Главная > Л.И.МАНДЕЛЬШТАМ. ТОМ IV
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Вообще говоря, интегрирование системы уравнений
ddt(Tq˙i)Tqi=Uqi(i=1,2,,n),

описывающих движение системы с n степенями свободы недоступно. Но мы рассматриваем движение системы с n степенями свободы, находящейся вблизи устойчивого состояния равновесия. При этом дифференциальные уравнения приобретают сравнительно простой вид:
k(bikq¨k+aikqk)=0(i=1,2,,n).

Это-система n линейных однородных уравнений второго порядка с постоянными коэффиџиентами. Такая система легко интегрируется (по крайней мере в общем виде).

Теперь предпочитают работать с индексами. Для сложных систем это гораздо нагляднее. Но для случая системы с двумя степенями свободы мы воспользовались такими обозначениями:
a11=a,a12=h,a22=b,b11=A,b12=H,b22=B,
т. е.
2T=Ax˙2+2Hx˙y˙+By˙22U=ax2+2hxy+by2.}

Дифферендиальные уравнения (1) записываются при этом так:
Ax¨+Hy˙+ax+hy=0,Hx¨+By¨+hx+by=0.}

Рассмотрим тот частный случай, когда одна из координат (скажем, y) не входит в выражение потенџиальной энергии (этот случай часто встречается на практике). Тогда
h=0,b=0.

Координата, не входящая в выражение потенџиальной энергии, носит название циклической.
Если y — уиклическая координата, имеем:
Hx¨+By¨=0,(AH2B)x¨+ax=0.

Для координаты x получается такое же уравнение второго порядка, как для системы с одной степенью свободы. Суџествуют, таким образом, случаи двух стененей свободы, которые сводятся на одну степень свободы.

Такова, например, система рис. 97. В электрическую энергию входит только q1, а в магнитную энергию, конечно, входит и q˙1 и q˙2. Соответствуюая механическая задача: имеется вал с двумя дисками (рис. 98). Этот пример мы уже рассматривали\». Так можно идеализировать вал с пропеллером и мотором. Введя в качестве координат углы поворота маховика и пропеллера, мы можем свести здесь задачу на случай одной степени свободы.
Рис. 97.
Рис. 98.
Если имеется n степеней свободы и m џиклических координат, задача приводится к nm степеням свободы.
Вернемся к уравнениям (3).
Существует решение вида
x=Ccos(ωt+α),y=kCcos(ωt+α).

Эти выражения удовлетворяют уравнениям (2), если ю и k удовлетворяют алгебраическим уравнениям:
(A+Hk)ω2+a+hk=0;(H+Bk)ω2+h+bk=0.}

Требуется определить из них ω и k.
Можно задать ω или k и рассматривать уравнения (4) как уравнения с одной неизвестной ( k или ()). В общем случае детерминант этих уравнений не равен нулю и они не имеют решения. Если подобрать ω так, чтобы детерминант уравнений для неизвестной k равнялся нулю, т. е.
|ω2Aaω2Hhω2Hhω2Bb|=0,

то они имеют определенное решение.
1 [См. 7-ю лекџию.]

Уравнение (5) — квадратное относительно ω2. Квадратное уравнение может иметь разнообразные корни. Если равновесие устойчивое, то потенџиальная энергия имеет минимум при x=y=0. Значит, квадратичные формы (2) положительны при любых x,y и x˙,y˙ ( T всегда положительна). Математика доказывает, что при этих условиях оба корня уравнения (5) действительны и положительны.

Каждому значению ω соответствует свое значение k. Мы имеем два (положительные) значения ω(ω=ω1,ω=ω2 ) и два значения k(k=k1,k=k2), т. е. имеем, таким образом, два частных решения системы (3):
x=C1cos(ω1t+α1),y=k1C1cos(ω1t+α1)

и
x=C2cos(ω2t+α2),y=k2C2cos(ω2t+α2).

Сумма их
x=C1cos(ω1t+α1)+C2cos(ω2t+α2),y=k1C1cos(ω1t+α1)+k2C2cos(ω2t+α2).}

тоже будет решением при любых значениях C1,C2,α1,α2.
Смысл этого решения такой: если вывести систему с двумя степенями свободы из состояния равновесия, то каждая координата выразится, как функция времени, в виде суммы двух синусоидальных колебаний. Частоты ω1 и ω2 получаются из секулярного, или векового, или характеристического уравнения (5). Амплитуда каждой координаты в первом колебании произвольна. Но если выбрана амплитуда первой координаты C1, то амплитуда первого колебания во второй координате не произвольна, а задается системой. То же самое имеет место для второго колебания.

Системфй задаются величины ω1,ω2,k1 и k2. Величины k1 и k2 характеризуют распределение колебаний. Распределения, как и частоты, задаются параметрами системы. Абсолютные амплитуды в одной из координат, а также фазы, произвольны. Они задаются начальными условиями. (Заметим, что механика и электродинамика сами по себе не говорят, каково движение системы. Они учат, как движется система, если заданы начальные услозия.)
Пусть при t=0
x=x0,y=y0,x˙=x˙0,y˙=y˙0.

Если заданы эти четыре величины, то мы знаем, как система будет себя вести дальше. Из начальных условий (7) определяются C1,C2,α1,α2. Этим вся задача однозначно определена. В технике отыскание собственных частот часто является жизненным вопро́сом.

Пусть вагон (его можно схематизировать так, как показано на рис. 90) движется с опредєленной скоростью. Он получает удары на стыках рельс. Здесь может возникнуть резонанс (как и в системе с одной степенью свободы): если частота ударов равна ω1 или ω2, вагон очень сильно раскачивается 1. У спальных вагонов плавный ход связан, между прочим, с тем, что они имеют длинные периоды собственных колебаний. В машинах резонанс может приводить к разрушениям, в электрических системах к перенапряжениям и пробоям. Чтобы этого не было, надо избегать того, чтобы внешняя сила попадала в такт с ω1 или ω2.

Вернемся к (6). Движение каждой координаты-не синусообразное. То, что его можно представить в виде суммы двух синусообразных колебаний (с постоянной амплитудой), имеет существенное значение. Дело в том, что очень часто система рассматриваемого здесь вида действует в качестве источника силы на другую линейную систему. Тогда, как мы знаем, именно такое представление целесообразно 2.

Вопрос о том, какими координатами характеризовать систему, не решается однозначно. Это вопрос вкуса и удобства.

Заданием x и y или ξ и 0 мы вполне определяем конфигураџию системы (рис. 90). Между теми и другими координатами имеются определенные соотношения, а именно:
x1x=ξl1θ,x2y=ξ+l2θ.

Получим ли мы те же самые величины ω1,ω2,k1 и k2, если воспользуемся другими координатами? Частоты колебаний получаются теми же самыми ( ω1 и ω2 инвариантны). Но распределение будет зависеть от выбора координат.

Если мы перейдем к другим координатам, то может оказаться, в частности, H=0 или h=0. Это было очень ясно на примере, который разбирался в прошлый раз. Но можно ли подобрать координаты так, чтобы и h и H обратились в нули? Если это
1 [См. 26-ю лекцию.]
2 [С М. 16-ю лекџию.]

удастся, то получатся чрезвычайно простые уравнения: система распадается на две системы, описываемые уравнениями вида
A1ξ¨+a1ξ=0,A2n¨+a2n=0.}

Частоты здесь находятся сразу:
ω12=a1A1,ω22=a2A2;
k1 и k2 также находятся сразу, так как здесь
ξ=C1cos(ω1t+α1),η=C2cos(ω2t+α2).

Величины k1 и k2 показывают, в каком отношении находятся амплитуды одного и того же колебания в одной и другой координате. В данном случае k1=0,k2=.

Оказывается, что такие косрдинаты подобрать можно. Если решить исходную задачу о нахождении ω12,ω22,k1,k2 и связать новые координаты с исходными соотношениями:
x=ξ+ny=k1ξ0+k2n1}

то для потенџиальной и кинетической энергии получатся выражения, в которых произведения отсутствуют:
2U=a1ξ2+α2η2,2T=A1ξ˙2+A2r˙2.}

Отсюда сразу следует (8) и (9), причем частоты инвариантны по отношению к преобразованию (11).

Тривиальный случай, когда k1=0,k2=, это-случай двух не связанных маятников. Для всех рассматриваемых систем с двумя степенями свободы, каж бы они ни были сложны, всегда можно подобрать такие координаты, при которых задача приводится к этому тривиальному случаю. Такие координаты называются нормальными координатами. Однако, чтобы подобрать нормальные координаты, нужно сначала решить задачу, выраженную уравнениями (4) и (5). Таким сбразом, в вычислительном смысле существование нормальных координат не дает облегчения.

Подойдем к вопросу с другой стороны. Пусть
ω2=ax2+2hxy+by2Ax2+2Hxy+By2
(мы образуем такую дробь и обозначаем ее ω2 ). Зададимся „странным\» вопросом: при каких значениях x и y эта дробь получает максимальное значение и при каких значениях x и y-минимальное? ( Здесь важны  важ сами x и y, а отношение x/y ). Введем нормальные координаты ξ,n. Тогда
ω2=a1ξ2+a2η2A2ξ2+A2γ2.

Если при x=x1y=y1 выражение (14) имеет максимум, то при соответствуюших ξ=ξ1,n=n1 выражение (14) тоже имеет максимум. При введении нормальных координат задача упроџается.
Пусть
a1A2>a2A2.

Если ξ и η оба отличны от нуля, то можно написать:
ω2=a1+b1A1+B1,

где
b1=a2(ξη)2,B1=A2(ξη)2.

Не трудно видеть, что значение дроби (16) заключено между a1/A1 и b1/B1. В самом деле, пусть
aI=A1l;

тогда вследствие (15)
b1<B1l

и далее
a1+b1A1+B1<A1l+B1lA1+B1=l,
т. е.
a1+b1A1+B1<a1A1.

Аналогично найдем:
a1+b1A1+B1>a2A2.

Таким образом, мы доказали следующее: какие бы ни были ξ, η, если только они не равны нулю,
a2A2<ω2<a1A1.

Далее, есть такие значения ζ и n, при которых ω2 принимает значения a1/A1 и a2/A2. В самом деле, первое значение ω2 принимает при ξ=0,neq0, а второе-при ξeq0,n=0. Следовательно,
a2A2ω2a1A1.

Получился интересный результат (нормальные координаты здесь важны для доказательства; сам результат не относится спеџиально к нормальным координатам): максимальное значение выражения (13), т. е. отношения квадратичных форм
U(x,y)T(x,y),

равно квадрату одной собственной частоты, его минимальное значение — квадрату другой собственной частоты.
Перейдем теперь к другому вопросу.
Я умышленно говорил все время об одной системе с двумя степенями свободы, а не о двух связанных системах, из которых каждая имеет одну степень свободы.

Система с двумя степенями свободы может получиться генетически из сближения двух систем, из которых каждая имела одну степень свободы. Часто система с двумя степенями свободы интересна как результат связи двух систем, каждая из которых имеет одну степень свободы.

Но может возникнуть обратный вопрос: имеется заданная система с двумя степенями свободы. Из каких двух систем с одной степенью свободы она произошла? Этот вопрос напрашивается сам собой. В случае рис. 99, a все просто, но как быть в случае рис. 100, a ? Нужно ли считать так, как на рис. 100 , 6 или так, как на рис. 100, ? Да и в случае рис. 99,a — только кажущаяся простота; какие две системы связаны здесь между собой, если взаимная индукция осуществляется через железо (рис. 99, б)?

Разделение џелого на части не однозначно. То же самое у нас было с рядом Фурье, с помощью которого мы разлагали периодическую функцию на сумму других функџий. В молекулярной физике возникает аналогичный вопрос о том, как твердые тела-кристаллические решетки-разделять на молекулы. Но можно искать џелесообразную точку зрения.

Разделение по „историческому“. признаку, по признаку того, как происходило присоединение частей одних к другим (по тому, как „приносили куски системы из магазина“), вряд ли џелесообразно. Но есть џелесообразное определение.

Каков критерий џелесообразности определения? То, что, пользуясь им, можно установить закономерность. В данном случае уелесообразно такое разделение системы, при котором можно установить закономерную связь между свойствами полной системы и евойствами парниаль-
Рис. 99.
Рис. 100.
ных систем (ее частей). Разные разделения знаконны, но все, кроме одного, ни к чему не ведут, так как не приводят к закономерностям. Во всяком случае я могу сказать, что знаю только одно определение, которое является џелесообразным. Вот оно.

Пусть даны выражения T и U. Положим одну координату равной нулю. Мы получим систему с одной степенью свободы. Положим теперь другую координату равной нулю. Мы получим другую систему с одной степенью свободы. Связь между этими двумя парџиальными системами дает нам исходную систему. Наша исходная система получается в результате связи этих двух систем.

Что значит положить x=0 ? Это значит, что мы закрепили один маятник (рис. 92,б) или разорвали один провод (рис. 99,б). Железо при этом должно остаться.

Разделение на парџиальные системы зависит от тех координат, из которых мы исходим. Если в качестве координат выбраны q3 и q2 (рис. 100,a ), то получатся одни пардиальные системы (рис. 100,6 ).

Если ввести координаты q1 и q3 (рис. 100,a ), то получатся другие парџиальные системы (рис. 100,s ).

При нашем определении период каждой парџиальной системы (рис. 92,б) будет иной, чем у иаятника без пружины. Мы просчитаем этот случай в следуюший раз.

Рассмотрим (в общем случае) систему с двумя степенями свободы, как связанную. Тогда парџиальные частоты n1 и n2 (частоты пардиальных систем) определяются равенствами:
n12=aA,n22=bB.

Найдем общее соотношение между нормальными и парџиальными частотами.

Отношения a/A,b/B принадлежат к числу значений, принимаемых отношением (13), но не при ξ=0 и не при n=0. Поэтому
ω12>n12>n22>ω22.

Итак, существует следующая закономерность: собственные частоты отдельных парџиальных систем лежат между частотами связанной системы.

Если определить парџиальные системы иначе, то между нормальными и парџиальными частотами мы получим самые разнообразные соотношения.

1
Оглавление
email@scask.ru