Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике В прошлый раз мы говорили о том, как можно подойти к решению нашей фундаментальной задачи, включающей в себя дифференџиальное уравнение, краевые и начальные условия: При өтом мы не рассматриваем трения, выделения теплоты. Кроме того, мы исследуем собственные колебания, т. е. предполагаем, что нет внешних сил (мы видели, что введение внешних сия сводится к добавлению члена вида $f(x, t)$ в левой части дифференциального уравнения). Рассматриваемая задача интересна и потому, что близка к тем, которые приходится решать в волновой механике. Возьмем такую модель: струна прикреплена к упругой мембране, не имеющей массы (рис. 153). На струну действует тогда сила, пропорџиональная ее отклонению $y$, т. е. квазиупругая сила. Уравнение колебаний струны будет где $\sigma(x)$-коэффиџиент упругости мембраны. Пусть мы имеем не совсем прямолинейный стержень. Если кривизна мала, т. е. $d / R \ll 1$, где $d$-толшина стержня, $R$ – радиус кривизны, и если $x$-расстояние по оси стержня, то наши рассуждения остаются в силе, уравнение будет таким же, как и для прямолинейного стержня. Предположим теперь, что стержень сомкнулся в кольџо (рис. 154). Электрический аналог этого случая – лехеровы провода, образуюшие два параллельных кольџа, одно над другим (провода замкнуты). Каковы в этом случае краевые условия? Здесь $x=0$ и $x=l$ – это одна и та же точка. Естественно поэтому требовать, чтобы $y$ и $\partial y / \partial x$ были одинаковы для $x=0$ и для $x=l$. Таким образом, в этом случае мы имеем сушественно иные краевые условия, выражающие требование периодичности $y$ и $\partial y / \partial x$ по $x$ с периодом $l$ : Теорему об однозначности решения можно и в этом случае доказать точно так же, как для прежних граничных условий (2) и (3). Но характер движения при условиях (7) и (8) существенно другой. При этом переменные разделяются, и мы получаем два уравнения в полных производных. Метод разделения переменных – один из самых мошных способов решения уравнений в частных производРис. 154. ных. Уравнения в полных производных, получающиеся после разделения переменных, таковы: Если проделать то же самое для более общего случая (6), то получится вместо (11) уравнение Уравнение (10) сразу решается. В нем $\lambda$ должно быть таким, чтобы система (11), (12) удовлетворялась. Те значения параметра $\lambda$, для которых система (11), (12) имеет решение, отличное от нуля, называются характеристическими числами (или собственными значениями). Для них существенно то дополнительное условие, что а в случае уравнения (13) еще и $\sigma \geqslant 0$, Дифференуиальное уравнение для $\varphi$ можно записать иначе. Выражение, стояџее в левой части, получается в результате того, что мы производим над функцией $\varphi$ некоторую линейную операџию. Мы можем нанисать его в виде $L(\varphi)$, где $L$ – некоторый оператор: Можно далее отнести $q(x)$ в левую часть. Тогда уравнение (11) напишется так: Задача о нахождении чисел $\lambda$ часто формулируется так: нужно найти собственные значения оператора $L$. Все задачи волновой механики сводятся к определению собственных чисел и собственных функций тех или иных линейных операторов. Система линейных алгебраических уравнений также может быть записана с помоџью оператора. Пусть $y$-совокупность $n$ чисел, $A$ – оператор (ему соответствует некоторая матриџа). Тогда есть задача о решении системы линейньх уравнений с параметром $\lambda$. Такова задача о нахождении собственных частот дискретной системы. Операторная интерпретаџия задач о собственных значениях получила в настоящее время чрезвычайно широкое распространение. Возникла новая отрасль математики–операторное исчисление. Оно дает общие методы нахождения собственных значений и собственных функџий. Мы рассматриваем очень частный случай такой задачи. Продолжим наше исследование. Каков характер движеңия во времени? Если $\lambda<0$, то решения уравнения (10) будут вида $e^{ \pm \sqrt{1 \lambda \mid} t}$; если же $\lambda>0$, то решения этих уравнений будут содержать косинус и синус. Таким образом, вопрос о том, каков знак характеристического числа задачи Штурма – Лиувилля, имеет существенное значение. Оказывается, что эти характеристические числа всегда положительны, за исключением одного случая, когда одно из них равно нулю. В этом состоит первая основная теорема о собственных числах задачи Штурма- Лиувилля. Мы сегодня не будем ее доказывать. Отбросим пока случай, когда имеется характеристичеексе число $\lambda=0$, и примем, что все $\lambda>0$. Уравнение (10) имеет для данного частного значения $\lambda$ общее решение: причем Соответствующее движение будет Каждому значению $\lambda$ отвечает частное решение такого видагармоническое колебание, частота которого равна квадратному корню из взятого характеристического значения рассматриваемой проблемы Штурма-Лиувилля; соответствующее ему $\varphi(x)$ дает форму колебания, т. е. распределение амплитуды по $x$. Все возможные решения соответствуют гармоническим колебаниям с определенным периодом и определенной формой. В системе из дискретных масс было возможно некоторое конечное число $N$ гармонических колебаний с соответствующими амплитудами, меняющимися от точки к точке ${ }^{1}$. Здесь, как утверждает вторая теорема о собственных значения задачи Штурма Лиувилля, имеется бесконечное множество характеристических чисел: наша система способна колебаться с бесконечным набором возможных частот (существенное отличие от дискретной системы), которые образуют не континуум, а счетное множество. Это множество не имеет точек сгущения в конечном интервале: с ростом номера частота неограниченно растет. Можно задать номер частоты так, что она будет как угодно велика. Эту вторую теорему мы тоже не будем сегодня доказывать’. Заметим пока только следующее. Математическая теория строится так: сначала ставится вопрос о том, существуют ли характеристические числа, и доказывается, что всегда сушествует хотя бы одно, а затем уже из этого выводится, что их существует бесчисленное множество. Пусть мы нашли все $\lambda_{i}$ и все $\varphi_{i}(x)$, т. е. нашли $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots$ и $\varphi_{1}(x)$, $\varphi_{2}(x), \ldots$ Эти решения удовлетворяют дифференцильному уравнению и граничным условиям. Но чтобы решить поставленную задачу, нужно удовлетворить еще начальным условиям (4) и (5). Можем ли мы быть уверены, что всегда удастся припасовать решение так, чтобы при $t=0$ обращалось в $f(x)$, а $\partial y / \partial t$ в $F(x)$ ? В случае дискретных систем вопрос ставится совершенно так же. Мы имели частные решения вида Общее решение для $k$-той координаты было и требовалось, чтобы при $t=0 \quad y^{(k)}$ и $\partial y^{(k)} / \partial t$ принимали для каждого $k$ заданные значения. Эти начальные условия давали для $A_{i}$ и для $B_{i}$ по $N$ линейных уравнений. Задача припасования ряда (14) к начальным условиям сводилась к решению этих систем линейных уравнений. Детерминант системы отличен от нуля, поэтому такая система допускает одно и только одно решение. В случае распределенной системы имеются частные решения вида В силу линейности частным решением является также где $A_{i}$ и $B_{i}$ – постоянные. Если мы сложим ряд таких решений, то мы также получим решение. Это очевидно в случае конечного числа слагаемых. Предположим (пока что без обоснования), что это верно и для бесконечного числа слагаемых (мы действуем по аналогии). Итак, предположим, что мы имеем решение Если мы сможем подобрать $A_{i}$ так, что то этим мы удовлетворим первому начальному условию, а если мы сможем подобрать $B_{i}$ так, что то мы удовлетворим и второму начальному условию. В дискретных системах аналогичный вопрос был тривиальным, он сводился к решению системы линейных уравнений. Теперь же мы имеем дело не с конечными совокупностями величин, а с функџией. При этом появляются бесконечности двоякого рода: бесконечное число значений $x$ и бесконечное число членов ряда. Поэтому поставленный вопрос является трудным. Мы еще вернемся к нему, а пока заметим, что в частном случае, когда мы можем написать функции $\varphi_{i}(x)$ явно, а именно в частном случае однородного стержня (или однородной струны), закрепленного на конџах, Таким образом, вопрос о возможности разложения по собственным функциям сводится здесь к следуюшему: можно ли разложить произвольную функџию, удовлетворяющую граничным усло- виям, в ряд Фурье по синусам? Мы видим, что ряд Фурье – очень частный случай ряда по собственным функџиям задачи ШтурмаЛиувилля. То, что он сыграл такую исключительную роль, связано с физической проблемой однородной струны. Вернемся к общему случаю. Возьмем две фундаментальные функџии $\varphi_{i}(x)$ и $\varphi_{k}(x)$, относящиеся к двум различным характеристическим числам $\lambda_{i}$ и $\lambda_{k}$. Оказывается, что для них имеет место замечательное равенство: Если две функџии удовлетворяют такому соотношению, то говорят, что они ортогональны по отношению к функџии $q(x)$. В этом случае говорят об ортогональности с весом, в отличие от простой ортогональности: Для удобства часто вводят новую систему функџий: для которых имеет место простая ортогональность. Интеграл имеюџий, как мы увидим, вполне определенный физический смысл, заведомо не равен нулю. Заметим, что если фундаментальную функцию мы умножаем на постоянную, мы снова получаем фундаментальную функцию. Часто уславливаются брать такой множитель, чтобы было В этом случае говорят, что функция $\varphi_{i}(x)$ нормирована. Справа получится сумма, в которой ввиду свойства ортогональности (18) все интегралы равны нулю, за исключением того, который содержит $\varphi_{i}{ }^{2}(x)$. Так как функџии $\varphi_{i}(x)$ по предположению нормированы, то мы получаем: Если известны все фундаментальные функџии, то найти коэффиџиенты разложения не представляет трудностей. Таким образом, все как будто бы обстоит благополучно. Пусть в ряде (16) пропущена одна функџия. Ряд остается бесконечным. Но теперь он не может представить любую функџию $f(x)$. В самом деле, пусть $f(x)$ есть как раз забытая функџия из числа $\varphi_{i}(x)$. Тогда заведомо нельзя ее изобразить с помошью оставшегося ряда, так как он ортогонален к пропущенной функџии. В случае системы с конечным числом степеней свободы ясно, что посредством $N-1$ постоянных нельзя удовлетворить $N$ начальным условиям. Теперь у нас бесконечное число постоянных и бесконечное множество начальных значений, и не сразу ясно, можно ли им удовлетворить, выкинув одну постоянную: $\infty-1=\infty$. Мы видим, что переход к бесконечному числу постоянных ведет к новым постановкам задачи. По Бернулли же выходит, что такая форма струны, как на рис. 155, с одной стороны, может быть изображена с помошью тригонометрических функџий (1-й класс функџий по Эйлеру), а с другой стороны – это функция 2-го класса. На этом основании считали, что ее нельзя представить в виде одной функџии 1-го класса (одного аналитического выражения). Трудность может быть сформулирована так. Значеиие ряда (16) задается дискретным рядом величин (коэффиџиентов разложения), а нужно с их помощью представить функџии $f(x)$ для континуума значений $x$. Множество коэффнциентов счетное, а множество непрерывных функџий, так кажется, „гораздо больше“. Первое строгое обоснование разложения в ряд Фурье было дано Дирихле. Даже теперь неизвестны необходимые условия разложения в ряд Фурье. Но известны достаточные условия, и нас, физиков, они удовлетворяют. Доказательства, обосновывающие оба утверждения, тесно сплетаются, но принџипиально — это разные утверждения. Нужно ясно их разграничивать. Если ряд сходится, то этого еще недостаточно, чтобы обосновать те действия, носредством которых мы получаем формулу (20). Не всякий сходяшийся ряд можно интегрировать почленно. Ряд сходится для каждого $x$. Сумму $S_{n}$ первых $n$ его членов можно представить в виде При $n \rightarrow \infty$ второй член стремится к нулю и сумма стремится к $x$. Будем теперь интегрировать почленно, а затем суммировать. Мы получим, просуммировав, интегралы от $n$ первых членов: При $n \rightarrow \infty$ это выражение стремится к нулю, т. е. к пределу, отличному от (22). Этот пример показывает, что речь идет не о пустых придирках. Для того, чтобы сходящийся ряд можно было интегрировать почленно, достаточно, чтобы ряд сходился равнпмерно. Это означает следуюшее. Пусть Если ряд сходится, то при фиксированных $x$ для любого $\varepsilon>0$ можно найти такое $N$, что $\left|R_{n}\right|<\varepsilon$ при $n>N$. Но возможны два случая. Если бы для того, чтобы представить с хорошим приближением данную функцию, нужно было принимать во внимание очень высокие члены разложения, то наши результаты не имели бы большого физического интереса, так как на основании молекулярных соображений мы знаем, что число отдельных колебаний конечно. К счастью, это не так. Мы займемся далее конкретизаџией высказанных в этой лекџии результатов на определенных физических задачах, а затем вернемся к общим вопросам.
|
1 |
Оглавление
|