим путем. Для случая (16) мы можем написать в явном виде фундаментальную систему ${\phi }_1$ и ${\phi }_2$ :
$${\phi }_1=\cos \sqrt{\lambda }x,{\phi }_2=\frac{1}{\sqrt{\lambda }}\sin \sqrt{\lambda }x.$$

Уравнения (14) здесь таковы:
$$\begin{array}{c}{C}_1\cdot 1+C_2\cdot 0=0,\\ C_1\cos \sqrt{\lambda }l+C_2\frac{1}{\sqrt{\lambda }}\sin \sqrt{\lambda }l=0.\end{array}$$

Условие (15) имеет, следовательно, вид
$$\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ \cos \sqrt{\lambda }l& \frac{1}{\sqrt{\lambda }}\sin \sqrt{\lambda }l\end{array}\right|=0,$$

откуда
$$\sin \sqrt{\lambda }l=0.$$

Это уже известное нам трансџендентное уравнение для собственных значений однородного стержня.

Вся трудность общей задачи (о неоднородном стержне)в решении трансцендентного уравнения (15). В большинстве случаев оно находится графически, но мы займемся принџипиальной стороной вопроса. Мы докажем, что уравнение (15) всегда имеет бесчисленное множество решений, образуюших дискретную совокупность. Это утверждение связано с определенным типом краевых условий. Аналогично обстоит дело и в случае периодических краевых условий
$$\phi (0)=\phi (l),{\phi }^{\prime }(0)={\phi }^{\prime }(l)$$

или похожих условий
$$\phi (0)=-\phi (l),{\phi }^{\prime }(0)=-{\phi }^{\prime }(l).$$

Но если, например, мы ставим условия
$$\vartheta (0)=0,{\phi }^{\prime }(0)=0,$$

то детерминант $\perp =1$ и нельзя подобрать $\lambda$, удовлетворяющее уравнению (15).

В случае краевых условий (17) имеем $\perp =0$, и, следовательно, краевым условиям можно удовлетворить при любом $\lambda$. В этом легко убедиться путем элементарного рассуждения. Перенесем начало координат в середину стержня. Тогда условия (17) примут вид
$$?(-\frac{l}{2})=\phi \left(\frac{l}{2}\right),q^{\prime }(-\frac{l}{2})=-{\eta }^{\prime }\left(\frac{l}{2}\right).$$

Им удовлетворяет любая функџия вида $\cos \sqrt{\lambda }x$, так как косинус четная функџия, а его производная — нечетная.

Этот аппарат очень красив на бумаге, но его трудно применить практически, так как трудно найти фундаментальную систему уравнения (5) при $q$, зависящем от $x$. В первый момент может даже показаться, что этот способ практически ничего не дает.

Надо указать путь для вычисления с достаточным приближением ${\phi }_1$ и ${\phi }_2$ как функџий $\lambda$. Общая теория говорит, что $\phi$ является непрерывной функцией от $\lambda$, а кроме того (для всякого заданного $x$ ) она является целой функџией от $\lambda$. (Џелая функџия означает-не обращающаяся в конечной области в бесконечность; $\cos \lambda ,e^{\lambda }-$ џелые функџии $\lambda$ ). Итак, $\phi$ — џелая трансџендентная функция $\lambda$, и, следовательно, ее можно искать в виде ряда по степеням $\lambda$ :
$$\phi (x,\lambda )=u_0(x)+\lambda u_1(x)+{\lambda }^2{u}_2(x)+\dots$$

Представив решение в таком виде, можно обрезать ряд на какомнибудь члене и подставить полученное таким путем приближенное выражение в трансдендентное уравнение (15). Можно указать редепт нахождения ряда (18) и доказать, что ряд сходится для всех конечных значений $\lambda$. То и другое легко сделать.
Продифферендируем дважды ряд (18):
$${\phi }^{\prime \prime }=u_0{}^{\prime \prime }+\lambda u_1{}^{\prime \prime }+{\lambda }^2{u}_2{}^{\prime \prime }+\dots$$

Подставим (18) и (19) в уравнение (5) и приравняем нулю коэффициенты при всех степенях $\lambda$. Мы получим:
$$u_0{}^{\prime \prime }=0,u_1{}^{\prime \prime }+q{u}_0=0,\dots u_n{}^{\prime \prime }+q{u}_{n-1}=0.$$

Такова последовательность уравнений, которым удовлетворяют функции $u_n$.

Условия (10), которым должно удовлетворять одно из фундаментальных решений, будут выполнены, если потребовать
$$u_0(0)=0,u_0{}^{\prime }(0)=1\text{, }$$

а для всех $n>0$
$$u_n(0)=0,u_n{}^{\prime }(0)=0.$$

Мы получаем в результате:
$$u_0=x.$$

Каждая функџия $u_n$ определяется из предыдущей $u_{n-1}$ простой квадратурой:
$$u_n=-{\int }_0^{x}d\xi {\int }_0^{\xi }q\left(n_i\right)u_{n-1}\left(r_i\right)dn$$

Итак, нахождение ${\phi }_1(x)$ [и аналогично ${\phi }_2(x)$ ] сведено к последовательному ряду квадратур. Мы оперировали с рядом формально, но можно показать, что ряд (18) сходится.

Оборвав ряд (18) на некотором члене, мы заменим трансцендентное уравнение (15) алгебраическим уравнением той или иной степени. При достаточно большом числе членов его корни будут как угодно близки к корням трансџендентного уравнения. Практически для основного колебания часто достаточно взять $3-4$ члена разложения. Для обертонов приходится брать больше членов и вычисление становится хлопотливым.

Техника выработала хорошие способы приближенного вычисления, но пока еще мало оправданные.

Перейдем к доказательству того, что существует бесчисленное множество собственных значений. Доказательства этой теоремы были даны уже давно. При этом доказательства проводились для некоторых частных граничных условий, а затем к ним сводили остальные граничные условия. Недавно появилась работа Прюфера (она изложена в третьем издании книги Бибербаха ${}^1$ ), в которой доказательство проводится сразу для самого общего случая задачи Штурма-Лиувилля. Изложим әто доказательство.
Введем новую переменную
$$y=\frac{d\phi }{dx}$$

и нап̈ишем вместо уравнения (5) два уравнения:
$$\frac{d\phi }{dx}=\gamma ,\frac{d\phi }{dx}+\gamma q?=0.$$

Положим:
$$\mathrm{\%}=p\sin \theta ,\mathrm{\%}=\rho \cos \theta \text{. }$$

Мы вводим, таким образом, две новые функции: $\hat{ı}$ и $\theta$. Имеем:
$$\begin{array}{l}\frac{d\phi }{dx}={\rho }^{\prime }\sin \theta +{\theta }^{\prime }\cos \theta ;\\ \frac{dx}{dx}={\rho }^{\prime }\cos \theta -p{\theta }^{\prime }\sin \theta \end{array}\}$$

Подставляя (22) в (20), получаем уравнения:
$$\begin{array}{l}{\rho }^{\prime }\sin \theta +\rho {\theta }^{\prime }\cos \theta -\rho \cos \theta =0\\ {\rho }^{\prime }\cos \theta -\rho {\theta }^{\prime }\sin \theta +\lambda q\rho \sin \theta =0\end{array}$$

Мы можем их преобразовать так, чтобы получилось одно уравнение для ${\theta }^{\prime }$ и другое для ${\rho }^{\prime }$. Умножим (23) на $\cos \theta$, а (24)на $\sin \theta$, и вычтем. Это дает по сокращении на? (мы далее увидим, что $\rho$ нигде не обращается в нуль):
$${\theta }^{\prime }={\cos }^2\theta +\lambda p{\sin }^2\theta \text{. }$$
1 [L. Bieberbach. Theorie der Differentialgleichungen. 3-e переработ. издание, Берлин, 1930.]

Далее умножим (23) на $\sin \theta$, а (24) — на $\cos \theta$, и сложим. Мы получим:
$${\hat{q}}^{\prime }=p(1-\lambda p)\sin \theta \cos \theta \text{. }$$

Для 9 получилось уравнение (25), не содержащее $р$. Уравнение (26) решается посредством квадратуры
$$\ln |\rho |={\int }_0^x(1-\lambda p)\sin \theta \cos \theta dx+c.$$

Чтобы ее вычислить, нужно сначала решить уравнение для $\theta$, а потом подставить решение в (26). При этом получатся две постоянные интегрирования.

Первый же шаг продвинул нас довольно значительно вперед: мы получили для $\theta$ одно уравнение. Но это куплено той џеной, что уравнение нелинейное. Можно легко модифиџировать подход так, чтобы было удобно находить решение количественно для случая медленно или мало меняюџихся $q(x)$. Но нас интересует сейчас другое — доказательство существования неограниченной последовательности собственных значений. Сейчас мы увидим, в чем заключается сила излагаемого метода.
Перепишем граничные условия (6) и (7) в таком виде:
$$\begin{array}{l}{({\alpha }_1?-{\alpha }_i⟩)}_0=0,\\ {({\alpha }_{1}p+{\alpha }_2\chi )}_i=0\end{array}\}$$

и подставим в них, вместо $\mathrm{\%}$ и функии $\rho$ и $\theta$ :
$${({\alpha }_1\sin \theta -{\alpha }_2\cos \theta )}_0=0,{({\psi }_1\sin \theta +{\beta }_2\cos \theta )}_l=0.$$

Мы видим, что в граничные условия вошла только 0 . Нужно удовлетворить граничным условиям, куда входит только $\theta$, тогда будут удовлетворены и исходные граничные условия (28).

Так как ${\alpha }_1$ и ${\alpha }_2$ — одного знака, можно удовлетворить первому граничному условию, взяв для ${\theta }_{\text{, }}$ определенное значение $і$ в первом квадранте:
$$0<{\gamma }_1<\frac{\pi }{2}.$$

Но ${\beta }_1$ и ${\beta }_2$ тоже имеют одинаковые знаки и, следовательно, в первом квадранте заведомо нельзя удовлетворить второму граничному условию. Можно пойти во второй квадрант, там мы найдем то, что нам нужно. Мы удовлетворим второму граничному условию, если возьмем ${\theta }_l={\gamma }_2$, причем
$${\pi }_2<i_2<\pi \text{. }$$

Теперь вся задача прояснилась. Найдя $\theta (x)$, удовлетворяющее уравнению (25) и равное ${\gamma }_1$ для $x=0$ и ${\gamma }_2$ для $x=l$, мы решим нашу основную задачу.

Если $\theta (x)$ для $x=0$ равно ${\gamma }_1+\pi ,{\gamma }_1+2\pi ,{\gamma }_1+3\pi ,\dots$, а для $x=l$ соответственно: ${\gamma }_2+\pi ,{\gamma }_2+2\pi ,{\gamma }_2+3\pi ,\dots$, то это дает то же самое, поскольку тангенс периодичен с периодом $\pi$ и краевые условия удовлетворяются, а ${\sin }^2$ и ${\cos }^2$ тоже периодичны с периодом $\pi$; и, следовательно, уравнение (25) тоже удовлетворится. Мы получим другое решение для $\theta$, а именно: ${\theta }_2={\theta }_1+\pi$, но это не даст ничего нового по отношению к первому решению.
Но можно поставить другую задачу: оставить первое граничное условие $\theta (0)={\gamma }_1$ и задать новое граничное условие для $x=l$, а именно: $\theta (l)=$ $={\gamma }_2+n\pi$. Если мы решим эmy задачу, то для $\theta (x)$ получится другая функџия, отличная от $\theta (x)$ при $n=0$.

Если при любом целом $n$ мы сможем найти такое $\lambda$, что соответствующее $\theta (x)$ удовлетворяет граничным условиям
$$\theta (0)={\gamma }_1,\theta (l)={\gamma }_2+n\pi ,$$

то этим будет доказано, что исходное уравнение (20) имеет бесконечное множество собственных значений.

Доказательство проводится вполне строго. Оно становится гораздо нагляднее, если поясняется геометрически.

Нелинейное уравнение (25) мы решить не можем. Но мы можем вывести из него интересующие нас свойства функџии $\theta (x)$. Из уравнения (25) видно, что при $\lambda$ положительном $\theta (x)$ — монотонно возрастающая функция. В самом деле, ее производная всюду положительна (она не может обрашаться в нуль, так как $\cos \theta$ и $\sin \theta$ не могут быть равны нулю одновременно).

Рассмотрим уравнение (25) при различных $\lambda$. Величину $\lambda q(x)$ обозначим через $\sigma (x)$ :
$${\theta }^{\prime }={\cos }^2\theta +\sigma (x){\sin }^2\theta .$$

Обозначим индексами 1 и 2 две различные функџии $\sigma (x)$ и соответствующие им $\theta (x)$ :
$$\begin{array}{l}{\theta }_1^{\prime }={\cos }^2{\theta }_1+{\sigma }_1(x){\sin }^2{\theta }_1,\\ {\theta }_2^{\prime }={\cos }^2{\theta }_2+{\sigma }_2(x){\sin }^2{\theta }_2.\end{array}$$

Пусть всюду
$${\sigma }_2(x)>{\sigma }_1(x)\text{. }$$

Кривые ${\theta }_1(x)$ и ${\theta }_2(x)$ обе монотонно поднимаются с ростом $x$. Они могут пересекаться. Если они пересекаются, то только так, что при увеличении $x$ за точку пересечения ${\theta }_2$ идет выше ${\theta }_1$ (рис. 169, a). Они не могут пересечься так, как на рис. 169 , б поскольку производная ${\theta }_1^{\prime }$ меньше производной ${\theta }_2^{\prime }$ ( ${\sigma }_1$ меньше, чем ${\sigma }_2$ ). Значит, в точке пересечения ${\theta }_1^{\prime }<{\theta }^{\prime }$. Но, может быть, они пересекаются в точке, где $\sin \theta =0$ ? Для этого значения $x$ обе производные одинаковы. Тогда кривые касаются. Я утверждаю, однако, что и здесь кривая ${\theta }_2$ пойдет выше. Действительно, кривые касаются в одной точке (они не могут касаться по џелому отрезку). Для соседних интегральных кривых $\sin {\theta }_{2}eq0$. Различные интегральные кривые ${\theta }_2$ пересекаться между собой не могут (особых точек нет). Значит, и в этом случае после пересечения (касания) кривая ${\theta }_2$ пойдет выше ${\theta }_1$. В итоге мы заключаем, что если кривые ${\theta }_1$ и ${\theta }_2$ один раз пересеклись, то они уже не могут пересечься второй раз.

Будем теперь сравнивать функци $\theta (x)$ для различных і при одном и том же $q(x)$. Будем рассматривать решение как функџию от $\lambda$. Функция $\sigma (x)=\lambda$ растет при любых $x$ вместе с $\lambda$.

Теперь ясно, как мы докажем, что существует бесконечная последовательность собственных значений.

Если ${\theta }_1$ и ${\theta }_2$, соответствуюшие $\lambda ={\lambda }_1$ и $\lambda ={\lambda }_2({\lambda }_2>{\lambda }_1)$, выходят при $x=0$ из одной точки, то значит, при $x>0$ всюду ${\theta }_2>{\theta }_1$, так как кризые не могут пересекаться. Чем больше значение $\lambda$, тем выше проходит кривая $\theta$ и тем выше она пересекает прямую $x=l$. Для того, чтобы догазать то, что нам нужно, необходимо доказать, что при $\lambda =0$ кривая $0(x)$ пересекает прямую $x=l$ ниже точки ${\gamma }_2$, а при $\lambda \to \mathrm{\infty }$ точка пересечения с прямой $x=l$ не стремится к конечному пределу. Первое нужно для того, чтобы доказать существование нацменьшего собственного значения, второе — для того, чтобы убедиться в существовании бесконечного числа собственных значений без точек сгущения.

Если эти два утверждения удастся доказать, то теорема будет доказана.