Мы займемся теперь неоднородными распределенными системами. Мы увидим, что качественные характеристики неоднородных и однородных систем очень похожи. Для того, чтобы овладеть неоднородными системами, надо иметь возможность вычислять собственные числа и собственные функции. Прежде всего мы постараемся вывести некоторые общие положения.
Посредством подстановки
\[
y=\varphi(x) \psi(t)
\]

мы свели решение основной задачи к решению уравнений
\[
\frac{d^{2} \psi}{d t^{2}}+\lambda . \psi=0
\]

и
\[
\frac{d}{d x}\left(p \frac{d \varphi}{d x}\right)+\lambda q ?=0
\]

с граничными условиями
\[
\left(\varphi^{\prime}-\alpha \varphi\right)_{0}=0, \quad\left(c^{\prime}+\varphi \varphi\right) l=0,
\]

где $\alpha$ и – положительные числа.
В некоторых случаях приходится делить граничные условия на $\alpha$ или $\beta$ переходить к пределу $\alpha=\infty$ или $\beta=\infty$. Поэтому граничные условия часто пишут в более общем виде:
\[
\begin{aligned}
\left(\alpha_{1} \varphi^{\prime}-\alpha_{2} \varphi\right)_{0} & =0, \\
\left(\beta_{1} \varphi^{\prime}+\beta_{2} \varphi\right)_{i} & =0 .
\end{aligned}
\]

Вместо того, чтобы переходить к пределу $\alpha=\infty$ или $\psi=\infty$, можно положить $\alpha_{1}=0$ или $\beta_{1}=0$.

Все соотношения, с которыми мы здесь имеем дело, имеют определенный физический смысл, и мы будем стараться в наших дальнейших рассуждениях сразу выяснить физическую значимость каждой ступени математического рассуждения.
Потенџиальная энергия стержня равна
\[
\int_{0}^{l} \frac{p}{2} y^{\prime 2} d x .
\]

Здесь $y^{\prime}=\frac{\partial y}{\partial x}$ – растяжение, деформация; $p$ модуль упругости. Упругая потенџиальная энергия пропорџиональна квадрату деформации.
Пусть мы знаем, что $\lambda>0$. Тогда
\[
\psi=\cos (\omega t+\varepsilon) \text {, }
\]

где $\omega=\sqrt{\lambda}$, и подинтегральная функция имеет вид
\[
\frac{p}{2} y^{\prime 2}=\frac{p}{2} \varphi^{\prime 2} \cos ^{2}(\omega t+\varepsilon) \text {. }
\]

Так как среднее по времени от $\cos ^{2}(\omega t+\varepsilon)$ равно $1 / 2$, то средняя по времени потенџиальная әнергия в данном элементе длины равна
\[
\frac{p}{4} \varphi^{2} d x
\]

Аналогично его средняя по времени кинетическая энергия равна
\[
\frac{\lambda q}{4} \varphi^{2} d x \text {. }
\]

Интегралы от этих выражений дадут средние по времени потендиальную и кинетическую энергии для всего стержня.

Если $\alpha$ отлично от нуля, то это значит следующее: стержень прикреплен к пружине или провод кончается на конденсаторе (рис. 149) и граничное напряжение стержня уравновешивается упругой силой пружины.

Средняя по времени потенџиальная энергия пружины, если пружина находится на конџе $x=0$, равна
\[
\left(\frac{p}{4} \varphi \varphi^{\prime}\right)_{0}
\]

а если пружина находится на конџе $x=l$, то она равна
\[
-\left(\frac{p}{4} \varphi \varphi^{\prime}\right)_{i}
\]

В самом деле, $p \varphi^{\prime} \cos (\omega t+\xi)$ есть сила, а $\varphi \cos (\omega t+\varepsilon)$ – смещение. В силу граничных условий написанные выше выражения могут быть представлены в виде
\[
\frac{1}{4}\left(\alpha p \varphi^{2}\right)_{0} \text { и } \frac{1}{4}\left(\beta p \varphi^{2}\right)_{\text {。 }} \text {. }
\]

Схема (1) и (2) разрешима не при всяком 2. Предположим, что некоторые $\lambda$, удовлетворяюшие схеме (1) и (2), отриџательны. Тогда были бы возможны несинусоидальные движения. Мы докажем, однако, что если существуют собственные значения, то они все положительны. Доказательство довольно простое.
Умножим уравнение (1) на $\varphi$; это дает:
\[
\varphi \frac{d}{d x}\left(p \varphi^{\prime}\right)+\lambda q \varphi^{2}=0,
\]

или
\[
\frac{d}{d x}\left(p \varphi \varphi^{\prime}\right)-p \varphi^{\prime 2}+\lambda q \varphi^{2}=0 .
\]

Проинтегрируем теперь это уравнение по $x$ от 0 до $l$ :
\[
\lambda \int_{0}^{l} q \varphi^{2} d x=\int_{0}^{l} p \varphi^{\prime 2} d x-\left[p \rho \varphi^{\prime}\right]_{0}^{l} .
\]

Учтем далее граничные условия. Это дает:
\[
\lambda \int_{0}^{l} q \varphi^{2} d x=\int_{0}^{l} p \varphi^{2} d x+\left(\alpha p \varphi^{2}\right)_{0}+\left(\beta p \varphi^{2}\right)_{l} .
\]

Отсюда сразу видно, что все $\lambda$ положительны, так как плотность $q(x)$ и коэффиџиент упругости $p(x)$ положительны. Точнее, $\lambda$ всегда положительно, за исключением того случая, когда $\alpha=0, \beta=0$, $\varphi^{\prime}=0$. Тогда правая часть равна нулю. Это возможно только, если стержень не закреплен на конџах.

Итак, за исключением өтого случая, все خ положительны, и проџесс состоит из наложения синусообразных колебаний. Это свойство не только однородных систем, а общее свойство систем штурм-лиувиллевского типа.

Если $\alpha$ или $\beta$ отриџательно, то такого заключения сделать нельзя. В случае пружин $\alpha$ у п положительны. Но если создать условия, при которых $\alpha$ или отриџательно, то нельзя быть уверенным и в том, что будут колебания синусообразного типа. Это связано с вопросом об устойчивости.

Возможно ли, что одному и тому же 之. соответствуют два решения, т. е. что при одной и той же частоте существуют различные формы колебаний? Докажем, что при граничных условиях вида (2) это невозможно.

Линейное однородное уравнение (1) имеет два линейно нєзависимых решения $\varphi_{1}$ и $\varphi_{2}$, и всякое решение имеет вид
\[
\varphi=C_{1} \varphi+C_{2} \varphi_{2},
\]

где $C_{1}$ и $C_{2}$ – постоянные.
Предположим, что при данном $\lambda$ есть два независимых решения, удовлетворяюших граничным условиям. Но тогда и их сумма удовлетворяет граничным условиям, так как эти условия лигейны и однородны. Таким образом, если существуют два независимых решения, удовлетворяющих граничным условиям, то всякое решение им удовлетворяет. Но этого не может быть. Основная теорема гласит (при тех предположениях о регулярности уравнения, которые здесь выполняются), что при как угодно заданных $a$ и $b$ всегда сушествует такое решение, что
\[
\varphi(0)=a, \varphi^{\prime}(0)=b,
\]
т. е. через каждую точку фазовой плоскости ( $\varphi, \varphi^{\prime}$ ) проходит одна (и только одна) интегральная кривая. Граничные условия связывают $p$ и $\varphi^{\prime}$. Если бы всякое решение удовлетворяло граничным условиям (2), нельзя было бы удовлетворить условиям (4) при любых $a$ и $b$.

Итак, не может быть двух независимых решений, которые оба удовлетворяли бы граничным условиям. При данном $\lambda$ (заданной частоте) возможна только одна форма колебания.

Мы знаем, что в случае однородного стержня, замкнутого в кольџо (рис. 154), для каждого $\lambda$ имеется две независимые формы колебаний, но это не противоречит только что доказанному утверждению, так как здесь граничные условия совсем другого типа:
\[
\varphi(0)=\varphi(l), \quad \varphi^{\prime}(0)=\varphi^{\prime}(l) .
\]

Каждое из них относится к двул значениям $x$. Этот случай показывает, однако, что не всегда период определяет форму колебания.

Если для данного $\lambda$ существует единственная собственная функция, то это собственное значение называют простым или однократным. Таким образом, при граничных условиях штурм-лиувиллевского типа все собственные значения однократны.

Что означает физически соотношение (3)? Левая часть его есть средняя по времени кинетическая энергия, правая – средняя по времени потенџиальная энергия (второй и третий члены правой части представляют собой среднюю по времени энергию конденсаторов или пружин). При колебаниях такой системы (стержня) в определенном тоне средняя потендиальная энергия равна средней кинетической. Это несправедливо для отдельных элементов стержня: в узлах смешения средняя кинетическая энергия – нуль, средняя потенџиальная энергия велика; в узлах деформаџии потенџиальная знергия равна нулю. Но, повторяю, для данного тона средняя кинетическая и средняя потенџиальная энергии всей системы в уелом равны друг другу.

Сформулируем очень важную теорему, но для частного случая. Пусть конџы закреплены. Тогда, согласно (3),
\[
\lambda=\frac{\int_{0}^{\rho} \varphi^{\prime 2} d x}{\int_{0}^{l} \varphi^{2} d x} .
\]

Пусть найдена собственная функџия для некоторого $之$. Если $\lambda$ почему-нибудь нам неизвестно, то можно вычислить эту величину по формуле (5). Это замечание немногого стоит. Но существует замечательное свойство, чрезвычайно изящная теорема, заключающаяся в следующем. Подставим в (5) какую-нибудь функџию $\varphi(x)$, удовлетворяющую краевым условиям. Пусть мы угадали или разыскали такую функцию $\varphi(x)$, при которой выражение (5) минимально. Тогда оказывается: 1) такая функџия является собственной функџией, и 2) соответствующее значение отношения (5) равно наинизшему собственному значению, т. е. квадрату наинизшей собственной частоты (частный случай теорем Куранта).

Эта теорема имеет важные применения. Из нее следует, например, что если в каком угодно месте системы мы увеличиваем массу, то частота основного тона может только уменьшаться. Подобное утверждение вовсе не самоочевидно. Например, если мы увеличиваем массу физического маятника, то его период может при әтом увеличиться, но может и уменьшиться.

Докажем сформулированную нами теорему. (Раньше существование собственных функций принималось на веру. Теперь мы знаем, что необходимо отдельно доказать существование такой функции. Мы докажем, что если собственная функщия существует, то для нее имеет место сформулированная нами теорема.)

Обозначим выражение (5), рассматриваемое как функџионал от $\varphi(x)$, буквой $I$. Пусть $\varphi(x)$ обращает $I$ в минимум. Тогда при подстановке $\varphi(x)$ вариаџия выражения $I$ обращается в нуль. Варьируя, получаем:
\[
\delta I \sim 2 \int_{0}^{l} p \varphi^{\prime} \delta \varphi^{\prime} d x \int_{0}^{l} q \varphi^{2} d x-2 \int_{0}^{l} q \varphi \hat{\phi} \varphi d x \int_{0}^{l} p \varphi^{\prime 2} d x=0 .
\]

Разделим это уравнение на $\int_{0}^{1} q \varphi^{2} d x$. Получаем, принимая во внимание (5):
\[
\int_{0}^{l} \boldsymbol{p} \varphi^{\prime} \delta \varphi^{\prime} d x-\lambda \int_{0}^{l} q \varphi \dot{\phi} \varphi d x=0
\]

Ho
\[
\delta \varphi^{\prime}=\delta\left(\frac{d \varphi}{d x}\right)=\frac{d}{d x} \delta \varphi .
\]

Беря первый интеграл по частям, получаем:
\[
\left[p \varphi^{\prime} \delta \varphi\right]_{0}^{l}-\int_{0}^{l} \frac{d}{d x}\left(p \varphi^{\prime}\right) \delta \varphi d x-\lambda \int_{0}^{l} q \varphi \delta \varphi d x=0 .
\]

Так как конџ закреплены, имеем на конџах:
\[
\delta_{\varphi}=0
\]
(сравниваются только функџии $\varphi(x)$, обращающиеся на конџах в нуль). Следовательно.
\[
\int_{0}^{l}\left[\frac{d}{d x}\left(p \varphi^{\prime}\right)+\lambda q \varphi\right] \varphi d x=0 .
\]

Так как $\delta$ – произвольная функџия от $x$, из (6) следует, что
\[
\frac{d}{d x}\left(p \varphi^{\prime}\right)+\lambda q^{\prime}=0 .
\]

Итак, функия $\varphi(x)$, обращающая $\lambda$ в минимум, удовлетворяет уравнению (1), что и требовалось доказать. Әту теорему легко распространить на общий случай краевых условий задачи ШтурмаЛиувиля.

Мы доказали теорему, относяџуюся к наинизшему собственному тону системы. Теорема может быть распространена и на все остальные тоны, но там нужно искать минимум выражения (5) при известных добавочных условиях.

Отыскание всей совокупности собственных частот приводится теоремами Куранта к задачам на максимум и минимум. Из этих теорем можно сделать ряд физически интересных заключений. Теория, о которой здесь идет речь, получила очень большое значение. С ней связан метод оџенки собственных частот, берущий свое начало от Релея, идея которого состоит в следующем.

В технике иногда не так важно точно знать частоту системы, как иметь уверенность в том, что она ниже некоторого опасного (вследствие возможного резонанса) значения. Подставим в выражение (5) некоторую функџию $(x)$, о которой мы заранее знаем, что она имеет приблизительно такой же характер, как собственная функция системы в частности, не имеет узлов, кроме конџов интервала $(0, l$ ). При этом получается некоторое значение 2. Мы можем тогда быть уверены, что основная частота лежит ниже квадратного корня из этого значения $\lambda$. Правда, это еше не дает нам указаний на то, как избежать резонанса на обертонах.

Если подставить в (5) функцию $\rho(x)$, не очень сильно отличающуюся от истинной собственной функции, то і будет очень близко к собственному эначению. Выражение (5) мало чувствительно к отклонению функџии $\varphi(x)$ от собственной функџии, поскольку около минимума $\lambda$ меняется медленно. Дучше всего показать это на простом примере.
Рис. 168.
В случае однородного стержня ( $p=$ const, $q=$ const) первая собственная функция есть
\[
y(x)=\sin \frac{\pi x}{l} .
\]

При этом
\[
\omega=\sqrt{\lambda}=\frac{\pi}{l} \sqrt{\frac{p}{q}} .
\]

Если взять вместо (7) два отрезка прямых (рис. 168, a), то получится:
\[
\omega^{\prime}=\sqrt{\lambda^{\prime}}=\frac{\sqrt{12}}{l} \sqrt{\frac{p}{q}},
\]
т. е. расхождение на $9 \%$. Если взять дугу параболы (рис. 168, б), то получится:
\[
\omega^{\prime \prime}=\sqrt{\lambda^{\prime \prime}}=\frac{v 1 \overline{0}}{l} \sqrt{\frac{p}{q}},
\]
т. е. $\omega^{\prime}\left(\omega^{\prime \prime}=0,9985\right.$, что является уже прекрасной апроксимацией. Выведем еше одно важное свойство собственных функџий. Собственная функция ? $i(x)$ удовлетворяет уравнению
\[
\frac{d}{d x}\left(p \varphi_{i}\right)+\lambda_{i} q \varphi_{i}=0 .
\]

Обозначим:
\[
L(\varphi)=\frac{d}{d x}\left(p \varphi^{\prime}\right) .
\]

Имеем тождественно:
\[
\varphi_{k} L\left(\varphi_{i}\right)=\varphi_{k} \frac{d}{d x}\left(p \varphi_{i}^{\prime}\right)=\frac{d}{d x}\left(p \varphi_{k} \varphi_{i}^{\prime}\right)-p \varphi_{i}^{\prime} \varphi_{k}^{\prime},
\]

откуда вытекает следующее тождество Лагранжа:
\[
\varphi_{k} L\left(\varphi_{i}\right)-\varphi_{i} L\left(\varphi_{k}\right)=\frac{d}{d x}\left(p \varphi_{k} \varphi_{i}^{\prime}-p \varphi_{i} \varphi_{k}^{\prime}\right) .
\]

Умножая уравнение (8) на $\varphi_{k}$, а аналогичное уравнение для $\varphi_{k}$ и $\lambda_{k}$ – на $\varphi_{i}$, получаем:
\[
\begin{array}{l}
\varphi_{k} \frac{d}{d x}\left(p \varphi_{i}^{\prime}\right)+\lambda_{i} q \varphi_{i} \varphi_{k}=0 ; \\
\varphi_{i} \frac{d}{d x}\left(p \varphi_{k}^{\prime}\right)+\lambda_{k} q \varphi_{i} \varphi_{k}=0 .
\end{array}
\]

Вычитая, находим:
\[
\varphi_{k} L\left(\varphi_{i}\right)-\varphi_{i} L\left(\varphi_{k}\right)=\left(\lambda_{k}-\lambda_{i}\right) q \varphi_{i} \varphi_{k} .
\]

Применяя тождество Лагранжа (9), находим:
\[
\frac{d}{d x}\left(p \varphi_{k} \varphi_{i}^{\prime}-p \varphi_{i} \varphi_{k}^{\prime}\right)=\left(\lambda_{k}-\lambda_{i}\right) q \varphi_{i} \phi_{k} .
\]

Интегрируя от 0 до $l$, получаем:
\[
\left[p\left(\varphi_{k} \varphi_{i}^{\prime}-\varphi_{i}^{\prime} \rho_{k}^{\prime}\right)\right]_{0}^{l}=\left(\lambda_{k}-\lambda_{i}\right) \int_{0}^{l} q \varphi_{i} \varphi_{k} d x .
\]

Левая часть здесь – нуль, так как в силу общих краевых условий имеем при $x=0$ и при $x=l$ :
\[
\varphi_{i}^{\prime}=\alpha \varphi_{i}, \varphi_{k}^{\prime}=\alpha \varphi_{k} .
\]

Следовательно,
\[
\left(\lambda_{i}-\lambda_{k}\right) \int_{0}^{l} q \varphi_{i} \varphi_{k} d x=0 .
\]

Это значит, что при $i
eq k$ еобственные функџии $\varphi_{i}$ и $\varphi_{k}$ ортогональны по отношению к функџии $q(x)$ :
\[
\int_{0}^{l} q(x) \varphi_{i}(x) \varphi_{k}(x) d x=0 .
\]

Докажем с помощью этого соотношения, что собственные значения не могут быть комплексными.

Если $\lambda_{i}$-комплексно, то, вообще говоря, p $_{i}$ тоже комплексно. Если уравнению (8) удовлетворяют комплексные $\lambda_{i}$ и $\varphi_{i}$, то ему удовлетворяют также $\lambda_{k}$ и $\varphi_{k}$, комплексно сопряженные по отношению к $\lambda_{i}$ и $\varphi_{i}$ (это следует из того, что $p$ и $q$ действительны). При этом $\varphi_{i} \varphi_{k}$ – действительная положительная величина, равная $\left|\varphi_{i}\right|^{2}$. Условие ортогональности (10) дает:
\[
\int_{0}^{l} q(x)\left|\leftarrow_{i}(x)\right|^{2} d x=0,
\]
‘что невозможно, так как $q(x)>0$. Следовательно, все $\lambda_{i}$ действительны и положительны.

Но тогда функции $\varphi_{i}(x)$ тоже действительны. В самом деле, если собственному значению $\lambda_{i}$ соответствует комплексная собственная функџия $\varphi_{i}=\psi_{1}+i \psi_{2}$, то сопряженная функџия $\varphi_{i}^{*}=\psi_{1}-i \psi_{2}$-тоже собственная функция; но тогда одному собственному значению соответствуют две собственные функџии, что невозможно ${ }^{1}$ (это было бы возможно для однородного кольџа).
Каков физический смысл ортогональности собственных функџий?
Пусть система колеблется в двух тонах: $i$-ом и $k$-ом. Тогда
\[
y=\varphi_{i} \cos \omega_{i} t+\varphi_{k} \cos \omega_{k} t .
\]

Кинетическая өнергия на единиџу длины есть $\frac{q}{2} \ddot{y}^{2}$. При подстановке $y$ здесь появится удвоенное проивведение
\[
\left(\omega_{i}^{()_{k}} \boldsymbol{q} \Phi_{i} \varphi_{k} \sin \omega_{i} t \sin \omega_{k} t .\right.
\]

Полная кинетическая энергия всего стержня будет

где $T_{i}$ и $T_{k}$ зависят соответственно от каждого из колебаний $\varphi_{i}$ и $\varphi_{k}$ отдельности. Вследствие свойства ортогональности (10)
член взаимодействия пропадает и остается
\[
T=T_{i}+T_{k} .
\]

Таким образом, кинетические энергии двух колебаний независимы.
Для потенциальной энергии двух колебаний член взаимодействия будет
${ }^{3}$ [Здесь исключается тривиальный случай, когда $\varphi_{i}(x)$ содержит постоянный комплексный множитель. Если $\varphi_{i}(x)$ – собственная функуи, то $a \varphi_{i}(x)$, ғде $a$-комилексное число, тоже собственная функция.]

Можно показать, что в случае закрепленных конџов ( $\varphi=0$ на концах) или свободных концов ( $\varphi^{\prime}=0$ на конџах) функџии $\varphi_{i}^{\prime}$ и $\varphi^{\prime}$ к тоже ортогональны [по отношению к $p(x)$ ] и потенџиальные энергии двух колебаний независимы. Но в случае общих краевых условий это не так, вместо условия ортогональности (10) получается:
\[
\int_{0}^{l} p \varphi_{i}^{\prime} \varphi_{k}^{\prime} d x+\left[\frac{p}{\alpha} \varphi_{i}^{\prime} \varphi_{k}^{\prime}\right]_{0}+\left[\frac{p}{\beta} \varphi_{i}^{\prime} \varphi_{k}^{\prime}\right]_{l}=0 .
\]

Смысл әтого соотношения заключается в том, что потенџиальные янергии $i$-того и $k$-того колебаний складываются также и здесь, но с учетом потенциальной энергии пружин на концах. Простой ортогональности (10) здесь быть не может, потому что не вся потенџиальная энергия (в отличие от кинетической) находится в самом стержне. Уравнение (11) определяет некоторое обобџенное понятие ортогональности. Иногда ее называют „нагруженной ортогональностью\”.

Выражение типа (11) можно рассматривать как интеграл в некотором обобщенном смысле – интеграл Стильтьеса.