Главная > Л.И.МАНДЕЛЬШТАМ. ТОМ IV
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Продолжим исследование фильтра с одинаковыми ячейками. Он описывается уравнениями
Lq¨(k)+1C(2q(k)q(k+1)q(k1))=0(k=1,2,,n).

Для определенности задачи нужно указать условия на конџах. Закрепленным кондам механической џепочки здесь соответствуют открытые конџы:
q(0)=0,q(n+1)=0.

Совершенно так же, как для џепочки, имеем:
q(k)=A(k)cos(ωt+φ);(2CLω2)A(k)1C(A(k+1)+A(k1j)=0.

Пусть
A(k)=asinkβ.

Torда
qs(k)=asinkβscos(ωst+φs),ωs=2LCsinsπ2(n+1)(s=1,2,,n).

Эти формулы получаются из формул для џепочки из одинаковых масс, если сделать замены
α=1C,m=L

Задача о собственных колебаниях полностью решена.
Рис. 128.
Если вместо (3) взять A(k)=bcoskβ (с тем же самым β ), мы также получим решение уравнений (2). Сумма решений
A(k)=asinkβ+bcoskβ
— тоже решение. Здесь неизвестны β и отношенио b/a. Их нужно определить из двух краевых условий. Мы сразу взяли b=0, так как заранее было известно, каким краевым условиям придется удовлетворять (мы имеем право угадывать решение, потому что знаем, что оно единственное). При других, более сложных, краевых условиях понадобилось бы использовать решение (5).
Пусть имеется кабель с равномерно распределенными емкостью и индуктивностью и с открытыми концами (рис. 128). Как апроксимировать его одной ячейкой (первое самое грубое приближение)? Сделаем, например, так, как показано на рис. 129: индуктивность, равная всей индуктивности кабеля L0, сосредоточена в
Рис. 129. одном месте, а емкость, равная всей емкости кабеля C0, разделена на две части. Здесь — одна собственная частота. Ее можно сравнивать только с основной частотой кабеля ω~1.

Если L1 и C1 — индуктивность и емкость на единиџу длины кабеля, то скорость распространения волн в нем равна 1/L1C11. Так как кабель открыт на обоих концах, то на его длине l укладывается полволны и
ω~1=2π1L1C112l=πlL1C1=πL0C0.
1 [См. 3-ю лекџию части II.]

Контур рис. 129 имеет собственную частоту
ω=2L0C0,

сильно отличающуюся от ω˘1. Но и при одной ячейке можно получить лучшее приближение, если иначе распределить параметры. Прежде чем это показать, рассмотрим апроксимаџию кабеля фильтром из n ячеек. Чем больше n, тем лучшее приближение можно получить.

Повидимому, наилучший способ распределения индуктивности и емкости кабеля между n ячейками состоит в следующем. Разобьем кабель на n+1 участок. Поместим в середине каждого участка
Рис. 130.

сосредоточенную емкость C, равную емкости участка, а слева и справа от нее две индуктивности L/2, равные в сумме распределенной индуктивности участка (рис. 130). Из n+1 участка получается n ячеек. Сумма емкостей всех ячеек равна емкости всего кабеля. C индуктивностью дело обстоит иначе: половинки L/2 на конџах остаются „мертвыми“. Емкость C0 и индуктивность L0 всего кабеля связаны с C и L соотношениями:
C(n+1)=C0,L(n+1)=L0.

Собственные частоты нашего ячеечного кабеля (фильтра) суть
ωs=2(n+1)L0C0sinsπ2(n+1),

собственные же частоты сплошного кабеля —
ω~s=sπL0C0

Следовательно,
ωsω¯s=2(n+1)sπsinsπ2(n+1),

или
ωsω^s=sinξξ,ξ=sπ2(n+1)
(функџия sinξ/ξ часто встречается в теоретической физике).
Для ячеечных кабелей, подобранных только что указанным способом, имеются таблиды собственных частот.

В случае апроксимаџии одной ячейкой ( n=1 ) наш общий способ приводит к схеме рис. 131. Здесь, в отличие от рис. 129, в выражение для собственной частоты входит не вся индуктивность кабеля, а ее половина. Получается собственная частота
 () =22L0C0

Она отличается от основной частоты сплошного кабеля только на 10%.

Мы говорили выше об индуктивности и емкости на единицу длины: кабеля. Эти понятия нуждаются в обосновании, и в свое время мы к этому вернемся 1. Теперь же мы перейдем к рассмотрению другой физической задачи, практически чрезвычайно важной.
Пусть через звеньевой про-
Рис. 131. водник передается напряжение от источника к потребляющему аппарату. Практически дело часто обстоит так: источник создает не синусоидальное напряжение, а набор синусоидальных слагаемых разнообразных частот. Желательно, чтобы некоторые из этих слагаемых проходили, а другие задерживались. Иначе говоря, нужно профильтровать напряжение, создаваемое источником. Так как мы рассматриваем линейную систему, то для того, чтобы овладеть проблемой, достаточно рассмотреть, как ведет себя эта система под действием синусоидальной силы
E=cospt

где p-заданная частота.
Ответ будет различным, в зависимости от того, каков потребляющий аппарат. Оставим конед фильтра открытым и будем интересоваться напряжением на этом открытом конде. Если на конде
1 [См. 3-ю лекџию части II.]

включен какой-нибудь аппарат, то, вообще говоря, вся картина искажается. Но если этот апарат имеет большое внутреннее сопротивление, то решение, которое мы получим для открытого конџа, даст практически правильный ответ.

Вернемся к общей постановке задачи. Это-задача не о собственных, а о вынужденных колебаниях.

Реальный фильтр обладает потерями. Вследствие потерь собственные колебания затухают, и под действием периодической силы устанавливаются колебания с периодом силы. Их мы и хотим найти. Наличие затухания мы учтем с самого начала тем, что будем рассматривать периодическое решение. Но, не вводя затухания в уравнение, мы не получим зависимости амплитуды вынужденных колебаний от затухания. Так можно поступать только в том случае, когда затухание мало.

Будем искать периодическое решение с час-

Рис. 132. тотой p. Прибегнем к тому же приему, что и при изученип собственных колебаний 1. В случае, когда включен источник внешней силы (рис. 132), первое уравнение (1) должно быть заменено уравнением
Lq¨(1)+1C(q(1)q(2))=Ecospt.

Остальные уравнения (1) сохраняют такой же вид, как в задаче о собственных колебаниях. Получаются несимметричные уравнения, и это нежелательно. Но как сохранить для всех k, включая k=1, одинаковый вид уравнений? Выход заключается в следующем: нужно написать для k=1 уравнение
Lq¨(1)+1C(q(1)q(2))+1C(q(1)q(0))=0

и потребовать в решении, чтобы было
1C(q(1)q(0))=Ecospt.
1 [См. 29-ю и 30-ю лек џии.]

Такой прием обычен в вопросах распространения волн при точечных источниках.

Итак, мы требуем, чтобы удовлетворялись все прежние симметричные уравнения, но дополнительно требуем, чтобы выполнялось условие (6) на одном конџе и условие
q(n+1)=0

на другом конџе. Решать уравнения (1) мы будет при этом обычным способом, полагая
q(k)=A(k)cospt.

Формально мы получим такие же уравнения, как и раньше:
(2CLp2)A(k)1C(A(k+1)+A(k1))=0.

Разниџа по отношению к разысканию собственных колебаний состоит в том, что здесь частота p задана и надо искать только A(k). Если мы сделаем, как прежде, подстановку sinkβ, то неизвестно, сможем ли мы удовлетворить уравнениям (8). Попробуем выражение типа ehү , которое более гибко.
Итак, подставим в (8)
A(k)=aekγ.

Как легко видеть, мы получим для определения γ уравнение
(2CLp2)1C(eγ+eγ)=0,

которое является квадратным уравнением по отношению к eγ. Интересно то, что в зависимости от величины p значение γ, которое получается из (9), будет либо чисто мнимым, либо комплексным. В этих двух случаях фильтр ведет себя совершенно различно.
Если p таково, что
|2LCp2|<2,

то мы удовлетворим (9), взяв
γ=iβ

где β-действительная величинє. Действительно,
eiβ+eiβ=2cosβ2.

Если γ=iβ удовлетворяет уравнению (19), то γ=iβ тоже удовлетворяет ему, так что уравнения (8) имеют при өтом решение
A(k)=aeikβ+beikβ.

Так как амплитуды A(k) действительны, то нужно взять a и b комплексно сопряженными:
2ia=Aeiψ,2ib=Aeiψ
( A и ψ-произвольные действительные величины), и мы получаем:
A(k)=Asin(kβψ).

Это решение означает, что фильтр пропускает частоту p.
Условие (10) может быть представлено в таком виде:
p<2LC.

Если условие (10) не выполняется, т. е. частота внешней э.д.с. p>2/LC, то величина γ при этом не является чисто мнимой; как мы увидим, таких частот фильтр не пропускает.

Таким образом, фильтр пропускает только частоты, лежащие ниже определенной критической частоты, равной
p=2LC.

Эффективность фильтра зависит от числа ячеек, но критическая частота от него не зависит; она определяется только структурой ячейки. Обычный (сплошной) хабель критической частоты не имеет, он пропускает все частоты.

Однако здесь нужно заметить следующее. Критическая частота отсутствует у однородного сплошного кабеля. Сплошной кабель с периодически меняюшимися (в функции расстояния) L и C будет обладать фильтрующей способностью. Такой кабель будет пропускать низкие частоты и задерживать высокие.

Наряду с фильтрами рассматриваемого типа, нужны также фильтры обратного типа, пропускающие высокие частоты и задерживающие низкие. (Эти два типа фильтров составляют основу „фильтровальной“ техники.) В „обратном“ фильтре емкости расположены последовательно, а индуктивности — параллельно (рис. 133), т. е. емкости шунтируются индуктивностями.

Можно избежать нового математического исследования, сведя задачу о фильтре второго типа на задачу о фильтре первого типа. Составляя уравнения по Кирхгофу или по Лагранжу, получаем:
q(k)C+L(2q¨(k)q¨(k+1)q¨(k1))=0,

где q(k)-заряд на k-ом конденсаторе. Подстановка
q(k)=A(k)cospt

дает уравнения
(2L1Cp2)A(k)L(A(k+1)+A(k1))=0.

Сравним уравнения (13) и (8). Достаточно заменить 1/C на L, а L на 1/C и написать p вместо 1/p, чтобы перейти от уравнений (8) к уравнениям (13). Сделав такую же замену в формуле (12), мы получим для фильтра второго типа следующее условие пропускания:
Рис. 133.
p>12LC.

Частоты, лежащие ниже 1/2LC, он не пропускает. Для фильтра второго типа критическая частота (при тех же L и C ) меньше, чем для первого.

Имея два фильтра, один — дервого, другой-второго типа, можно составить из них фильтр, пропускающий лишь некоторый интервал частот. Первый фильтр задержит частоты выше некоторой определенной величины, второй задержит частоты ниже некоторой другой определенной величины. Разность этих величин и даст полосу пропускания.

То, что было сказано о пропускании и непропускании, нам еще предстоит доказать. Кроме того, нужно будет получить количественные выражения для амплитуды на выходе фильтра. Но я хотел бы сначала показать наглядно, в чем здесь „колдовство“.

Возьмем фильтр первого типа (рис. 132). Почему он пропускает медленные колебания? Если приложить к одному конду постоянное напряжение от батареи, то на другом конџе будет такое же напряжение, как на батарее. С другой стороны, для очень быстрых колебаний емкости представляют собой очень малые сопротивления, они образуют почти короткие замыкания. При очень большой частоте каждый конденсатор шунтирует предыдущую часть линии малым (и уменьшающимся с увеличением частоты) сппротивлением.

Возьмем фильтр второго типа (рис. 133). Приключенная к его конду батарея зарядит первый конденсатор, но дальше ток не пойдет, напряжение на конџе будет равно нулю. Если же частота источника велика, каждая ячейка шунтируется большим сопротивлением (индуктивное сопротивление растет с увеличением p ) и напряжение на конде линии велгко.
Нам нужно теперь вычислить амплитуды колебаний в фильтре.
При частоте ниже критической в фильтре первого типа мы получаем, подставляя q(k)=A(k)cospt, где A(k) дается формулой (11), в граничное условие (6):
Asinψ+Asin(βψ)=CE.

Второе уравнение для определения A и ψ мы получим, подставляя (11) в граничное условие (7):

Отсюда
Asin[(n+1)βψ]=0.ψ=(n+1)β.

Подставляя (15) в (14), имеем
A=CE2sinβ2cos(n+12)β.

Пользуясь этой формулой, найдем амплитуду X напряжения q(r2/C на конде фильтра:
X=A(n)C=Asin(ψnβ)C=AsinβC=CEsinβC2sinβ2cos(n+12)β,

или
X=Ecosβ2cos(n+12)β.

Для очень малых p величина β также очень мала, и можно считать приближенно:
cosβ2=1,cos(n+12)β=1.

Напряжение на конџе равно напряжению, подводимому к первой ячейке.

Формула (16) показывает также, что для некоторых участков частот напряжение на конџе фильтра может быть значительно больше, чем O. Фильтр пропускает все низкие частоты (p<2/LC¯), но пропускает их неравномерно. В частности, если p таково, что
cos(n+12)⇔=0

то имеет место резонанс, X=, т. е. напряжение на конуе кабеля (в отсутствие затухания) растет неограниченно.

Затухание скрадывает эти различия. При больших затуханиях фильтр более или менее одинаково пропускает все частоты ниже критической.

Остается доказать вторую часть нашего утверждения — то, что Фильтр практически не пропускает частот выше критической.

1
Оглавление
email@scask.ru