Главная > Л.И.МАНДЕЛЬШТАМ. ТОМ IV
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Мы сейчас разберем немного формальные, но необходимые вопросы. Как мы видели в прошлый раз, всякую интересуюшую нас функџию f(x) с периодом 2 м можно разложить в ряд Фурье:
f(x)=a02+k=1(akcoskx+bksinkx),

причем
ak=1ππ+πf(x)coskxdx,bk=1ππ+πf(x)sinkxdx.

Для того, чтобы эти формулы годились и для k=0, нужно писать постоянный член в виде a0/2.

Обычно приходится иметь дело с функџией, имеющей период τeq2π. Если сделать замену
2πτy=x
1 [См. 16-ую лекцию.]
то функция f(2πy/τ), рдссматриваемая как функция y, имеет период τ, если f(x) имеет период 2π (когда y увеличивается на τ,
f(2πτy)=φ(y)

и сделав в (1) и (2) замену (3), получаем:
φ(y)=a02+k=1m[akcos(2πyτ)+bksin(2πyτ)],
rде
ak=2ττ/2+τ/2φ(y)cos(k2πgτ)dy,bk=2ττ/2+τ/2φ(y)sin(k2πgτ)dy.

Упомяну еще о написании действительного ряда Фурье в комплексной форме.
Пусть действительная функџия f(x) имеет период 2π. Вместо
akcoskx+bksinkx

можно написать
akibk2eikx+ak+ibk2eikx
(это, конечно, действительная величина). Обозначим:
ck=akibk2=12ππ+πf(x)eikxdx,ck=ak+ibk2=12ππ+πf(x)eikdx
( ck и ck — комплексно сопряженные). Тогда
f(x)=k=+ckeikx

Это — изящная запись в комплексной форме обычного ряда Фурье, представляющего действительную функцию.
И, наконед, последнее замечание, уже не формальное, а по существу. Оно касается вопроса, который должен возникнуть у каждого.

В прошлый раз было сказано, какие функџии можно разлагать в ряд Фурье. Функция f(x) может быть разрывной, но у нее должно быть конечное число разрывов и она не должна иметь бесконечно большого числа максимумов и минимумов (напомню, что при построении периодических функџий естественно входят в рассмотрение разрывные функции).

Что значит, что функџия f(x) может быть разложена в ряд Фурье? Это значит, что для каждого значения x сумма бесконечного ряда в правой части (1) равна соответствующему значению функции f(x). Но в месте разрыва f(x) имеет два значения. Чему же здесь равен ряд Фурье? Вот результат математического исследования: в точках разрыва x=a ряд Фурье дает арифметическое среднее значений f(x) слева и справа:
f(a+0)+f(a0)2.

Таким образом, рядом Фурье задается функџия, определенная во всех точках.

Существует ряд приборов, позволяющих осуществить разложение по Фурье. Если начертить периодически повторяющуюся функцию, то определенные приборы — типа планиметра — позволяют последовательно определить ее коэффиџиенты Фурье. С помощью этих приборов нельзя вычислить бесконечное число членов, но для применений всегда достаточно конечного числа. Есть, например, приборы, вычисляющие 6 коэффиџиентов. Прибор Майкельсона дает 120 коэффиџиентов: 60 при синусах и 60 при косинусах. Он позволяет проделать и обратную операџию: суммировать функџию по заданным коэффиџиентам разложения Фурье. Прибор Майкельсона дает сумму Фурье S60. Это-приближение, и ему соответствует, конечно, непрерывная кривая.

Когда суммируется с помощью прибора конечное число членов разложения Фурье разрывной функџии f(x) (например, изображенной на рис. 2), можно ожидать, что получится кривая, которая всюду будет близко подходить к кривой f(x). На деле получается иной результат: апроксимирующая кривая хорошо подходит к f(x) везде, кроме окрестностей мест разрыва; там она образует „хвосты“ (рис. 4), высота которых не уменьшается с ростом числа суммируемых членов разложения (она достигает примерно 1/10 величины скачка), но в которых с ростом этого числа осџиллаџии сгущаются и сжимаются к точке разрыва.

Можно подумать, что появление „хвостов“ вызвано дефектом прибора, но это неверно. Как показал Гиббс, это-эксперимен тальное указание на чисто математический факт: неравномернук сходимость ряда Фурье в точках разрыва f(x). Наличие осџиллирующих „хвостов“ у конечных сумм Фурье около точек разрыва разлагаемой функџии получило название явления Гиббса.
Перейдем теперь к другому вопросу.
Мы помним, что при сложении гармонических колебаний одинакового периода получается гармоническое колебание с тем же периодом. Теперь речь будет идти о сложении двух гармонических колебаний неодинакового периода. Этот случай играет в физике колебанић очень существенную роль, и здесь возникает ряд общих вопросов, которые нужно с самого начала себе уяснить.
Итак, пусть
y=a1cos(ω1tφ1)+a2cos(ω2tφ2)

Рис. 4.
Периодическая ли это функџия? Если ω1 и ω2 соизмеримы, — т. е. относятся, как целые числа, то y-периодическая функция. Действительно, пусть, например, первое слагаемое имеет период 1/300 сек., а второе — 1/200 сек. Тогда три периода первого слагаемого составляют два периода второго: через 1/100 сек. повторяются значения обоих, а следовательно, повторится и значение суммы.

Но какой смысл имеет в физике говорить о соизмеримости или несоизмеримости? Если, скажем,
ω1ω2=10000011000000,

то частоты соизмеримы, но y будет повторяться лишь через очень большое число периодов каждого из складываемых колебаний. Другими словами, если отношение частот равно отношению очень больших взаимно простых џелых чисел, то физического отличия от случая несоизмеримых частот нет.

Здесь важно другое. Если ω1eqω2, то колебание (4) не может быть представлено как одно синусоидальное колебание в точном смысле слова.
Переписав (4) в виде
y=a1cos(ω1tφ1)+a2cos[ω1t+(ω2ω1)tφ2],

можно показать путем простых вычислений’, что y можно представить как
y=acos(ω1tφ),

где
a=a1z+a2+2a1a2cos[(ω2ω1)t+φ1φ2].tgφ=a1sinφ1+a2sin[(ω2ω1)tφ2]a1cosφ1+a2cos[(ω2ω1)tφ2].

Как сказано, (6) не есть гармоническая функция, так как у гармонической функџии a и φ по определению являются постоянными величинами.

Интересно, однако, следующее. Пусть |ω1ω2| очень малая величина. В этом случае частота изменения величин a и φ очень мала, поскольку cos(ω2ω1)t-медленно меняющаяся функџия. Величины a и φ меняются медленно, в течение очень долгого времени они почти постоянны и можно рассматривать y как „гармоническое колебание с очень медленно меняющейся амплитудой и с очень медленно меняющейся фазой“. Строго говоря, это, конечно, не гармоническое колебание. Только при известном легкомыслии можно сказать, что амплитуда и фаза „почти“ постоянны.

Возьмем пример. Пусть у нас имеются два камертона, периоды которых немного различаются. Создаваемое ими в некоторой точке суммарное колебание y имеет вид (4) или, что то же, (5). Можно сказать, что складываются два колебания с одинаковым периодом, но с медленно меняющейся разностью фаз. В какой-то момент амплитуда суммарного колебания есть сумма амплитуд a1+a2; потом она очень медленно переходит в разность амплитуд a1a2 и т. д.

Можно сказать (и это будет точно), что y есть сумма двух гармонических колебаний с несколько отличными периодами. Но можно сказать и так: y есть одно колебание с определенным периодом, но амплитуда его медленно меняется от некоторого максимума до некоторого минимума и обратно. Это уже некоторая неряшливость в выражениях. Она вызвана тем, что мы стараемся здесь перенести то, что мы знаем о сложении колебаний с одинаковыми периодами, на сложение колебаний с разными периодами. Итак, мы говорим: когда звучат оба камертона, возникает тот же тон, что при одном камертоне, но с медленно меняющейся фазой
1 [Cр. 2-ую лекџию, формулы (1).]

и амплитудой. Это явление биений. Сведя, таким образом, рассматриваемый случай на прежний, уже известный, мы сразу предвидим, что́ будет наблюдаться.

Мы можем на слух определять направление, откуда приходит звук. Это нам удается не очень хорошо, но все же удается. Существенно при этом то, что мы слышим двумя ушами. Может показаться, что мы производим оџенку направления по разности интенсивностей в обоих ушах. Для низких тонов это объяснение заведомо неверно. Можно теоретически подсчитать, насколько голова ослабляет звук. Оказывается, что в случае длинных волн ослабление очень мало. Это можно проверить так: прикрыв одно ухо, вы все-таки правильно оџените направление. Повидимому, объяснение следует искать в разности фаз между колебаниями, воспринимаемыми каждым ухом. На рис. 5 показано, как получается эта разность фаз.
Можно проверить это предположение следующим образом. К обоим ушам подводится звук от одного камертона, но по различным путям, и затем меняется разность фаз колебаний, приходяџих к обоим ушам. Наблюдатель чувствует при различных значениях разности фаз, что источник находится в направлении, как раз соответствуюем задаваемой разности флз. Но можно сделать иначе. Возьмем два камертона, несколько различных по частоте. Тогда к ушам приходят два колебания с непрерывно изменяющейся разностью фаз, и наблюдатель будет чувствовать, что источник ходит вокруг него. Очевидно, при истолковании этого явления џелесообразно говорить, что имеются два колебания с одинаковым периодом, но с изменяющейся разностью фаз, -это не точно, но целесообгазно.

Способ рассуждения, которым мы пользовались, иногда приемлем. Часть опытов отлично опвсывается теоретически с помошью представления о меняющейся амплитуде или фазе. Но иногда это представление становится предвзятым и приводит к ошибкам (Флеминг не мог освободиться от взгляда на сумму, как на колебание одного периода, но с меняющейся амплитудой и фазой). Надо знать, когда можно и когда нельзя им пользоваться.

Вообще говоря, им нельзя пользоваться в вопросах резонанса. Сделаем следуюший опыт. Мы берем два одинаковых камертона, возбуждаем один из них и затем его останавливаем. Теперь звучит другой камертон: во время звучания первого он возбудился. Теперь мы расстраиваем первый камертон (с помощью нагрузки немного изменяем его период) и снова возбуждаем. После остановки первого камертона второй теперь молчит (вернее, звучит очень слабо). Заставив звучать оба камертона одновременно, мы услышим биения: ведь частоту одного из камертонов мы изменили. Если один (расстроенный) камертон совершает 500 колебаний в секунду, другой 504, то биения происходят 4 раза в секунду. Биения очень хорошо описываются с помощью меняющейся амплитуды. Здесь этот способ рассмотрения вполне пригоден: мы ясно слышим повторяющиеся изменения амплитуды.

Возьмем теперь третий камертон частоты 504 и будем возбуждать сразу первый и второй. Вместе они будут действовать на третий. Колебания первого камертона практически совсем не действуют на третий.

Пользуясь прежним способом рассуждения, мы скажем: колебание от первого и второго камертона есть „колебание с частотой первого камертона, но с переменной амплитудой“, и оно не должно поэтому заметно действовать на третий. В действительности же при совместном воздействии первого и второго камертонов третий сильно возбуждается. Таким образом, пользуясь прежним способом рассмотрения, мы пришли в вопросе о действии двух камертонов на третий к неправильному результату. Одно „гармоническое колебание с изменяющейся амплитудой“ ведет себя, как два гармонические колебания с неизменными амплитудами. На такие явления натолкнулись, и именно в таких случаях возникает потребность разобраться, когда и почему можно пользоваться тем или иным упрошенным представлением.

Имеем ли мы право переносить результаты, полученные для постоянных а и φ, на медленно меняющиеся a и φ ? Математика запрешает так поступать: если a и φ не постоянны, тогда то, что выведено для постоянных a и φ, вообще говоря, неверно. Но в природе не бывает строго определенных, строго постоянных величин. Требование абсолютного постоянства тех или иных величин невыполнимо. Физика ставит вопрос по-иному: в какой степени позволительно, чтобы те или иные величины менялись, если мы пользуемся результатами, полученными в предположении, что эти величины постоянны? В физике вопрос часто ставится именно так, и на данном примере я хочу его разъяснить.

Я говорил: „разность частот ω1ω2 — очень малая величина“. Это выражение неряшливо. Более того, оно лишено всякого смысла. Пусть числа колебаний в секунду будут 500 и 502. Мы говорим, что разность этих часел мала: число 2 мы считаем малым. Это уже подозрительно. Числа колебаний в минуту разнятся на 120 , но явление от этого не изменяется. А ведь можно взять числа колебаний и за год? Говорить о малости именованных чисел в физике лишено всякого смысла. В одних единиџах величина мала, в других — она велика. В физике может иметь значєние только малость относительных величин. Только их значения не зависят от выбора единиџ.

Имеем ли мы право говорить: „медленно меняюшаяся амплитуда\»? Имеем, но мы должны сказать, по отношению к чему мала частота изменения амплитуды.

Пусть ω1 и ω2 — частоты акустических колебаний. Наши уши так устроены, что если отличие частот двух колебаний меньше определенного порога, то мы перестаем их слышать раздельно. Повторяю, это факт физиологический. Если отличие в периодах мало по отношению к 1/10 сек., то в вопросах слуха можно считать, что имеется одно колебание с переменной амплитудой. В опыте же с резонансом была важна малость |ω1ω2| по отношению κ совсем другой велччине — коэффиџиенту затухания третьего камертона 1. В приведенных двух примерах важна малость разности частот по отношению к различным величинам. Это часто встречающаяся ошибка. Говорят: „такая-то величина мала“, и переносят это высказывание на опыт, где играет роль малость по отношению к иным величинам, по отношению к которым она вовсе не мала. Если вы говорите о малости каких-то величин, то, во-первых, вы обязаны указывать, по отношению к чему они малы, и, во-вторых, знать, что в различных вопросах играет роль малость по отношению к разны.и величинам. Всегда нужно знать, для чего говорится о малости. В разобранном случае могло быть правильным считать такую-то расстройку малой в вопросах слуха, а в том или ином опыте с резонансом это уже было неправильно.

В радиотелефонии передаваемая речь изменяет амплитуду посылаемого колебания 2. Для того, чтобы эта „модуляџия“ повторялась в приемнике без искажения, ее частота должна быть мала
1 [См. 16-ую лекцию.]
2 [В 1930 г. другие способы модуляџии практически еще не применялись.]

не по отношению к частоте немодулированного колебания. Иногда говорят обратное, но это неверно; критерий малости здесь другой. Частота модуляџии должна быть мала по отношению к коэффиџиенту затухания колебательного контура приемника.

Сравним все, что было сказано, с вопросом: что такое разреженный газ? Вопрос сам по себе не имеет смысла. Он приобретает смысл, если сказать, для чего нужен ответ. Теплопроводность не очень разреженного газа почти не зависит от плотности. Но если газ „очень разрежен“, то наступают отклонения. Здесь „очень разрэжен“ означает, что средний пробег молекул велик по отношению к размерам сосуда. Понятие „разреженность вообще“ не имеет смысла. В достаточно большом сосуде газ не является разреженным, как бы ни была велика длина свободного пробега.

В оптике-совсем другой критерий. Там следует считать, что газ разрежен, если время между столкновениями молекул очень велико по сравнению со временем затухания колебаний оптических электронов.

Вернемся к вопросам интерференџии. Здесь необходимо еше разобраться в одном кажущемся противоречии с законом сохранения энергии.

Пусть имеется два источника света. В каждой точке пространства квадрат амплитуды определяет проходящую энергию. Колебания от обоих источников складываются, и поэтому, как мы знаем, квадраты амплитуд не складываются. Энергия, проходящая в каждой точке, отлична от суммы энергий, которые посылал бы каждый источник в отдельности.

Часто это объясняют следующим образом. В одном месте колебания усиливаются, и здесь энергия больше суммы энергий от отдельных источников, зато в другом месте колебания уничтожаются, и там энергия равна нулю; если проинтегрировать по замкнутой поверхности, то получится сумма энергий, которые посылали бы источники, взятые в отдельности. Это объяснение встречается у Гельмгольџа, но оно неправильно. Проинтегрировать по замкнутой поверхности не трудно. Проинтегрируйте — и вы не получите сумму энергий, когорые посылал бы каждый источник в отдельности. Вернее, вы ее получите только в том случае, когда источники достаточно далеки друг от друга 1) по отношению к длине волны и 2) по отношению к размерам самих источников; в этом случае действительно получается просто перераспределение энергии.

Пусть источники, размер которых мал по сравнению с длиной волны, колеблются в одинаковой фазе, но расстояние между ними меньше половины длины волны. Тогда колебания всюду складываются и энергия всюду больше суммы энергий, которые посылали бы источники в отдельности. Получается кажущееся нарушение закона сохранения энергии.

Как всегда в таких случаях, нужно продумать, что это значит. Для того, чтобы источники продолжительно колебались, нужно затрачивать определенную энергию на поддержание их колебаний; уход энергии покрывается работой, совершаемой над источником. Если энергии уходит больше или меньше, чем сумма того, что давали бы отдельные источники, в этом еше нет нарушения закона сохранения энергии. Нарушение было бы, если для поддержания колебаний нужно было затрачивать сумму тех работ, которые требуются в случае отдельных источников. Но ведь нигде не сказано, что внешние силы, раскачиваюшие электроны (источники света), совершают одинаковую работу и тогда, когда раскачивается отдельно взятый электрон, и тогда, когда этот электрон раскачивается в присутствии другого, тоже колеблющегося, өлектрона. Если энергии излучлется больше, то и работы вкладывается больше, и, таким образом, закон сохранения энергии полностью соблюдается.

Аналогичный вопрос встретился и в радиотелеграфии. Речь шла о затухаюших колебаниях, которые не поддерживаются извне и уменьшаются вследствие излучения. Пусть совместно излучают две антенны. Затухание — то же самое, что и у одной антенны, а излучаемая энергия может оказаться больше, чем сумма энергий, которые излучались бы отдельными антеннами. Опять противоречие? Но откуда взято утверждение, что затухание то же, что у одной антенны? В действительности затухание каждой антенны вблизи другой меняется и как раз настолько, насколько меняется энергия при совместнои излучении обеих антенн.

1
Оглавление
email@scask.ru