Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Мы сейчас разберем немного формальные, но необходимые вопросы. Как мы видели в прошлый раз, всякую интересуюшую нас функџию причем Для того, чтобы эти формулы годились и для Обычно приходится иметь дело с функџией, имеющей период и сделав в (1) и (2) замену (3), получаем: Упомяну еще о написании действительного ряда Фурье в комплексной форме. можно написать Это — изящная запись в комплексной форме обычного ряда Фурье, представляющего действительную функцию. В прошлый раз было сказано, какие функџии можно разлагать в ряд Фурье. Функция Что значит, что функџия Таким образом, рядом Фурье задается функџия, определенная во всех точках. Существует ряд приборов, позволяющих осуществить разложение по Фурье. Если начертить периодически повторяющуюся функцию, то определенные приборы — типа планиметра — позволяют последовательно определить ее коэффиџиенты Фурье. С помощью этих приборов нельзя вычислить бесконечное число членов, но для применений всегда достаточно конечного числа. Есть, например, приборы, вычисляющие 6 коэффиџиентов. Прибор Майкельсона дает 120 коэффиџиентов: 60 при синусах и 60 при косинусах. Он позволяет проделать и обратную операџию: суммировать функџию по заданным коэффиџиентам разложения Фурье. Прибор Майкельсона дает сумму Фурье Когда суммируется с помощью прибора конечное число членов разложения Фурье разрывной функџии Можно подумать, что появление „хвостов“ вызвано дефектом прибора, но это неверно. Как показал Гиббс, это-эксперимен тальное указание на чисто математический факт: неравномернук сходимость ряда Фурье в точках разрыва Рис. 4. Но какой смысл имеет в физике говорить о соизмеримости или несоизмеримости? Если, скажем, то частоты соизмеримы, но Здесь важно другое. Если можно показать путем простых вычислений’, что где Как сказано, (6) не есть гармоническая функция, так как у гармонической функџии Интересно, однако, следующее. Пусть Возьмем пример. Пусть у нас имеются два камертона, периоды которых немного различаются. Создаваемое ими в некоторой точке суммарное колебание Можно сказать (и это будет точно), что и амплитудой. Это явление биений. Сведя, таким образом, рассматриваемый случай на прежний, уже известный, мы сразу предвидим, что́ будет наблюдаться. Мы можем на слух определять направление, откуда приходит звук. Это нам удается не очень хорошо, но все же удается. Существенно при этом то, что мы слышим двумя ушами. Может показаться, что мы производим оџенку направления по разности интенсивностей в обоих ушах. Для низких тонов это объяснение заведомо неверно. Можно теоретически подсчитать, насколько голова ослабляет звук. Оказывается, что в случае длинных волн ослабление очень мало. Это можно проверить так: прикрыв одно ухо, вы все-таки правильно оџените направление. Повидимому, объяснение следует искать в разности фаз между колебаниями, воспринимаемыми каждым ухом. На рис. 5 показано, как получается эта разность фаз. Способ рассуждения, которым мы пользовались, иногда приемлем. Часть опытов отлично опвсывается теоретически с помошью представления о меняющейся амплитуде или фазе. Но иногда это представление становится предвзятым и приводит к ошибкам (Флеминг не мог освободиться от взгляда на сумму, как на колебание одного периода, но с меняющейся амплитудой и фазой). Надо знать, когда можно и когда нельзя им пользоваться. Вообще говоря, им нельзя пользоваться в вопросах резонанса. Сделаем следуюший опыт. Мы берем два одинаковых камертона, возбуждаем один из них и затем его останавливаем. Теперь звучит другой камертон: во время звучания первого он возбудился. Теперь мы расстраиваем первый камертон (с помощью нагрузки немного изменяем его период) и снова возбуждаем. После остановки первого камертона второй теперь молчит (вернее, звучит очень слабо). Заставив звучать оба камертона одновременно, мы услышим биения: ведь частоту одного из камертонов мы изменили. Если один (расстроенный) камертон совершает 500 колебаний в секунду, другой 504, то биения происходят 4 раза в секунду. Биения очень хорошо описываются с помощью меняющейся амплитуды. Здесь этот способ рассмотрения вполне пригоден: мы ясно слышим повторяющиеся изменения амплитуды. Возьмем теперь третий камертон частоты 504 и будем возбуждать сразу первый и второй. Вместе они будут действовать на третий. Колебания первого камертона практически совсем не действуют на третий. Пользуясь прежним способом рассуждения, мы скажем: колебание от первого и второго камертона есть „колебание с частотой первого камертона, но с переменной амплитудой“, и оно не должно поэтому заметно действовать на третий. В действительности же при совместном воздействии первого и второго камертонов третий сильно возбуждается. Таким образом, пользуясь прежним способом рассмотрения, мы пришли в вопросе о действии двух камертонов на третий к неправильному результату. Одно „гармоническое колебание с изменяющейся амплитудой“ ведет себя, как два гармонические колебания с неизменными амплитудами. На такие явления натолкнулись, и именно в таких случаях возникает потребность разобраться, когда и почему можно пользоваться тем или иным упрошенным представлением. Имеем ли мы право переносить результаты, полученные для постоянных а и Я говорил: „разность частот Имеем ли мы право говорить: „медленно меняюшаяся амплитуда\»? Имеем, но мы должны сказать, по отношению к чему мала частота изменения амплитуды. Пусть В радиотелефонии передаваемая речь изменяет амплитуду посылаемого колебания не по отношению к частоте немодулированного колебания. Иногда говорят обратное, но это неверно; критерий малости здесь другой. Частота модуляџии должна быть мала по отношению к коэффиџиенту затухания колебательного контура приемника. Сравним все, что было сказано, с вопросом: что такое разреженный газ? Вопрос сам по себе не имеет смысла. Он приобретает смысл, если сказать, для чего нужен ответ. Теплопроводность не очень разреженного газа почти не зависит от плотности. Но если газ „очень разрежен“, то наступают отклонения. Здесь „очень разрэжен“ означает, что средний пробег молекул велик по отношению к размерам сосуда. Понятие „разреженность вообще“ не имеет смысла. В достаточно большом сосуде газ не является разреженным, как бы ни была велика длина свободного пробега. В оптике-совсем другой критерий. Там следует считать, что газ разрежен, если время между столкновениями молекул очень велико по сравнению со временем затухания колебаний оптических электронов. Вернемся к вопросам интерференџии. Здесь необходимо еше разобраться в одном кажущемся противоречии с законом сохранения энергии. Пусть имеется два источника света. В каждой точке пространства квадрат амплитуды определяет проходящую энергию. Колебания от обоих источников складываются, и поэтому, как мы знаем, квадраты амплитуд не складываются. Энергия, проходящая в каждой точке, отлична от суммы энергий, которые посылал бы каждый источник в отдельности. Часто это объясняют следующим образом. В одном месте колебания усиливаются, и здесь энергия больше суммы энергий от отдельных источников, зато в другом месте колебания уничтожаются, и там энергия равна нулю; если проинтегрировать по замкнутой поверхности, то получится сумма энергий, которые посылали бы источники, взятые в отдельности. Это объяснение встречается у Гельмгольџа, но оно неправильно. Проинтегрировать по замкнутой поверхности не трудно. Проинтегрируйте — и вы не получите сумму энергий, когорые посылал бы каждый источник в отдельности. Вернее, вы ее получите только в том случае, когда источники достаточно далеки друг от друга 1) по отношению к длине волны и 2) по отношению к размерам самих источников; в этом случае действительно получается просто перераспределение энергии. Пусть источники, размер которых мал по сравнению с длиной волны, колеблются в одинаковой фазе, но расстояние между ними меньше половины длины волны. Тогда колебания всюду складываются и энергия всюду больше суммы энергий, которые посылали бы источники в отдельности. Получается кажущееся нарушение закона сохранения энергии. Как всегда в таких случаях, нужно продумать, что это значит. Для того, чтобы источники продолжительно колебались, нужно затрачивать определенную энергию на поддержание их колебаний; уход энергии покрывается работой, совершаемой над источником. Если энергии уходит больше или меньше, чем сумма того, что давали бы отдельные источники, в этом еше нет нарушения закона сохранения энергии. Нарушение было бы, если для поддержания колебаний нужно было затрачивать сумму тех работ, которые требуются в случае отдельных источников. Но ведь нигде не сказано, что внешние силы, раскачиваюшие электроны (источники света), совершают одинаковую работу и тогда, когда раскачивается отдельно взятый электрон, и тогда, когда этот электрон раскачивается в присутствии другого, тоже колеблющегося, өлектрона. Если энергии излучлется больше, то и работы вкладывается больше, и, таким образом, закон сохранения энергии полностью соблюдается. Аналогичный вопрос встретился и в радиотелеграфии. Речь шла о затухаюших колебаниях, которые не поддерживаются извне и уменьшаются вследствие излучения. Пусть совместно излучают две антенны. Затухание — то же самое, что и у одной антенны, а излучаемая энергия может оказаться больше, чем сумма энергий, которые излучались бы отдельными антеннами. Опять противоречие? Но откуда взято утверждение, что затухание то же, что у одной антенны? В действительности затухание каждой антенны вблизи другой меняется и как раз настолько, насколько меняется энергия при совместнои излучении обеих антенн.
|
1 |
Оглавление
|