Введя функџию Грина, мы составили интегральное уравнение, которому удовлетворяют колебания линейной распределенной системы.

Мы приняли, что внешняя сила является гармонической (всякую другую интересующую нас силу можно представить как суперпозиџию гармонических сил). Тогда уравнение для функџии $\varphi(x)$, описывающей форму колебания, таково:
\[
\varphi(x)=\lambda \int_{0}^{l} V(x, \xi) q(\xi) \varphi(\xi) d \xi+\int_{0}^{l} V(x, \xi) g(\xi) d \xi,
\]

где і-квадрат частоты внешней силы.
Если внешней силы нет, то $g(\xi)=0$ (задача о собственных колебаниях) и
\[
\varphi(x)=\lambda \int_{0}^{l} V(x, \xi) q(\xi) \varphi(\xi) d \xi
\]
(однородное уравнение). Это уравнение имеет решение только при определенных значениях $\lambda$ – собственных значениях задачи, определяюших квадраты собственных частот. Каждому собственному значению соответствует одно решение – нормальное колебание. Общее движение есть сумма нормальных колебаний; оно определено однозначно, если заданы расположение и скорости всех точек при $t=0$; но при этом возникает вопрос о разложимости произвольной функции в ряд по собственным функџиям задачи.

Мы привели ядро к симметричному виду; всякое интегральное уравнение с симметричным ядром имеет хотя бы одно собственное значение и соответственно хотя бы одно решение. Мы показали, что всякая функция, достижимая с помощью ядра, может быть разложена в ряд по собственным функциям. При спеџиальном виде ядра, соответствующем нашей колебательной задаче, мы доказали, что число собственных функџий бесконечно и что всякая непрерывная функуия с кусочно-непрерывной первой производной и даже всякая кусочно-непрерывная функция могут быть разложены в ряд по собственным функџиям.

Пусть функџия $f(x)$ разлагается в ряд по собственным функциям с коэффиџиентами $c_{i}$. Система функџй – полная, если
\[
\int_{0}^{i} f^{2}(x) d x=\sum_{i} c_{i}^{2} .
\]

Собственные функции задачи Штурма-Лиувилля всегда образуют полную систему, но, вообще гсворя, для произвольной системы ортогональных функций
\[
\int_{0}^{l} f^{2}(x) d x \geqslant \sum_{i} c_{i}^{2},
\]

причем знак равенства имеет место только в случае полной системы.

Можно показать, что полная система всегда замкнута, т. е. нет функџии, ортогональной ко всем функџиям системы и не принадлежащей к этой системе. Обратно: всякая замкнутая система функций является полной.
Переходим к задаче о вынужденных колебаниях.
Для простоты отождествим функџии $\varphi$ и $\psi$, приняв $q(x)=1$, т. е. взяв однородную по плотности струну. Имеем неоднородное уравнение вида
\[
z(x)=f(x)+\lambda \int_{0}^{t} K(x, \xi) z(\xi) d \xi,
\]

где
\[
f(x)=\int_{0}^{l} K(x, \xi) g(\xi) d \xi,
\]

причем $f(x)$ – известная функия, так как ядро $K(x, \xi)$ и сила, действуюшая на струну, $g(\xi)$ известны. Требуется найти распределение амплитуд $z(x)$.
Перепишем интегральное уравнение в таком виде:
\[
z(x)-f(x)=\lambda \int_{0}^{l} K(x, \xi) z(\xi) d \xi .
\]

Таким образом, функџия $z(x)-f(x)$ достижима с помощью ядра $K(x, \xi)$. Следовательно, ее можно разложить в ряд по собственным функџиям однородного уравнения:
\[
z(x)-f(x)=\sum_{i} c_{i} \psi_{i}(x) .
\]

Будем считать, что задача о собственных колебаниях решена, и, значит, функции $\psi_{i}(x)$ известны. Тогда $c_{i}$ могут быть вычислены по формуле
\[
c_{i}=\int_{0}^{l}[z(\xi)-f(\xi)] \varphi_{i}(\xi) d \xi .
\]

Но функция $z(x)$ неизвестна. С другой стороны, коэффиџиент Фурье $c_{i}$ можно выразить через $h(\xi) ;$ здесь $h(\xi)$ есть $\lambda z(\xi)$ и
\[
c_{i}=\frac{\lambda}{\lambda_{i}} \int_{0}^{l} z(\zeta) \psi_{i}(\xi) d \xi .
\]

Иеключая $z(\xi)$ из уравнений (2) и (3), находим:
\[
c_{i}=\frac{\lambda}{\lambda_{i}-\lambda} \int_{0}^{l} f\left(\xi_{i}\right) \psi_{i}(\xi) d \xi .
\]

Этим задача решена, если только $\lambda_{i}
eq \lambda$. Если $\lambda=\lambda_{i}$, то оба выражения для $c_{i}$ несовместны, кроме того случая, когда $\int_{0}^{b} f(\xi) \psi_{i}(\xi) d \xi=0$. Если $\lambda=\lambda_{i}$ и, кроме того, $\int_{0}^{b} f \psi_{i} d \xi
eq 0$, то уравнение (1) не имеет решения. Таким образом, мы пришли к важной математической теореме: неоднородное интегральное уравнение всегда имеет решение, если $\lambda
eq \lambda_{i}$; если же $\lambda=\lambda_{i}$ и
\[
\int_{0}^{l} f(\xi) \psi_{i}(\xi) d \xi
eq 0,
\]

то неоднородное уравнение не имеет решения. Следовательно, в общем случае: либо однородное уравнение имеет решение, либо неоднородное уравнение имеет рєшение.

Решение неоднородного уравнения таково:
\[
z(x)=f(x)+\lambda \sum_{i}\left\{\frac{1}{\lambda_{i}-\lambda} \int_{0}^{l} f(\xi) \psi_{i}(\xi) d \xi\right\} \psi_{i}(x),
\]

причем ряд сходится равномерно.
Пусть $\lambda=\lambda_{k}$ и
\[
\int_{0}^{l} f(\xi) \psi_{k}(\xi) d \xi=0
\]

Тогда легко показать, что решение неоднородного уравнения есть
\[
z(x)=f(x)+\lambda_{k} \sum_{i}^{\prime}\left\{\frac{1}{\lambda_{i}-\lambda_{k}} \int_{0}^{i} f(\xi) \psi_{i}(\xi) d \xi\right\} \psi_{i}(x)+C \psi_{k}(x),
\]

где $C$-произвольная постоянная, а сумму $\Sigma^{\prime}$ следует распространить на все значения $i
eq k$. Решение неоднозначно из-за произвола в выборе $C$.
Выясним физический смысл условия (6). Подставим в него
\[
f(x)=\int_{0}^{l} K(x, \xi) g(\xi) d \xi .
\]

Тогда
\[
\int_{0}^{l} \int_{0}^{l} K(x, \xi) g(\xi) \psi_{k}(x) d \xi d x=0
\]

нди, так как
\[
\int_{0}^{l} K(x, \xi) \psi_{k}(x) d x=\frac{\psi_{k}(\xi)}{\lambda_{k}},
\]

то
\[
\frac{1}{\lambda_{k}} \int_{0}^{l} g(\xi) \psi_{k}(\xi) d \xi=0
\]
т. е. функции $g(x)$ и $\psi_{k}(x)$ должны быть ортогональны. Если этого нет, то неоднородное уравнение не имеет решения при $\lambda=\lambda_{k}$. Но сила, действующая на единицу длины системы, есть $g(x) \cos \sqrt{\lambda_{k}} t$; работа этой силы за время $d t$ на элементе длины $d x$, отнесенная к колебанию с частотой внешней силы, есть
\[
\sqrt{\lambda_{k}} g(x) d x \cos \sqrt{\lambda_{k}} t \cdot \psi_{k}(x) \cos \left(\sqrt{\lambda_{k}} t+\theta\right) d t .
\]

При этом работа на протяжении всей системы будет
\[
\sqrt{\lambda_{k}} \cos \sqrt{\lambda_{k}} t \cos \left(\sqrt{\lambda_{k}} t+\theta\right) d t \int_{0}^{l} g(\xi) \psi_{k}(\xi) d \xi
\]

Смысл условия (6) – в том, что при данном колебании внешняя сила не производит работы; если же работа производится, то неоднородное уравнение не имеет решения.

Итак, если частота внешней силы совпадает с одной из собственных частот системы, то, вообше говоря, неоднородное уравнение (1) не имеет решения; оно имеет решение в частном случае, когда сила, действуя на собственное колебание, имеющее частоту внешней силы, не производит работы.

Что означает „нет решения\”? Мы знаем, что это-случай резонанса. Физически интересен именно этот случай, а не тот, когда сила не производит работы. Подобный же вопрос встречается и в дискретных системах с несколькими степенями свободы. Только что доказанная теорема там тоже имеет место, но в другом, конечно, виде; вообще говоря, либо система однородных линейных дифферендиальных уравнений имеет решение, либо система с правыми частями имеет решение (смотря по тому, равен или не равен нулю детерминант однородной системы).

Возьмем две степени свободы (рис. 108). При одном собственном (нормальном) колебании ток в первом контуре есть
\[
i_{11}=a_{1} \cos \omega_{1} t
\]

и ток во втором контуре
\[
i_{21}=a_{2} \cos \omega_{1} t .
\]

При другом собственном (нормальном) колебании ток в первом контуре
\[
i_{32}=b_{1} \cos \omega_{2} t,
\]

а ток во втором контуре
\[
i_{22}=b_{3} \cos \omega_{2} t .
\]

Отношения $a_{1} / a_{2}$ и $b_{1} / b_{2}$ заданы системой.
Если на такую систему действует внешняя сила частоты $\omega_{1}$, то будет резонанс всегда, кроме случая, когда внешняя сила „распределена“ так, что она „ортогональна“ к „собственной функции“, соответствующей частоте $\omega_{1}$, т. е. выполнено условие
\[
a_{1} \mathscr{E}_{1}+a_{2} \mathscr{E}_{2}=0
\]

ортогональности векторов $\left(a_{1}, a_{2}\right.$ ) и ( $\left.\mathscr{E}_{1}, \mathscr{E}_{2}\right)$.
Физически решение всегда есть. Если имеет место совпадение частот, то даже в отсутствие сопротивления токи имеют в каждый момент времени какое-то значение. Физически, следовательно, надо сказать: мы искали периодические решения вида $z \cos \sqrt{\lambda} t$, но их не оказалось, т. е. в системе не будет установившегося состояния. Если бы мы приняли во внимание сопротивление, то интегральное уравнение было бы другое и установившееся состояние при резонансе было бы возможно.

Но в отсутствие сопротивления сушествуют возрастающие решения, которые также представляют интерес, так как практически проџесс возрастания в системе без затухания в течение довольно долгого времени такой же, как при наличии не слишком большого затухания. Эти вопросы проще рассматривать с помощью дифференџиальных, а не интегральных уравнений.
В случае одной степени свободы
\[
\ddot{y}+\omega_{0}^{2} y=A \cos \omega t
\]

при $\omega
eq \varlimsup_{0}$ имеется решение
\[
y=a \cos \omega t,
\]

где
\[
a=\frac{A}{\omega^{2}-\omega_{0}^{2}} .
\]

Если же () = (ю), то решения вида (8) не существует, но зато сушествует, как мы знаем ${ }^{1}$, нарастающее решение вида
\[
y=\frac{A}{2 \omega_{0}} t \sin \omega_{0} t .
\]

Этой формулой можно пользоваться для исследования нарастания (в начале проџесса) в системах с небольшим затуханием.

В случае распределенной системы можно поступать так же: или вводить затухание, или искать нарастающее решение. Здесь вопрос осложняется тем, что распределение силы $g(x)$ может быть
${ }^{1}$ [См. 16-ю лекџию части 1.]

различное. Но оказывается, что вид проџесса при всех возможных распределениях $g(x)$ – один и тот же.
Действительно, пусть $\lambda=\lambda_{i}$ и сила имеет вид
\[
g(x) \cos \sqrt{\lambda_{i}} t .
\]

Напишем:
\[
g(x)=g(x)-b \psi_{i}(x)+b \psi_{i}(x)=\Phi(x)+b \psi_{i}(x)
\]

и подберем постоянную $b$ так, чтобы функция $\Phi(x)$ была ортогональна к $\psi_{i}(x)$ :
\[
\int_{0}^{i} \boldsymbol{\Phi}(x) \psi_{i}(x) d x=\int_{0}^{l} g(x) \psi_{i}(x) d x-b \int_{0}^{b} \psi_{i}^{2}(x) d x=0,
\]

или, так как функџия $\psi_{i}$ нормирована,
\[
\int_{0}^{l} g(x) \psi_{i}(x) d x=b .
\]

Таким образом, внешнюю силу всегда можно разбить на ортогональную часть и на неортогональный остаток; ортогональная часть не интересна, так как она нарастания не дает. Неортогональная часть есть собственная функџия. Достаточно поэтому исследовать нарастание при действии внешней силы, имеющей распределение вида собственной функџии данной частоты.

Таким образом, решения однородного уравнения существуют только при определенных значения $\lambda$; для этих значений $\lambda$ неоднородное уравнение, вообще говоря, не имеет решений, кроме тех случаев, когда $f(x)$ имеет спедиальный вид, такой, что выполнено условие (6), в котором $\psi_{k}$ – собственная функџия, соответствующая собственному значению $\lambda_{k}$.

В нашем случае задачи типа Штурма-Лиувилля данному $\lambda_{k}$ соответствует только одна собственная функџия $\psi_{k}$. В задачах не-штурм-лиувиллевского типа данному $\lambda_{k}$ может соответствовать несколько функџий $\psi_{k}$. Тогда для того, чтобы существовало решение неоднородного уравнения, условие ортогональности (6) должно удовлетворяться функџией $f(x)$ для всех функџий $\psi_{k}$, принадлежащих к данному $\lambda_{k}$.
Если $\lambda
eq \lambda_{i}$, то общее решение однородного уравнения имеет вид.
\[
z(x)=f(x)+\lambda \sum_{i=1}^{\infty} \frac{\gamma_{i} \psi_{i}(x)}{\lambda_{i}-\lambda},
\]

где
\[
\gamma_{i}=\int_{0}^{l} f(\xi) \psi_{i}(\xi) d \xi
\]

Если, например, $\lambda=\lambda_{1}$ и собственному значению $\lambda_{1}$ соответствуют $k$ собственных функций: $\psi_{1}, \psi_{2}, \ldots, \psi_{k}$, и если условие ортогональности внешней силы ко всем собственным функуиям $\psi_{1}, \psi_{2}, \ldots, \psi_{k}$ соблюдено, то решение имеет вид
\[
z(x)=f(x)+\lambda \sum_{i=k+1}^{\infty} \frac{\gamma_{i} \psi_{i}(x)}{\lambda_{i}-\lambda}+\sum_{v=1}^{k} b_{
u} \psi_{v}(x) .
\]

Это решение неоднозначно, ибо все $b_{v}$ – произвольные величины. Физически өто означает, что, кроме вынужденных колебаний, в системе останутся собственные, с произвольными амплитудами, так как внешняя сила к ним ортогональна и работы не производит.

Пусть $\lambda$ очень мало по сравнению с наименьшим собственным значением, т. е. частота внешней силы гораздо меньше́ основной частоты системы:
\[
\lambda \ll \lambda_{i} .
\]

Тогда приближенно решение имеет вид
\[
z(x)=f(x)+\sum_{i=1}^{\infty} \frac{\gamma_{i} \lambda}{\lambda_{i}} \psi_{i}(x) .
\]

Если $\lambda / \lambda_{i}$ настолько мало, что можно пренебречь суммой, то $z(x)=f(x)$, или, если перейти к первоначальным функџиям,
\[
z_{1}(x)=\int_{0}^{l} V(x, \xi) g_{1}(\xi) d \xi,
\]

где $z_{1}(x)$ амплитуда; $V(x, \xi)$ – функџия Грина; $g_{2}(\xi)$ – приложенная сила. Следовательно,
\[
y(x, t)=z_{1}(x) \cos \sqrt{\lambda} t=\frac{f(x)}{\sqrt{q(x)}} \cos \sqrt{\lambda} t .
\]

Ho
\[
\int_{0}^{l} V(x, \xi) g_{1}(\xi) d \xi
\]

есть статическое отклонение под действием постоянной силы $g_{1}(\xi)$; значит, система в этом случае следует за действием внешней силы.

Если $\lambda$ подходит очень близко к значению $\lambda_{i}$, то соответствующий член в решении очень велик по сравнению с остальными и приближенно
\[
y(x, t)=\frac{\lambda \gamma_{i}}{\lambda_{i}-\lambda} \frac{\psi_{i}(x)}{\sqrt{q(x)}} \cos \sqrt{\lambda_{i}} t,
\]
т. е. при подходе к резонансу с $i$-ым обертоном система колеблется, независимо от формы внешней силы, с распределением амплитуд, как угодно близким к распределению в случае собственного колебания $\psi_{i}(x)$. Әто сильно упрощает дело. Но нельзя переносить эти первичные формы колеРис. 186. бания на случай, когда $\lambda$ не близко к $\lambda_{i}$; тогда форма колебания может быть совсем иной и меняется в зависимости от формы внешней силы. Последняя входит через величину $\gamma_{i}$, выражаемую формулой (10).

Будем и дальше считать, что $q(x)=1$, т. е. $\psi_{i}=\varphi_{i}$. Подставляя в (10) значение
\[
f(\xi)=\int_{0}^{l} K(x, \xi) g(\xi) d \xi,
\]

находим:
\[
\gamma_{i}=\frac{1}{\lambda_{i}} \int_{0}^{b} g(\xi) \psi_{i}(\xi) d \xi .
\]

Если $\lambda$ близко к $\lambda_{i}$, то амплитуда колебания все же может быть невелика. Это будет, если $\gamma_{i}$ мало, т. е. в том случае, когда распределение внешней силы близко к ортогональности по отношению к функџии $\psi_{i}$. Таким образом, амплитуда колебания зависит не только от соотношения частот, но и от распределения внешней силы. Величина $\gamma_{i}$ служит мерой для ођенки ответа системы на возбуждение.

Пусть, например, антенна находится под действием однородной плоской волны (рис. 186). Тогда
\[
g(x)=\text { const, } \quad \gamma_{i}=\frac{g}{\lambda_{i}} \int_{0}^{l} \psi_{i}(\xi) d \xi .
\]

Антенна будет сильно отвечать на частоты, близкие к частотам основного тона, второго обертона и т. д. Нечетные обертоны возбуждаться не будут.