Главная > Л.И.МАНДЕЛЬШТАМ. ТОМ IV
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

Рассмотрим движение маятника, точка подвеса которого совершает заданное гармоническое колебание относительно инерџиальной системы отсчета $x_{1}, z_{1}$.

Предположим сначала, что точка подвеса колеблется горизонтально (рис. 65). Пусть
\[
x_{0}=a \cos p t
\]

есть координата точки подвеса в системе отсчета $x_{1}, z_{1}$. Напишем уравнение движения в неинерџиальной системе отсчета $x, z$, в которой точка подвеса маятника покоится. Здесь нужно ввести силу инерџии ( $-m \ddot{x}_{0}$ ), направленную по оси $x$, и уравнение движения таково:
\[
I \ddot{\varphi}=-m g l \sin \varphi-m \ddot{x}_{0} \cos \varphi,
\]

где $I$-момент инерџии маятника, $\varphi$ – угол отклонения, $m$ – масса, $l$ – длина, причем
\[
I=m l^{2} .
\]

При достаточно малых колебаниях можно считать приближенно, что
\[
\sin \varphi=\varphi, \quad \cos \varphi=1,
\]

и уравнение (1) принимает вид
\[
\ddot{\varphi}+\frac{g}{l} \varphi=-\frac{\ddot{x}_{0}}{l}=-\frac{a p^{2}}{l} \cos p t .
\]

Это-уравнение вынужденных колебаний; маятник движется так же, как под действием заданной синусоидальной внешней силы.
Пусть теперь точка подвеса колеблется вертикально (рис. 66):
\[
z_{0}=a \cos p t .
\]

Напишем и для этого случая уравнение движения в неинердиальной системе отсчета, относительно которой точка подвеса покоится.
Рис. 65.
Рис. 66.

Теперь сила инерџии ( $-m z_{0}$ ) направлена по оси $z$, и уравнение движения таково:
\[
I \ddot{\varphi}=-m g l \sin \varphi-m \ddot{z}_{0} \sin ^{n} \varphi,
\]

или приближенно, при малых $\varphi$,
\[
\ddot{\varphi}+\frac{g+\ddot{z}_{0}}{l} \varphi=0 .
\]

Подставляя сюда $z_{0}$, получаем:
\[
\ddot{\varphi}+\frac{1}{l}\left(g-a p^{2} \cos p t\right) \varphi=0 .
\]

Это- уравнение совсем другого типа, чем (2). Система здесь также неавтономна, но нет периодической внешней силы: от времени зависит коэффиџиент при ч.

Рассмотрим еше один пример: колебательный контур, в котором емкость конденсатора периодически меняется со временем.

Будем считать, что конденсатор плоский и что расстояние $d$ между пластинами меняется синусоидально:
\[
d=d_{0}(1+k \cos p t) .
\]

Емкость равна
\[
C=\frac{S}{4 \pi d},
\]

где $S$-плошадь пластин. Заряд на конденсаторе $q$ удовлетворяет, следовательно, уравнению
\[
L \ddot{q}+R \dot{q}+\frac{4 \pi}{S}(1+k \cos p t) q=0 .
\]

Получилось уравнение того же типа, что и (3).
В последнее время физики заинтересовались задачами, приводяџими к линейным уравнениям с периодическими коэффиџиентами. Такие задачи встречаются в небесной механике, в машиностроении (электровозы) ${ }^{1}$, в теории твердого тела (вследствие периодичности кристаллической решетки потенџильная энергия электрона есть периодическая функџия координат).

В этой лекџии мы познакомимся с математической теорией линейных уравнений с периодическими коэффиџиентами вида
\[
\ddot{x}+p_{1}(t) \dot{x}+p_{2}(t) x=0,
\]

причем $p_{1}(t)$ и $p_{2}(t)$ – периодические функции периода $\tau$ :
\[
\begin{array}{l}
p_{1}(t+\tau)=p_{1}(t) ; \\
p_{2}(t+\tau)=p_{2}(t) .
\end{array}
\]

Уравнение (3) является частным случаем уравнения вида (4).
Будем считать, что уравнение (4) удовлетворяет условию КошиЛипшиџа и что, следовательно, существует решение, и притом единственное, удовлетворяющее произвольным заданным начальным условиям:
\[
x(0)=x_{0}, \dot{x}(0)=\dot{x}_{0} .
\]

Пусть $x_{1}(t)$ и $x_{2}(t)$ – линейно независимые частные решения уравнения (4). Общее решение может быть представлено в виде их линейной комбинаџии:
\[
x=C_{1} x_{1}+C_{2} x_{2},
\]
${ }^{1}$ [См. 19-ую лекџию.]

где $C_{1}$ и $C_{2}$ – произвольные постоянные. Необходимым и достаточным условием линейной независимости функџий $x_{1}(t), x_{2}(t)$ является неравенство нулю детерминанта Вронского:
\[
W=\left|\begin{array}{ll}
x_{1} & x_{2} \\
\dot{x_{1}} & \dot{x_{2}}
\end{array}\right| .
\]

Любые два линейно независимые решения уравнения (4) образуют так называемую фундаментальную систему решений.

Рассмотрим частные решения $\varphi(t)$ и $\psi(t)$ уравнения (4), удовлетворяющие следуюшим начальным условиям:
\[
\left.\begin{array}{ll}
\varphi(0)=1, & \psi(0)=0, \\
\dot{\varphi}(0)=0, & \psi(0)=1 .
\end{array}\right\}
\]

Согласно известной теореме теории линейных дифференџиальных уравнений
\[
W(t)=W(0) e^{-\int_{0}^{t} p_{1}(\xi) d \xi} .
\]

В данном случае
\[
W(0)=\left|\begin{array}{ll}
\varphi(0) & \psi(0) \\
\dot{\varphi}(0) & \dot{\psi}(0)
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right|=1,
\]

и, следовательно,
\[
W(t)=e^{-\int_{0}^{t} p_{1}(\xi) d \xi}
eq 0 .
\]

Таким образом, решения $\varphi$ и $\psi$ образуют фундаментальную систему.

Докажем теперь, что существует такое решение $x_{1}(t)$ уравнения (4), которое через период воспроизводит себя с точностью до постоянного множителя, т. е. такое, что
\[
x_{1}(t+\tau)=s x_{1}(t),
\]

где $s$ – постоянная. Из (8) следует, что
\[
x_{1}(t+n \tau)=s^{n} x_{1}(t) .
\]

Заметим, что если $\varphi(t)$ и $\psi(t)$ – решения уравнения (4), то в силу периодичности коэффиџиентов этого уравнения $\varphi(t+\tau)$ и $\psi(t+\tau)$
тоже являются решениями. Как и всякое решение, они могут быть выражены линейно через фундаментальную систему $\varphi(t), \psi(\tau)$ :
\[
\left.\begin{array}{l}
\varphi(t+\tau)=a \varphi(t)+b \psi(t) \\
\psi(t+\tau)=c \varphi(t)+d \psi(t)
\end{array}\right\}
\]
( $a, b, c, d$ – постоянные), откуда
\[
\left.\begin{array}{l}
\dot{\varphi}(t+\tau)=a \dot{\varphi}(t)+b \dot{\psi}(t), \\
\dot{\psi}(t+\tau)=c \dot{\varphi}(t)+d \dot{\psi}(t) .
\end{array}\right\}
\]

Положив в (9) и (10) $t=0$ и приняв во внимание (5), получаем:
\[
\left.\begin{array}{l}
a=\varphi(\tau), b=\dot{\varphi}(\tau), \\
c=\psi(\tau), d=\dot{\psi}(\tau) .
\end{array}\right\}
\]

Возьмем теперь решение
\[
x(t)=A \varphi(t)+B \psi(t),
\]

где $A, B$ – постоянные. Можно ли их подобрать таким образом, чтобы выполнялось соотношение (8)?
Подставляя (12) в (8), получаем:
\[
A \varphi(t+\tau)+B \psi(t+\tau)=s[A \varphi(t)+B \psi(t)],
\]

откуда, принимая во внимание (9),
\[
[A(a-s)+B c] \varphi+[A b+B(d-s)] \psi=0 .
\]

Это равенство должно выполняться тождественно (при любом $t$ ). Так как $\varphi(t)$ и $\psi(t)$ линейно независимы, отсюда следует, что
\[
\left.\begin{array}{l}
A(a-s)+B c=0, \\
A b+B(d-s)=0 .
\end{array}\right\}
\]

Это-система линейных и однородных относительно $A$ и $B$ уравнений. Она имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда
\[
\left|\begin{array}{cc}
a-s & c \\
b & d-s
\end{array}\right|=s^{2}-(a+d) s+\left|\begin{array}{ll}
a & c \\
b & d
\end{array}\right|=0 .
\]

Пусть $s_{1}$ и $s_{2}$-корни уравнения (14). Подставляя их значения в (13), мы находим из этих уравнений соответствующие значения отношения $A / B$ :
\[
\frac{A}{B}=-\frac{c}{a-s_{1}}, \frac{A}{B}=-\frac{c}{a-s_{2}} .
\]

При таких значениях отношєния $A^{\prime} B$ решение (12) удовлетворяет условию (8), т. е. воспроизводит себя через период с точностью до множителя $s_{1}$ или $s_{2}$. Если $s_{1}$ и $s_{2}$ не равны между собой, существует два линейно независимые решения, обладающие свойством (8). Обозначим их через $x_{1}(t)$ и $x_{2}(t)$ :
\[
\begin{array}{l}
x_{1}(t+\tau)=s_{1} x_{1}(t), \\
x_{2}(t+\tau)=s_{2} x_{2}(t) .
\end{array}
\]

Решения $x_{1}(t)$ и $x_{2}(t)$ также образуют фундаментальную систему.
Введем посредством соотношений
\[
s_{1}=e^{\lambda_{1} \tau}, s_{2}=e^{\lambda_{2} \tau}
\]

новые постоянные $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$. Они называются характеристическими показателями. Так как $s_{1}$ и $s_{2}$, вообще говоря, комплексны, то $x_{1}, x_{2}$, а также $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$, вообще говоря, тоже комплексны.
Разложим $s, \lambda$ и $x$ на действительные и мнимые части:
\[
\begin{array}{l}
s=a+i b ; \\
\lambda=\alpha+i \beta ; \\
x=\xi+i n .
\end{array}
\]

Имеем:
\[
s=e^{\alpha \tau} e^{i \beta}, x(t+\tau)=e^{\alpha \tau} e^{i \beta \tau} x(t) .
\]

Умножение на $e^{\alpha \tau}$ означает увеличение модуля $x$ в $e^{\alpha \tau}$ раз; умножение на $e^{\text {iв }}$ означает поворот вектора на комплексной плоскости на угол $\beta \tau$ (рис. 67). Вектор $x(t)$ за время $\tau$ поворачивается на некоторый угол, и если $\alpha>0$ – удлиняется, а если $\alpha<0$ – укорачивается. Если $\alpha=0$, вектор за время $\tau$ поворачивается, но длина его принимает исходное значение.
Но $\alpha=\ln |s| / \tau$, а следовательно:
\[
\begin{array}{ll}
\text { при } \alpha>0 & |s|>1, \\
\text { при } \alpha<0 & |s|<1, \\
\text { при } \alpha=0 & |s|=1 .
\end{array}
\]

На плоскости $a, b$ (рис. $68, a$ ) области внутри окружности $|s|=1$ соответствуют убывающие со временем решения, области вне этой окружности – возрастаюџие со временем решения, самой окружности – периодические решения. Соответствующие области на плоскости $\alpha, \beta$ (рис. $68, \sigma$ ): полуплоскость левее оси $\alpha=0$, полуплоскость правее этой оси, сама ось $\alpha=0$.

Вспомним теперь, что $s$ является корнем квадратного уравнения (14).
Обозначим в нем:
\[
p=a+d, q=\left|\begin{array}{ll}
a & b \\
c & d
\end{array}\right| .
\]

Решения $\varphi$ и $\psi$ действительны, так как коэффиџиенты уравнения (4), а также начальные значения (5) действиРис. 67. тельны. Поэтому $a, b, c, d$, а следовательно, и $p, q$ – действительные постоянные. Необходимое и достаточное условие того, чтобы .оба корня $s_{1}$ и $s_{2}$ уравнения (14)
\[
s^{2}-p s+q=0
\]

были по модулю меньше единиды ( $\left|s_{1}\right|<1,\left|s_{2}\right|<1$ ), таково:
\[
q<1,1+p+q>0,1-p+q>0 .
\]

Корни $s_{1}$ и $s_{2}$ действительны, если
\[
p^{2}-4 q \geqslant 0,
\]

и комплексны, если
\[
p^{2}-4 q<0 .
\]

Таким образом, на плоскости $p, q$ (рис. 69) случаю $\left|s_{1}\right|<1$, $\left|s_{2}\right|<1$ соответствует область внутри треугольника $(-2,1),(2,1)$, $(-1,0)$, заключенного между прямыми $q=1, \quad 1+p+q=0$, $1-p+q=0$.

В этом случае все решения уравнения (4) затухают к состоянию равновесия $x=0, \dot{x}=0$. В случае, когда хотя бы один из модулей $\left|s_{1}\right|$ или $\left|s_{2}\right|$ больше единипы, сушествует нарастающее решение – состояние равновесия неустойчиво. Значениям $p$ и $q$, лежащим внутри параболы
\[
4 q=p^{2}
\]
(заштрихованная область), соответствуют комплексные корни, значениям $p$ и $q$ вне заштрихованной области – два действительных корня. Точкам параболы соответствует кратный корень.
Если выполнено условие (8), т. е. если
\[
x(t+\tau)=s x(t)=e^{\lambda \tau} x(t),
\]

то функџия
\[
\Phi(t)=x(t) e^{–\lambda i}
\]

есть периодическая функция с периодом $\tau$. Это легко показать:
\[
\Phi(t+\tau)=e^{-\lambda(t+\tau)} x(t+\tau)=e^{-\lambda \tau} e^{-\lambda \tau} x(t+\tau)=e^{-\lambda \tau} x(t)=\Phi(t) .
\]

Следовательно, решения $x_{1}(t)$ и $x_{2}(t)$ имеют вид:
\[
x_{1}(t)=e^{\lambda_{1} \tau} \Phi_{1}(t), x_{2}(t)=e^{\lambda_{2} t} \Phi_{2}(t),
\]

Рис. 68.
Рис. 69.
где $\Phi_{1}(t)$ и $\Phi_{2}(t)$ – периодические функџии с периодом $\tau$. Если $s_{1}
eq s_{2}$, то общее решение уравнения (4) будет
\[
x=C_{1} e^{\lambda_{1} t} \Phi_{1}(t)+C_{2} e^{\lambda_{2} t} \Phi_{2}(t) .
\]

Можно показать, что в случае кратного корня $\left(s_{1}=s_{2}\right.$ ) уравнение (4) имеет частное решение вида
\[
t e^{\lambda t} \Phi(t)
\]

и, следовательно, общее решение в этом случае имеет вид
\[
x=C_{1} e^{\lambda t} \Phi(t)+C_{2} t e^{\lambda t} \Phi(t) .
\]

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru