Рассмотрим общий случай малых колебаний консервативной системы с двумя степенями свободы около устойчивого положе-ния равновесия. Потенџиальная и кинетическая энергия – квадратичные формы соответственно от координат и скоростей:
\[
\left.\begin{array}{l}
U=a x^{2}+2 h x y+b y^{2} \\
T=A \dot{x}^{2}+2 H \dot{x} \dot{y}+B \dot{y}^{2}
\end{array}\right\}
\]

Обе квадратичные формы положительно дефинитны. При этом
\[
\left.\begin{array}{rl}
A>0, & B>0, A B-H^{2}>0, \\
a>0, & b>0, \quad a b-h^{2}>0 .
\end{array}\right\}
\]

Подставляя (1) и (2) в уравнения Лагранжа
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{x}}\right)+\frac{\partial U}{\partial x}=0, \frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{y}}\right)+\frac{\partial U}{\partial y}=0,
\]

получаем для нашей системы уравнения движения:
\[
\left.\begin{array}{l}
A \ddot{x}+H \ddot{y}+a x+h y=0, \\
H \ddot{x}+B \ddot{y}+h x+b y=0 .
\end{array}\right\}
\]

На рис. 92, а, б показаны два примера систем с двумя степенями свободы. В качестве $x$ и $y$ можно взять заряды на любых двух конденсаторах (рис. 92,a) и углы отклонения маятников (рис. 92,б) или любые линейные комбинаџии этих величин.

Можно ввести понятие парциальных систем ${ }^{1}$. Мы будем называть !паруиальными те сиРис. 92. стемы с одной степенью свободы, которые получаются из денной системы с двумя степенями свободы при „закреплении“ одной из координат, т. е. в случае рис. 92, $a$-при разрыве џепи, к которой относится соответственно координата $x$ или $y$, а в случае рис. $92, \sigma$ – при закреплении того или другого маятника. Математически это означает следующее. Одну парџиальную систему мы получим, положив, что в (1) $x=0$ (тождественно по $t$ ), другую- положив аналогичным образом в (1) $y=0$.
Для первой пардиальной системы имеем:
\[
T=A \dot{x}^{2}, U=a x^{2} .
\]

Эта система имеет соб̈ственную частоту $n_{1}$ (парџиальную частоту), такую, что
\[
n_{1}^{2}=\frac{a}{A} .
\]
1 [Подроб̈нее см, 24-ую лекцию.]

Для второй парџиальной системы имеем:
\[
\begin{array}{c}
T=B \dot{y}^{2}, U=b y^{2}, \\
n_{2}^{2}=\frac{b}{B}
\end{array}
\]
( $n_{2}$ – вторая парџиальная частота).
Будем искать решение уравнения (3) системы с двумя степенями свободы в таком виде:
\[
\begin{array}{l}
x=C \cos (\omega t+\alpha), \\
y=k C \cos (\omega t+\alpha),
\end{array}
\]

где $C, k, \omega, \alpha$– постоянные. Движение типа (4) мы будем называть нормальным колебанием, его частоту а-нормальной частотой.

Подставляя (4) в (3) и сокращая на общий множитель $\cos (\omega t+\%)$, получаем систему алгебраических уравнений:
\[
\left.\begin{array}{l}
\left(\omega^{2} A-a\right)+\left(\omega^{2} H-h\right) k=0 \\
\left(\omega^{2} H-h\right)+\left(\omega^{2} B-b\right) k=0 .
\end{array}\right\}
\]

Рассматривая эти уравнения как систему двух линейных уравнений относительно неизвестной $k$, напишем условие их совместности:
\[
\left|\begin{array}{cc}
\omega^{2} A-a & \omega^{2} H-h \\
\omega^{2} H-h & \omega^{2} B-b
\end{array}\right|=0 .
\]

Это-уравнение, определяющее неизвестную величину $\omega^{2}$. Оно называется секулярным уравнением. Обозначим
\[
\omega^{2}=\zeta
\]

и запишем секулярное уравнение в таком виде:
\[
F(\zeta)=0,
\]

где $F(\xi)$ – полином второй степени:
\[
F(\xi)=\lambda_{1} \xi^{2}+\lambda_{2} \zeta+\lambda_{3} .
\]

Уравнение
\[
r_{1}=F(\xi)
\]

есть уравнение параболы. Абсџиссы точек, в которых она пересекает ось $\xi$, равны корням уравнения (6), т. е. квадратам частот искомых колебаний вида (4).

Развертывая детерминант уравнения (6) и сравнивая с (7), мы видим, что
\[
\lambda_{1}=A B-H^{2}, \quad \lambda_{2}=2 h H-a B-b A, \quad \lambda_{3}=a b-h^{2} .
\]

На основании (2)
\[
\lambda_{1}>0, \quad \lambda_{3}>0 .
\]
вательно, $n$ положительно. При $\zeta=0$ имеем
\[
\eta=F(0)=\lambda_{3},
\]

и, следовательно, п эдесь также положительно.
Подставляя в (7) значения
\[
\ddot{\zeta}=n_{1}^{2}=\frac{\alpha}{A}, \zeta=n_{2}^{2}=\frac{b}{B},
\]

получаем:
\[
\begin{array}{l}
F\left(\frac{a}{A}\right)=-\left(H \frac{a}{A}-h\right)^{2}<0 ; \\
F\left(\frac{b}{B}\right)=-\left(H \frac{b}{B}-h\right)^{2}<0 .
\end{array}
\]

Итак, парабола пересекает
Рис. 93.

ось абсџисс и имеет вид,
показанный на рис. 93. Корни $\omega_{1}^{2}$ и $\omega_{2}^{2}$ уравнения (5) действительны и положительны, причем
\[
\omega_{1}^{2} \leqslant n_{1}^{2} \leqslant n_{2}^{2} \leqslant \omega_{2}^{\frac{9}{2}} .
\]

Паруиальные частоты лежат между нормальными частотами и в крайнем случае – совпадают с ними.

Применим полученные результаты к случаю системы, состояџей из двух индуктивно связанных контуров (рис. 91). Здесь
\[
\begin{array}{l}
2 T=L_{1} \dot{q}_{1}^{2}+L_{2} \dot{q}_{2}^{2}+M \dot{q}_{1} \dot{q}_{2}, \\
2 U=\frac{q_{1}^{2}}{C_{1}}+\frac{q_{2}^{2}}{C_{2}} .
\end{array}
\]

Секулярное уравнение
\[
\left|\begin{array}{cc}
\omega^{2} L_{1}-\frac{1}{C_{1}} & \omega^{2} M \\
\omega^{2} M & \omega^{2} L_{2}-\frac{1}{C_{2}}
\end{array}\right|=0 .
\]

Введем парциальные частоты:
\[
n_{1}^{2}=\frac{1}{L_{1} \bar{C}_{1}}, \quad n_{2}^{2}=\frac{1}{L_{2} C_{2}}
\]

и обозначим
\[
\sigma=1-\frac{M^{2}}{L_{1} L_{2}} .
\]

Развертывая детерминант и воспользовавшись (8) и (9), получаем:
\[
\left.\sigma \omega^{2}-\left(n_{1}^{2}+n_{2}^{2}\right) \cdots\right)^{2}+n_{1}^{2} n_{2}^{2}=0 .(10)
\]

Рис. 94.
Рис. 95.

Введем еще „расстройку“ парџиальных частот
\[
\xi=\left(\frac{n_{2}}{n_{1}}\right)^{2}
\]

и величину
\[
z=\frac{\omega^{2}}{n_{1}^{2}}
\]
(квадрат отношения нормальной частоты к одной из парџильных). Подставляя (11) и (12) в (10), получаем
\[
\sigma z^{2}-(1+\xi) z+\xi=0 .
\]

На плоскости $(z, \xi)$ этому уравнению соответствует семейство гипербол (каждая гипербола соответствует определенному значению параметра б). Одна из таких гипербол изображена на рис. 94. Каждому значению расстройки $\xi$ соответствуют две ординаты: $z_{1}, z_{2}$ (две нормальные частоты). Рис. 94 наглядно показывает, как нормальная частота зависит от расстройки пардиальных систем.

Построенный нами график имеет большое значение при исследовании некоторых нелинейных систем, например лампового генератора, колебательный контур которого индуктивно связан с другим колебательным контуром (рис. 95). Здесь при определенных условиях происходит следующее. Имеет место периодическое (незатухающее) колебание, частота которого практически совпадает с одной из нормальных частот той хинейной консервативной системы, в которую превратилось бы устройство рис. 95 при отсутствии лампы и сопротивлений в контурах. При изменении расстройки $\xi$ частота генерируемого колебания меняется так, как показано на рис. 96. При $\xi<\xi_{1}$ возможны колебания только с частотой $\omega_{2}$, при $\zeta>\xi_{2}$-только с частотой $\omega_{1} ;$ при $\xi_{1}<\xi<\xi_{2}$ в зависимости от истории системы происходят колебания либо с частотой $\omega_{1}$, либо с частотой $\omega_{2}$ (явление „затягивания\”-своеобразный гистерезис). Переход от частоты $\omega_{1}$ к частоте $\omega_{2}$ или наоборот происходит скачком.;;

Найдя нормальные частоты, мы можем определить из (5) соответствуюшие значения отношения амплитуд $k$. Обозначим их $k_{1}$ и $k_{2}$.
Введем посредством уравнений
\[
\begin{array}{c}
x=\xi+n, \\
y=k_{1} \xi+k_{2} n
\end{array}
\]

новые обобщенные координаты и п. Подставив (13) в (1), полу-

Рис. 96. чаем:
\[
\left.\begin{array}{c}
T=\left(A+2 H k_{1}+B k_{1}^{2}\right) \dot{\xi}^{2}+2\left[A+H\left(k_{1}+k_{2}\right)+B k_{1} k_{2}\right] \dot{\xi}_{n}+ \\
+\left(A+2 H k_{2}+B k_{2}^{2}\right) \dot{n}^{2} \\
U=\left(a+2 h k_{1}+b k_{1}^{2}\right) \xi^{2}+2\left[a+h\left(k_{1}+k_{2}\right)+b k_{1} k_{2}\right] \xi \eta+ \\
+\left(a+2 h k_{2}+b k_{2}^{2}\right) n^{2}
\end{array}\right\}
\]

Заметим теперь, что на основании (5)
\[
\begin{array}{ll}
\omega_{1}^{2}\left(A+H k_{1}\right)=a+h k_{1}, & \omega_{2}^{2}\left(A+H k_{2}\right)=a+h k_{2} ; \\
\omega_{1}^{2}\left(H+B k_{1}\right)=h+b k_{1}, & \omega_{2}^{2}\left(H+B k_{2}\right)=h+b k_{2} .
\end{array}
\]

Сложим уравнения первого столбџа, умножив предварительно второе на $k_{1}$ :
\[
\omega_{1}^{2}\left(A+2 H k_{1}+B k_{1}^{2}\right)=a+2 h k_{1}+b k_{1}^{2} .
\]

Сложим теперь уравнения второго столбџа, умножив предварительно второе на $k_{2}$ :
\[
\omega_{2}^{2}\left(A+2 H k_{2}+B k_{2}^{2}\right)=a+2 h k_{2}+b k_{2}^{2} .
\]

Если же проделать аналогичную операџию, но умножая на $k_{2}$ и $k_{1}$ вместо $k_{1}$ и $k_{2}$, то получим еще:
\[
\left.\begin{array}{l}
\omega_{2}^{2}\left[A+H\left(k_{1}+k_{2}\right)+B k_{1} k_{2}\right]=a+h\left(k_{1}+k_{2}\right)+b k_{1} k_{2} ; \\
\omega_{2}^{2}\left[A+H\left(k_{1}+k_{2}\right)+B k_{1} k_{2}\right]=a+h\left(k_{1}+k_{2}\right)+b k_{1} k_{2} .
\end{array}\right\}
\]

При $\omega_{1}^{2}
eq \omega_{2}^{2}$ из (17) следует, что
\[
\begin{array}{c}
A+H\left(k_{1}+k_{2}\right)+B k_{1} k_{2}=0 \\
a+h\left(k_{1}+k_{2}\right)+b k_{1} k_{2}=0 .
\end{array}
\]

Следовательно, выражения (14) не содержат членов с произведениями $\dot{\xi}_{i}$ и $\xi$ и имеют вид
\[
\begin{array}{l}
T=A_{1} \dot{\xi}^{2}+A_{2} \dot{n}^{2}, \\
U=a_{1} \xi^{2}+a_{2} \eta^{2},
\end{array}
\]

причем
\[
\frac{a_{1}}{A_{1}}=\omega_{1}^{2}, \frac{a_{2}}{A_{2}}=\omega_{n}^{2} .
\]

В системе координат ( $\xi$ п) нет ни силовой, ни инерџиальной связи. Мы показали, что подходящим выбором обобщенных координат всегда можно привести обе квадратичные формы (14) к каноническому виду (18), т. е. привести их к суммам квадратов. Координаты $\xi$ и $\gamma_{i}$ называются нормальными координатами.
Уравнения Лагранжа в новых обобщенных координатах
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \xi}\right)+\frac{\partial U}{\partial \xi}=0, \quad \frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{x}_{i}}\right)+\frac{\partial U}{\partial r_{i}}=0,
\]

имеют вид
\[
\left.\begin{array}{l}
A_{1} \ddot{\xi}+a_{1} \xi=0 \\
A_{2} \ddot{\eta}+a_{2} n=0
\end{array}\right\}
\]

В одно из них входит только обобщенная координата $\xi$, в другое – только обобщенная координата $n$.

Уравнения (19) имеют общее рещение:
\[
\xi_{1}=C_{1} \cos \left(\omega_{1} t+\alpha_{1}\right), \quad n=C_{2} \cos \left(\omega_{2} t+\alpha_{2}\right),
\]

где $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ – нормальные частоты. Согласно (13)
\[
\left.\begin{array}{l}
x=C_{1} \cos \left(\omega_{1} t+\alpha_{1}\right)+C_{2} \cos \left(\omega_{2} t+\alpha_{2}\right), \\
y=k_{1} C_{1} \cos \left(\omega_{1} t+\alpha_{1}\right)+k_{2} C_{2} \cos \left(\omega_{2} t+\alpha_{2}\right) .
\end{array}\right\}
\]

Таково выражение общего решения в исходных координатах $x, y$. Мы могли бы его написать сразу (не переходя к нормальным координатам $\xi$ и $n$ ) как сумму двух частных решений вида (4).
Сформулируем физический смысл уравнения (20).
Каждая из координат $x$ и $y$ совершает, вообще говоря, сумму двух гармонических колебаний с различными нормальными частотами $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$.

Частоты эти задаются самой системой (видом кинетической и потенџиальной энергии). Самой системой задаются также отношения $k_{1}$ и $k_{2}$ амплитуд каждого нормального колебания в обеих координатах (эти отношения могут быть как положительными, так и отриџательными). Сами амплитуды и фазы задаются начальными условиями. Каждое из гармонических колебаний имеет в обеих координатах одинаковую фазу.