Вынужденные колебания гармонического осџиллатора описываются линейным дифференџиальным уравнением второго порядка с переменной правой частью. Нас интересует случай, когда правая часть синусоидальна, т. е. дифференџиальное уравнение приводится к виду
\[
\ddot{x}+2 \delta x+\omega_{0}^{2} x=E \cos p t,
\]

где в механическом случае $x$-смещение и
\[
E=\frac{E^{\prime}}{m}
\]

( $E^{\prime}$ – амплитуда внешней силы, $m$-масса), а в электрическом случае $x$-заряд конденсатора и
\[
E=\frac{E^{\prime}}{L}
\]
( $E^{\prime}$ – амплитуда внешней э. д. с., $L$ – индуктивность). Внешняя э. д. с. может быть непосредственно включена в контур, а может создаваться посредством индукџии (рис. 56, а и б).

Часто для решения уравнения (1) пользуются комплексными выражениями. Правую часть заменяют выражением $E e^{\text {;pt }}$, и получается новое уравнение
\[
\ddot{x}+2 \delta \dot{x}+\omega_{0}^{2} x=E e^{i p t} .
\]

Действительная часть решения уравнения (2) является решением уравнения (1).
Уравнение (2) решается подстановкой
\[
x=C e^{i p t} .
\]

Подставляя (3) в (2), получаем:
\[
\left(-p^{2}+2 \delta i p+\omega_{0}^{2}\right) C e^{i p t}=E e^{i p t},
\]

откуда
\[
C=\frac{E}{\omega_{0}^{2}-p^{2}+2 \delta i p} .
\]

Нас интересует действительная часть (3). Пользуясь методом, изложенным в начале курса ${ }^{1}$, мы находим, что эта действительная часть имеет вид
\[
x=X \cos (p t-\varphi),
\]

причем
\[
X^{2}=C C^{*}, \quad \operatorname{tg} \varphi=-\frac{\operatorname{Im} C}{\operatorname{Re} C} .
\]
1 [См. 3-ю лекџуию.]

Подставляя в (6) выражение (4), получаем:
\[
\begin{array}{c}
X=\frac{E}{\sqrt{\left(\omega_{0}^{2}-p^{2}\right)^{2}+4 \hat{\delta}^{2} p^{2}}} ; \\
\operatorname{tg} \varphi=\frac{2 \hat{\phi}}{\omega_{0}^{2}-p^{2}} .
\end{array}
\]

Если $\omega_{0}^{2}-p^{2}>0$, то наименьшее положительное значение $\varphi$, определяемое уравнением (8), находится в первом квадранте. Если $\omega_{0}^{2}-p^{2}<0$, оно находится во втором квадранте.

Мы нашли одно из частных решений неоднородного уравнения. Общее решение мы получим, прибавив к нему общее решение однородного уравнения:
\[
x=X \cos (p t-\varphi)+A e^{–i t} \cos (\omega t-\psi),
\]

где
\[
\omega^{2}=\omega_{0}^{2}-\delta^{2} \text {. }
\]

Здесь $A$ и $\psi$-произвольные повтоянные. Для того, чтобы удовлетворить любым начальным условиям $x=x_{0}, \dot{x}=\dot{x}_{0}$, при $t=0$, нужны как раз две произвольные постоянные.

Как уже было сказано в прошлой лекџии, деление общего решения неоднородного уравнения на две части – решение неоднородного уравнения и общее решение однородного – неоднозначно. Но в данном случае можно однозначно разделить общее решение неоднородного уравнения на такие две части: периодическое решение неоднородного уравнения – общее решение однородного.

Если ждать достаточно долгое время, то собственные колебания делаются как угодно близки к нулю. Через достаточно долгое время, каковы бы ни были начальные условия, остается чисто периодическое колебание. Поэтому оно представляет самостоятельный физический интерес.

Все свойства, о которых мы будем говорить, относятся к этому установившемуся проџессу. Они полностью сказываются лишь через достаточно долгое время. Поэтому, например, говорить о резонансе в первые мгновения после включения внешней силы бессмысленно.

Вынужденное периодическое колебание имеет частоту $p$, равную частоте действующей силы и, вообще говоря, отличную от. Частота, с которой колеблется осциллатор в установившемся режиме при вынужденных колебаниях, совершенно не зависит от его собственной частоты.

Заметим теперь, что если смещение или заряд меняется по закону (5), то скорость (или ток) будет
\[
\dot{x}=-p X \sin (p t-\varphi) .
\]

При собственных (незатухающих) колебаниях сумма кинетической и потенџиальной энергий остается постоянной. Остается ли эта сумма постоянной также и при синусоидальных вынужденных колебаниях? Подставим в выражение полной энергии
\[
W=\frac{k x^{2}}{2}+\frac{m \dot{x}^{2}}{2}
\]

выражения (5) и (10), полученнье для $x$ и $\dot{x}$. Это дает
\[
W=\frac{k}{2} X^{2} \cos ^{2}(p t-\varphi)+\frac{m}{2} p^{2} X^{2} \sin ^{2}(p t-\varphi) .
\]

Отсюда видно, что полная энергия непостоянна. Все время идет переход энергии из источника в рассматриваемую систему и обратно. Полная әнергия постоянна только при
\[
k=m p^{2} \text {. }
\]

Мы приходим обратным путем к уже известному результату: без внешней силы осџиллатор колеблется с частотой, равной $\sqrt{k / m}$. Мы видим далее, что, несмотря на синусоидальность колебания, не имеет места равенство средней кинетической и средней потенџиальной энергии. Если $p^{2}>\omega_{0}^{2}$, го $\bar{T}>\bar{U}$; если $p^{2}<\omega_{0}^{2}$, то $\bar{T}<\bar{U}$. Равенство средних потенџиальной и кинетической энергий играет важную роль для собственных колебаний. Но то, к чему мы привыкли для собственных колебєний, нельзя переносить на вынужденные.

При прочих равных условиях амплитуда вынужденных колебаний $X$ пропорџиональна амплитуде действующей силы $E$. Амплитуда и фаза сильно зависят от того, в каком отношении находится период внешней силы к периоду собственных колебаний.

Будем исследовать, при каком соотношении частоты внешней силы и собственной частоты наступает резонанс (понимая под резонансом максимум амплитуды вынужденных колебаний). Здесь возникают различные задачи, ведущие к различным резонансам.

1. Пусть $\omega_{0}=$ const, изменяется $p$. Продифференџировав $X$ по $p$, легко найти, что максимум амплитуды смешения или заряда $X$ будет при
\[
p=\sqrt{\omega_{0}^{2}-2 \bar{\delta}^{2}} .
\]

Таким образом, „резонансная“ частота внешней силы не равна собственной частоте $\omega_{0}$ и не равна „частоте“ затухающего осџиллаторного проџесса $\omega=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\delta^{2}}$. Резонанс наступает не при изохронизме, а при $p$, несколько меньшем, чем $\omega_{0}$.
2. Пусть попрежнему $\omega_{0}=$ const, изменяется $p$; но теперь мы будем интересоваться максимумои амплитуды тока или скорости $\dot{X}$. Нужно, следовательно, искать максимум выражения
\[
\dot{X} \equiv p X=\frac{p E}{\sqrt{\left(\omega_{0}^{2}-p^{2}\right)^{2}+4 \delta^{2} p^{2}}}=\frac{E}{\sqrt{4 \delta^{2}+\left(\frac{\omega_{0}^{2}-p^{2}}{p}\right)^{2}}} .
\]

Ясно, что максимум будет при
\[
\omega_{0}^{2}-p^{2}=0,
\]
т. е. здесь резонанс наступает тогда, когда период внешней силы равен периоду незатухающего колебания.
Для максимальных значений амплитуды заряда и тока имеем:
\[
X_{\max }=\frac{E}{2 \hat{\delta} \omega_{0}}, \quad \dot{X}_{\max }=\frac{E}{2},
\]

Итак, резонанс в смысле максимума амплитуды тока и резонанс в смысле максимума амплитуды заряда возникают при различных значениях $p$. Насколько велика разниџа между ними? $X$ максимально при
\[
p^{2}=\omega_{0}^{2}-2 \delta^{2},
\]

а $\dot{X}$ максимально при
\[
p^{2}=\omega_{v}^{2} .
\]

Напишем для первого случая:
\[
p^{2}=\omega_{0}^{2}\left(1-2 \frac{\hat{\delta}^{2}}{\omega_{0}^{2}}\right)
\]

или, поскольку
\[
\frac{\delta}{\omega_{0}}=\frac{d}{2 \pi},
\]

где $d$ – логарифмический декремент,
\[
p^{2}=\omega_{0}^{2}\left(1-2 \frac{d^{2}}{4 \pi^{2}}\right) .
\]

Пусть $d=1 / 100$. Тогда $d / 2 \pi=1 / 60$ ?, а $(1 / 600)^{2}$ – очень малая величина. При очень тонких опытах можно констатировать отличие между обоими значениями $p$. Но почти всегда им можно пренебречь и считать, что оба резонанса наступают, когда $p=\omega$ (здесь можно не различать $\omega_{0}$ и $\omega=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\delta^{2}}$ ).
3. Когда наступает максимум $X$, если меняется $\omega_{0}$ ? Это случай, который имеет место в практике беспроволочной телеграфии, когда настраивают приемник, меняя емкость конденсатора. Как легко видеть, здесь максимум опять наступает при $\omega_{0}=p$.

Можно сказать, что если затухание мало, резонанс наступает при изохронизме. Этого приближения часто достаточно.

Мы выяснили, когда наступет максимум. Но насколько он резкий? Насколько остра кривая резонанса? Для того, чтобы ответить на этот вопрос, воспользуемся другим написанием формул (7) и (11), – тем написанием, которым пользовался Релей. Из формулы (8) легко получить для $\sin \varphi$ выражение
\[
\sin \varphi=\frac{2 \delta p}{\sqrt{\left(\omega_{0}^{2}-p^{2}\right)^{2}+4 \hat{\delta}^{2} p^{2}}} .
\]

На основании (13) можно написать для $X$ и $\dot{X}$ очень простые выражения:
\[
\left.\begin{array}{l}
X=\frac{E \sin \varphi}{2 \delta p} ; \\
\dot{X}=\frac{E \sin \varphi}{2 \delta} \cdot
\end{array}\right\}
\]

Допустим, что нас интересует зависимость от расстройки максимального значения кинетической энергии, т. е. величины
\[
T=\frac{m}{2} \dot{X}^{2} .
\]

Мы знаем, что $T=T_{\max }$ при $\omega_{0}=p$, т. е. при $\sin \varphi=1$. Поэтому на основании (14), (15) и (8) получаем:

откуда
\[
\frac{T}{T_{\max }}=\frac{1}{1+\left(\frac{\omega_{\theta}^{2}-p^{2}}{2 \delta p}\right)^{2}} .
\]

Разделим числитель и знаменатель в скобке на $\omega_{0} p$ и введем „степень изохронизма“
\[
\omega_{\mathrm{C}}=q .
\]

Мы получим:
\[
\frac{T}{T_{\max }}=\frac{1}{1+\left(\frac{1}{q}-q\right)^{2} /\left(\frac{d}{\pi}\right)^{2}} .
\]

Это-очень удобное и сравнительно простое выражение. Из него видно, что отношение $T / T_{\max }$ зависит не от трех отдельных переменных $p$, $о$ и $\delta$, а от двух их комбинаџий ( $q$ и $d$ ). В этом заключается одна из причин того, почему так существенен логарифмический декремент.
Возьмем, например, $d / \pi=0,01, q=0,8$. Тогда
\[
\frac{T}{T_{\max }}=\frac{1}{1+2 \cdot 10^{3}} \text {. }
\]

Из этого примера ясно, почему резонанс имеет такое огромное значение. Здесь достаточно расстройки на $20 \%$, чтобы энергия упала в 2000 раз.

Энергия при резонансе может быть и в миллионы раз больше, чем вдали от резонанса. Этого удалось достигнуть сравнительно недавно с помощью пьезокварџа. Амплитуды колебаний квардевой пластинки в „нормальных“ условиях порядка всего лишь $10^{-6}$ мм, но при резонансе кварџевые пластинки иной раз разлетаются.

Резонансная кривая, изображающая формулу (18), дает возможность экспериментально определить логарифмический декремент.

Вернемся к формуле (16). При малых расстройках, т. е. когда $\omega_{0}$ мало отличается от $p$, приближенно
\[
\left(\omega_{0}+p\right)\left(\omega_{0}-p\right)=2 p\left(\omega_{0}-p\right),
\]

и формула (16) дает:
\[
\frac{T_{\max }-T}{T}=\frac{\left(\omega_{0}-p\right)^{2}}{\delta^{2}}=\frac{\left(\frac{\omega_{0}-p}{\omega_{0}}\right)^{2}}{\left(\frac{d}{2 \pi}\right)^{2}} .
\]
Энергия падает вдвое по сравнению с резонансом при
\[
\frac{\omega_{0}-p}{\omega_{0}}=\frac{d}{2 \pi} .
\]

Определив расстройку, при которой ордината резонансной кривой равна половине ординаты в максимуме, можно вычислить по формуле (19) логарифмический декремент.
Остротой настройки называется обратная величина относительной расстройки $\left|\omega_{0} / \Delta \omega\right|$, которая нужна для того, чтобы ордината резонансной кривой уменьшиласьвдвое. Из формулы для $\left(T_{\max }-T\right) / T$ следует, что
Рис. 57.
\[
\left|\frac{\omega_{0}}{\Delta \omega}\right|=\frac{2 \pi}{d},
\]
т. е. острота настройки обратно пропорџиональна логарифмическому декременту контура.
При резонансе на основании (12) и (1б) амплитуда тока
\[
I=\dot{X}=\frac{E}{2 \delta}=\frac{E^{\prime}}{R} \text {. }
\]

Индуктивность и емкость друг друга компенсируют, и получается такое же соотношение между током и электродвижущей силой, как в случае постоянного тока. Фаза тока совпадает при этом с фазой электродвижущей силы так же, как если бы мы имели чисто омическое сопротивление.

Приведем несколько резонансных кривых для амплитуды смещения ( $\omega_{0}^{2} X / E$ ) в зависимости от $q$, соответствуюших различным значениям декремента (рис. 57). Из них видно, как максимум смещается в зависимости от декремента.

Как изменяется сдвиг фаз между внешней силой, с одной стороны, и током или зарядом в контуре-с другой, в зависимости от расстройки?

Формулу (8) также не трудно записать через параметры $\boldsymbol{d}=2 \pi \delta / \omega_{0} \cdot$ и $q=p / \omega_{0}:$
\[
\operatorname{tg} \varphi=\frac{q d}{\pi\left(1-q^{2}\right)} .
\]

Если частота внешней силы очень мала, то практически $\operatorname{tg} \varphi=0$, т. е. смещение изменяется в фазе с внешней силой. Если $p \rightarrow \infty$, то $\operatorname{tg} \varphi$ тоже стремится к нулю, но будучи отриџательным. Следовательно, сдвиг фаз стремится к $\pi$ : в тот момент, когда внешняя сила действует вправо, смешение направлено влево. При резонансе $(q=1)$ сдвиг фаз равен $\pi / 2$. Чем меньше $d$, тем меньше нужно удалиться от резонанса, чтобы сдвиг фаз стал практически равен 0 или $\pi$ (рис. 58).

То обстоятельство, что между внешней силой и смещением должен существовать сдвиг фаз, а также Рис. 58. какой именно он должен быть, можно вывести из простых энергетических соображений. Рассмотрим установившийся режим. Умножим уравнение
\[
L \frac{d i}{d t}+R i+\frac{Q}{C}=E^{\prime} \cos p t
\]

на $i$ и усредним за полный период. Әто дает:
\[
\overrightarrow{R \bar{i}^{2}}=E^{\prime} \overline{\cos p t \cdot i} \text {. }
\]

Справа стоит средняя мощность, отдаваемая внешним источником, слева – средняя потребляемая мошность. Будем приближаться к резонансу (оставляя $E^{\prime}$ постоянным); $i$ растет по амплитуде, но $\overline{i^{2}}$ растет гораздо быстрее. Отсюда ясно, что соотношение (20) не могло бы оставаться правильным, если бы между внешней э. д. с. и током (а следовательно, и зарядом) не было меняющейся с настройкой разности фаз.

Можно простым образом вывести из энергетического соотношения (20) зависимость амплитуды тока от $\varphi$. Подставим в (20)
\[
i=\dot{x}=-\dot{X} \sin (p t-\varphi) \text {. }
\]

Получаем:
\[
R \dot{X}^{2} \overline{\sin ^{2}(p t-\varphi)}=-E^{\prime} \dot{X} \overline{\cos p t \cdot \sin (p t-\varphi)} .
\]

Ho
\[
\overline{\sin ^{2}(p t-\varphi)}=\frac{1}{2}, \quad \overline{\cos p t \cdot \sin (p t-\varphi)}=-\frac{\sin \varphi}{2} .
\]

Следовательно,
\[
R \dot{X}^{2}=\dot{X} E^{\prime} \sin \varphi,
\]

откуда мы снова приходим к формуле (14):
\[
\dot{X}=\frac{E^{\prime}}{R} \sin \varphi .
\]

Как мы теперь видим, это релеевское написание формулы для амплитуды имеет довольно глубокий физический смысл. Связь между амплитудой тока и фазой диктуется энергетическими требованиями. Раздельное рассмотрение амплитуды и фазы не выявляет той связи между их изменениями, которая обусловлена энергетическими соотношениями. Есть ряд физических явлений, где эта связь сушественна.

Рассмотрим электродинамометр. В нем действует между катушками, в которых текут переменные токи $i_{1}$ и $i_{2}$, пара сил с моментом
\[
M \sim i_{1} i_{2} .
\]

Пусть ток $i_{1}$ берется прямо от источника переменной э. д. с. (через омическое сопротивление), а ток $i_{2}$ течет в резонансном контуре (рис. 59). В этом случае
\[
i_{1}=\alpha E \sin p t, i_{2}=\dot{X} \sin (p t-\varphi)
\]
( $\alpha$ – постоянная). На основании (14), (21) и (22)
\[
M=\mathrm{const} \cdot \sin \varphi \cdot \overline{\sin p t \sin (p t-\varphi)} .
\]

Ho
\[
\overline{\sin p t \cdot \sin (p t-\varphi)}=\frac{\cos \varphi}{2},
\]

и, следовательно,
\[
M=\mathrm{const} \cdot \sin \varphi \cos \varphi=\mathrm{const} \cdot \sin 2 \varphi .
\]

Соответствуюшую этой формуле зависимость момента от настройки изображает особая резонансная кривая (рис. 60). При настройке контура в резонанс
\[
\sin \varphi=1, \quad \cos \varphi=0,
\]
т. е. в случае резонанса момент сил отсутствует.
Рис. 59.
Рис. 60.
Максимум и минимум $M$ соогветствуют $\varphi=\frac{\pi}{4}, \varphi=\frac{3 \pi}{4}$, т. е. $\operatorname{tg} \varphi= \pm 1$, или
\[
\frac{2 \delta p}{\omega_{0}^{2}-p^{2}}= \pm 1 .
\]
\[
\left|\frac{\omega_{0}-p}{\omega_{0}}\right|=\frac{d}{2 \pi},
\]

которое мы получили раньше для случая, когда энергия в контуре падает вдвое по сравнению с резонансом.

Таким образом, из резонансной кривой для $M$ (найдя максимум и минимум) также можно определить декремент. Кроме того, получается нулевой метод нахождения резонанса, позволяющий устанавливать настройку в резонанс с очень большой точностью.

Мы рассмотрели простой электрический пример-электродинамометр, но аналогичные веши встречаются в гидродинамике: например, взаимодействие двух пульсирующих шаров, исследованное Бьеркнесом и послужившее моделью, с помошью которой старались объяснить многие явления.

На примере электродинамометра хорошо видна роль разности фаз при взаимодействии между колебательными системами.

Рассмотренные явления важны при взаимодействии между резонаторами. Этим вопросам значительное внимание уделил П. Н. Лебедев ${ }^{1}$.

Другой случай, где основную роль играют фазовые соотношения между внешней силой и возбуждаемым колебанием, встречается в оптике, в теории дисперсии и поглощения ${ }^{2}$.