Повторим кратко свойства резонанса, в случае когда действует синусоидальная сила. При установившемся режиме происходит незатухающее синусоидальное колебание с периодом действующей силы. Амплитуда смешения максимальна, когда период действующей силы приблизительно совпадает с собственным периодом. Максимум выражен тем резче (резонансная кривая тем острее), чем меньше логарифмический декремент. Если частота внешней силы $p$ гораздо меньше собственной частоты $\omega_{0}$, то смещение и сила почти синфазны. При резонансе (при $p=\omega_{0}$ ) сдвиг фаз между смещением и внешней силой равен $90^{\circ}$, т. е. сила максимальна при прохождении через положение равновесия. Если $p \gg \omega_{0}$, то смещение и сила имеют противоположные фазы.

Здесь самое главное-это резкий максимум амплитуды при синхронизме. Бывали случаи, когда џепные мосты разрушались, когда по ним шла в ногу колонна солдат. (Отчасти из-за подоб-
1 [П. Н. Лебедев. Экспериментальное исследование пондеромоторного действия волн на резонаторы. Избр. соч. под ред. А. К. Тимирязева, М., 1949.]
2 [См, 16-ую лекцию.]

ных явлений отошли от построения нежестких мостов.) Возможен также резонанс пароходного корпуса, резонанс фундамента, на котором установлена машина. Главный способ устранения этих явлений – изменение периода. Но есть и другие способы, о которых будет идти речь впоследствии ${ }^{1}$.

Явление резонанса имеет место и в случае действия пондеромоторных сил между двумя осфиллаторами. Таковы, например, притяжение и отталкивание (в зависимости от разности фаз) пульсирующих шаров, находящихся в жидкости.

Перейдем к оптике. Основные явления при прохождении света через тела, в сущности, связаны с резонансом.

Лет двадџать тому назад дело представляли себе очень просто. Вещество отличается от вакуумє тем, что в нем содержатся резонаторы определенного собственного периода. Когда на среду падает световая волна определенной частоты, она возбуждает резонаторы с этой частотой. Действие прозрачной среды состоит в следующем: на падающую волну налагаются вторичные волны, излучаемые резонаторами, возбужденными падающей волной. Это приводит к изменению поля.

Все оптические свойства среды выводятся из этой картины. Если рассчитать измененное поле, то получается как раз то, что мы знаем из феноменологической оптики. Например, преломление тождественно сдвигу фазы измененной волны по отношению к падающей. Эта модель объясняет также действие на свет пластинок различной толщины.

При резонансе резонаторы сильно раскачиваются. Этим объясняется поглощение (абсорбџия). С помощью простых представлений удалось дать достаточно полную картину дисперсии и абсорбџии. Натриевый пар поглоџает только определенную длину волны, а именно ту, которую он сам испускает. Для более длинных волн показатель преломления больше единиџы, для более коротких – меньше единиџы (это были в свое время замечательные открытия). Последнее объясняется тем, что если частота света ниже резонансной, измененная волна отстает по фазе от падающей; если же частота света выше резонансной, то получается наоборот – опережение по фазе.

Теперь физика отошла от этой модели: все факты говорят о том, что такая простая модель неверна. Однако полученные $\qquad$
1 [Применение успокоителей, см. 26-ую и 27 -ую лекџии.]

с ее помошью соотношения в большой мере сохраняются и в новой теории. Поэтому практически оптика часто продолжает работать с этой моделью. Многие заключения сохраняются в полной силе.

Нам остается рассмотреть в связи с резонансом некоторые принџипиальные вопросы и некоторые задачи и вопросы, возникаюшие при практических положительных применениях (в начале лекџии говорилось об отрицательных сторонах резонанса). В радиотелеграфии, в радиотелефонии резонанс-инструмент, которым пользуются.

Мы рассматривали до сих пор установившийся режим. Рассмотрим теперь такую задачу. Пусть на резонатор в момент $t=0$ начинает действовать сила. Тогда нужно решить уравнение с правой частью
\[
\ddot{x}+2 \dot{\delta} \dot{x}+\omega_{0}^{2} x=E \sin p t
\]

при определенных начальных условиях (мы писали раньше в правой части $E \cos p t$, а теперь пишем $E \sin p t$, но этим мы просто переставляем начало отсчета времени). Нужно найти такое решение $x$, для которого
\[
x=0, \quad \dot{x}=0 \quad \text { при } t=0 .
\]

Это решение определенно однозначно.
Математика указывает, как найти такое решение. Нужно взять общее решение уравнения (1)
\[
x=X \sin (p t-\varphi)+A e^{-i t} \cos \omega t+B e^{-i t} \sin \omega t
\]

и подогнать в нем произвольные постоянные под начальные условия. Положим в (2) $t=0, x=0$. Это дает уравнение
\[
-X \sin \varphi+A=0 \text {. }
\]

Далее, продифференџируем (2) и положим $t=0, \dot{x}=0$. Это дает еще одно уравнение. Из двух полученных таким образом линейных алгебраических уравнений мы определим $A$ и $B$.
Проделаем это для частного случая.
С самого начала предположим, что декремент мал и имеет место резонанс, т. е. $p=\omega_{0} \approx \omega$ (с точностью до $\delta^{2}$ ). Тогда $\varphi$ равно $90^{\circ}$ и
\[
X=\frac{E}{2 \hat{\delta} \omega_{0}} .
\]

Уравнение (3) дает при этом $A=X$, а из условия $\dot{x}(0)=0$ мы получаем в этом случае, что $B$ – малая величина порядка $\delta / p$. В первом приближении, если пренебречь $\delta / p$ по сравнению с единиџей, т. е. положить $B=0$, находим:
\[
x=-\frac{E}{2 \delta \omega_{0}}\left(1-e^{-\grave{t} t}\right) \cos \omega_{0} t .
\]

В начале, несмотря на совпадение частот $p$ и $\omega_{0}$, колебание $x$ очень мало. Оно увеличивается-происходит нарастание амплитуды – по мере уменьшения $e^{-\hat{t} t}$.

Получается такая картина. При очень малых декрементах амплитуда колоссальна, но ее установление длится очень долго. Явление резонанса характерно для установившегося режима. Чем более резко выражен резонанс, тем медленнее происходит установление. Можно это выразить так: резко выраженный резонанс долго не наступает.

Если силу выключить, колебания затухают. Затухание колебаний тем медленнее, чем меньше $\delta$. При малом $\delta$ сила медленно раскачивает систему и колебания долго длятся после того, как прекратилось действие силы. Во избежание ошибок, нужно это постоянно иметь в виду. Укажем одну из распространенных ошибок.

Для џелей беспроволочной телеграфии требуется изменять нечто в колебаниях передатчика, с тем чтобы амплитуда в приемнике изменялась как можно сильнее. Обычно изменяют амплитуду колебаний в передатчике. Было сделано предложение изменять чacmomy передатчика. При малом затухании резонансная кривая очень крута, и поэтому, говорили, достаточно ничтожного изменения частоты, чтобы сильно изменить амплитуду.

Критика этого предложения заключается в следуюшем. Если изменение частоты происходит очень медленно, то утверждение справедливо. Но если оно не происходит очень медленно, то утверждение совсем несправедливо. Приемник не попадает в точку $A$ (рис. 61) сразу. Он придет в нее тем медленнее, чем острее резонансная кривая. Условия передачи таковы, что быстрота изменения задается – ею нельзя распоряжаться. При быстрых же изменениях острота эффекта иллюзорна и цель не достигается.

Поставим теперь задачу о колебаниях незатухающего контура под действием внешней силы. Этот случай проще. Рассмотрение незатухающего контура для ряда вопросов имеет смысл.

Пусть $\delta \rightarrow 0$. Тогда в пределе формула (7) предыдушей лекции дает:
\[
X=\frac{E}{\omega_{0}^{2}-p^{2}} .
\]

Если $\left|\omega_{0}^{2}-p^{2}\right|$ велико по отношению к $\delta^{2}$, т. е. далеко от резонанса, формула (5) приводит к удовлетворительным результатам. Пусть теперь $\omega_{0}=p$. Тогда по формуле (5) $X=\infty$ : если при приближении к резонансу не учитывать затухания, амплитуда растет неограниченно. Отсюда видно, что доста̄точно близко от резонанса мы обязаны при рассмотрении установившегося колебания принимать во внимание затухание, как бы оно ни было мало. Но как мы видели, чем меньше $\delta$, тем медленнее устанавливается колебание. Когда $\delta$ стремится к нулю, $X \rightarrow \infty$, но стаџионарный режим устанавливается через бесконечное время, т. е. не устанавливается никогда. Поэтому формула (5) не приводит к физическому противоречию.
Рис. 61.
Из формулы (2) мы не получим при $\omega_{0}=p$ установившегося (периодического) решения. Его нельзя получить?и из периодического решения, полагая в нем $p=\omega_{0}$. Но какое-то решение должно сущєствовать и в этом случае. Его можно найти другим путем.
Общее решение уравнения
\[
\ddot{x}+\omega_{0}^{2} x=E \sin \omega_{0} t
\]

есть
\[
x=A \cos \omega_{0} t+B \sin \omega_{0} t-\frac{E}{2 \omega_{0}} t \cos \omega_{0} t .
\]

Последний член (он является частным решением неоднородного уравнения) неограниченно растет со временем. Происходит неограниченное накопление энергии. Решение
\[
x=-\frac{t}{2 \omega_{0}} \cos \omega_{0} t
\]

можно получить и из формулы (4) путем перехода к пределу $\delta=0$. Как уже подчеркивалось, нельзя думать; что резонанс наступает сразу. Если сила действует очень короткое время, то она не может вызвать большого нарастания колебаний, даже если нет трения.

Рассмотрим один относящийся сюда оптический парадокс. Исследование установившегося режима приводит к выводу, что показатель преломления $n$ больше или меньше единиџы, смотря по тому, что больше – частота падающего света или собственная частота молекулярных резонаторов. Показатель преломления равен отношению скорости света в вакууме к скорости света в теле. Пусть показатель преломления меньше единиџы. Тогда скорость света в теле больше, чем скорость света в вакууме c. Опыт показывает, что действительно в некоторых случаях $n<1$. Кое-кто думал вывести отсюда возражение против теории относительности, так как одно из еє основных утверждений состоит в том, что ни один сигнал не иожет распространяться скорее, чем свет в пустоте.

В дећіствительности никакого противоречия нет. Теория относительности запрещает распространение сигнала со скоростью, большей $c$. Показатель преломления относится к установившимся колебаниям. Когда распространяется начало сигнала, электроны не успели еше придти в колебание. Сигнал вначале распространяется так, как будто бы молекул нет. Сигнал равносилен неустановившемуся режиму, и из того, что $n<1$, еше нельзя ничего заключить о скорости распространения сигнала.

Поставим теперь несколько более общую задачу. Нас часто интересуют периодические или почти-периодические силы $f(t)$. Их можно представить в виде суммы синусоид с различными периодами (математика нас учит, как это следует делать). Если мы это сделаем, то получим уравнение вида
\[
\ddot{x}+2 \dot{x}+\omega_{0}^{2} x=\sum_{i} E_{i} \cos \left(p_{i} t+\psi_{i}\right) .
\]

Мы знаем, что, найдя решение для случая, когда в правой части стоит один член суммы, мы сможем написать решение (8) как сумму отдельных таких решений.

Возьмем спедиальный случай. Пусть самая малая (по абсолютной величине) разность между частотами $p_{i}$ есть
\[
p_{1}-p_{2}=\Delta p \text {. }
\]

Пусть логарифмический декремент резонатора чрезвычайно мал по сравнению с $|\Delta p| / p_{i}$. Настроим резонатор на $p_{1}$. Тогда все члены с частотами, отличными от $p_{1}$, будут малы по сравнению с членом частоты $p_{1}$.

Если резонатор с достаточно малым затуханием настроен на частоту одной из синусообразных слагаемых силы, то остальные слагаемые практически совершенно незаметны. Такой резонатор выделяет определенный синусообразный член внешней силы, а именно тот, на который он настроен. Резонатор, это-реактив на синусообразные колебания. Он откликается именно на синусообразные колебания, а не вообще на периодические. Если действует периодическая сила периода, равного собственному периоду резонатора, но в которой „случайно“ нет синуса (или косинуса) нужной частоты, – резонанса не будет.

Например, как будет вести себя резонатор, настроенный на частоту $p$, в случае силы
\[
f_{1}(t)=a_{2} \sin 2 p t+a_{3} \sin 3 p t
\]
$\left(p=\omega_{0}\right)$ и в случае силы
\[
f_{2}(t)=a_{1} \sin p t
\]
(обе силы имеют одинаковый период)? Во втором случае он откликнется сильно; в первом случае он откликнется очень слабо. Для резонанса важен не период действующей силы, а наличие в разложении правой части на сумму синусов (или косинусов) члена с синусом (или косинусом) определенной частоты.

Вообразите, что вы раскачиваете маятник. Вы даете ему толчок. Он немного отклоняется и возвращается обратно. Если вы будете снова его толкать в „нужные“ моменты (через период), то действие толчков будет накопляться, – будет резонанс. Если вы будете толкать маятник через каждые два периода, то тоже будет резонанс, – маятник будет опять сильно раскачиваться.

Этот результат противоречит представлению о том, что для резонанса необходимо совпадение периода внешней силы с собственным периодом. Но он находится в согласии с тем, что было только что сказано.

Если разложить кривую (рис. 62) в ряд синусов, то при периоде толчков, равном удвоенному собственному периоду, этот ряд содержит синус собственного периода. Благодаря этому наступает резонанс.

Неправильно думать, что условием резонанса является совпадение периодов. Единственный критерий резонанса дает разложение на синусоиды. Этим и объясняется та важная роль, которую играет в физике ряд Фурье.

Любую функџию, в частности периодическую, можно представить как сумму других функџий и притом самым разнообразным образом. Возможно разложение не только по синусам и косинусам, но и по другим функциям. Какое разложение правильно? С точки зрения математики все грамотные разложения правильны и поставленный нами вопрос не имеет содержания. Он аналогичен вопросу: что правильно, $a^{2}-b^{2}$ или $(a-b)(a+b)$ ? Оба выражения представляют собой одно и то же.

Вся соль здесь-в физике, в том, как исследуется проџесс, на что рассматриваемое колебание действует. Если методом исследования является резонанс, то можно выделить каждый отдельный член ряда Фурье. Поэтому единственно правильное или, лучше Рис. 62. сказать, џелесообразное представление при исследовании проџесса с помошью резонанса-это ряд Фурье. Здесь разложение на другие функџии не ведет к џели. То или иное разложение правильно, разумно, в зависимости от системы, на которую колебание действует, в частности в зависимости от физического прибора, с которым работают.

В беспроволочной телеграфии и телефонии резонанс – важный инструмент, фундаментально используемый. Необходимо знать, какого рода вопросы при этом возникают.

Мы хотим передавать сигналы. Если передатчик работает синусообразно, то он может дать знать лишь о том, что он работает. Для передачи сообщения передатчик должен изменять амплитуду своих колебаний определенным образом, – соозразно тому, что должно быть передано. В этом состоит модуляция. Синусоиду модулируют, например, тем, что поют перед микрофоном. При этом амплитуда колебаний передатчика уменьшается или увеличивается сообразно колебаниям давления воздуха. Пусть акустическая частота есть v. Тогда (приближенно) амплитуда колебаний передатчика меняется по закону
\[
E=E_{0}(1+k \cos v t)
\]

и сигнал имеет вид
\[
y=E \cos p t=E_{0}(1+k \cos v t) \cos p t .
\]

Это-самый простой случай модуляџии передатчика.

Передатчик действует на приемник, на линейный осџиллатор. Формула (9) показывает, какова при этом внешняя сила, действующая на контур приемника. Какие свойства этого контура существенны при действии такой силы?

Приемная станџия настроена на данный передатчик. Вместе с тем имеется большое число других передатчиков. Требуется настроить приемник так, чтобы они ему не мешали, чтобы он мог от них „отстроиться“. Желательно, чтобы одновременно могло работать возможно большее число передаюших станщий.
Итак, к приемнику предъявляются следующие требования:
1. Он должен правильно передавать модуляџию данного передатчика.
2. Он не должен откликаться на другие передатчики (селективность).
3. Кроме того, имеются помехи, форма и сила которых от нас не зависят (атмосферные разряды, грозы). Желательно построить приемник так, чтобы он был нечувствителен к помехам.

К сожалению, первое требование и остальные два противоречивы, так что приходится идти на компромисс.

Наиболее простой модуляџии соответствует формула (9). Ее можно записать и в таком виде:
\[
y=E_{0} \cos p t+\frac{k E_{0}}{2} \cos (p-
u) t+\frac{k E_{0}}{2} \cos (p+v) t .
\]

Получились три синусообразные колебания. Следовательно, на приемное устройство действуют три колебания с тремя частотами $p$, $p-v, p+v$. Частота $p$ называется несущей частотой, частоты $p-v$ и $p+v$ называются боковыми полосами. Амплитуды вынужденных колебаний, соответствующих трем синусоидальным составляющим силы (10), таковы:
\[
\frac{E_{0}}{\sqrt{\left(\omega_{0}^{2}-p^{2}\right)^{2}+4 \delta^{2} p^{2}}}, \quad \frac{\frac{k E_{0}}{2}}{\sqrt{\left[\omega_{0}-(p \pm v)^{2}\right]^{2}+4(p \pm v)^{2} \delta^{2}}},
\]

или, если $p=\omega_{0}$ (приемник настроен на несущую частоту передатчика),
\[
\frac{E_{0}}{2 \hat{\delta} \omega_{0}}, \quad \frac{\frac{k E_{0}}{2}}{\sqrt{\left(v^{2}+2 \omega_{0} v\right)^{2}+4\left(\omega_{0} \pm v\right)^{2}} \overline{\delta^{2}}} \approx \frac{k E_{0}}{4 \delta \hat{\delta} \omega_{0} \sqrt{1+\frac{v^{2} 4 \pi^{2}}{\omega_{0}^{2} d^{2}}}} .
\]

Предположим, что затухание контура приемника очень мало:
\[
\frac{v^{2}}{\omega_{0}^{2}} \gg \frac{d^{2}}{4 \pi^{2}} .
\]

Тогда боковые полосы практически не попадают в приемник. Он реагирует так, как будто бы модулядии нет, т. е. приемник не чувствует, модулирован сигнал или нет, он не слышит того, что говорит передатчик. Таким образом, нельзя брать декремент очень малым.

Мы получим в приемнике хорошую модуляџию, если резонанс не изменит заметно отношение амплитуд синусоидальных составляющих (несущей и боковых). Для хорошего воспроизведения модуляџии должно быть поэтому
\[
\frac{v^{2}}{\omega_{0}^{2}} \ll \frac{d^{2}}{4 \pi^{2}},
\]

относительная величина частоты модуляџии должна быть гораздо меньше, чем $d / 2 \pi$. Если требуется, чтобы правильно передавалась модуляџия, мы не имеем права брать очень малый декремент.

При $p / 2 \pi=10^{\circ}$ (длина волны 300 м), $v / 2 \pi=3000$, т. е. при $v / p=0,003$, условие (11) дает:
\[
d \gg 0,003 \cdot 2 \pi,
\]

или
\[
d \gg 0,019 \text {. }
\]

Даже для умеренно хорошего воспроизведения модулядии здесь необходим сравнительно большой логарифмический декремент. Но это противоречит требованию высокой селективности. Кроме того, чем больше логарифмический декремент, тем сильнее сказываются помехи ${ }^{1}$.

Какие есть способы улучшить положение? Что нам задано речи. Ее менять мы не можем. Значит, если $\vee$ задано, то для достижения хорошего воспроизведения модуляџии нужно увеличивать $\omega_{0}$, пока не будет выполнено условие (11). При большом числе станџий требование хорошей модуляџии заставляет переходить к коротким волнам. $\qquad$
${ }^{1}$ [См. 17-ую лекџию.]

Все, что говорилось, относится и к телеграфной передаче. Здесь требование селективности накладывает ограничение на скорость передачи. Малый логарифмический декремент несовместим с быстротой работы. Но здесь требования – менее жесткие, чем при передаче звука. Для хорошей музыкальной передачи нужно передавать частоты до 5-10 тысяч колебаний в секунду. При радиотелефонных переговорах достаточно, чтобы хорошо передавались более низкие частоты. Хорошая телеграфная работа, довольно быстрая – 120 слов в минуту. Такая быстрота телеграфирования соответствует, грубо говоря, частоте модуляџии около 150 колебаний в секунду. Это гораздо более медленная модуляция, чем в радиотелефонии. Кроме того, здесь Рис. 63. не очень страшно, если кривая получается немного смазанной (рис. 63). Тем не менее даже в радиотелеграфии нельзя пользоваться теми малыми логарифмическими декрементами, которые нам доступны. Это привело бы к слишком сильному искажению сигналов:

Итак, в случае приема с помощью линейной системы мы всегда находимся между Сџиллой и Харибдой: требования селективности и хорошего воспроизведения модуляџии противоречивы. Приходится каждый раз думать о том, какой выбрать компромисс. Если сообщается о сенсаџионном открытии, о новом принџипе, устраняющем – в пределах линейных систем – противоречие между требованиями селективности и хорошего воспроизведения модуляџии, то мокно сразу сказать, что это неверно. Недавно сообщалось, что такой принцип найден и даже запатентован Робинсоном, но из этого ничего не вышло.

Мы разлагали простейшее модулированное колебание на три синусоидальных колебания. Флеминг ${ }^{1}$ говорит следующее. Эти три волны „не реальны“. Законодательство ограничивает частоту модуляџии. Оно требует, чтобы при передаче модуляџия была не более быстрой, чем 10 тысяч колебаний в секунду. Это мотивируется тем, что в противном случае близкие по частоте станџии не смогут работать. Но так как боковые частоты не реаль-
1 [A. Fleming. Nature, 125, 92, 1930.]

ны, говорит Флеминг, то такое законодательство не имеет смысла.

Вопрос „реальны\” или „не реальны“ боковые полосы, не имеет смысла. Так вопрос ставить нельзя. Переход от формулы (9) к (10) – простая тригонометрия. Никакое приемное устройство не различит, имеется ли одна модулированная волна или соответствующие ей три волны от трех немодулированных передатчиков.

Вопрос о реальности боковых полос-это такой же вопрос, как, например, что реально: то, что $10=2+8$, или то, что $10=5+5$ ? Правильно ставить вопрос можно только так: как целесообразно в данном конкретном случае представить число 10 . А это зависит от того, что вы хотите сделать.

По вопросу о „реальности“ боковых полос возникла целая литература ${ }^{1}$.