Для систем с двумя степенями свободы нам остается, во-первых, подвести некоторые итоги, во-вторых, разобрать вынужденные колебания и, наконед, разобрать вопрос о затухании колебаний.

В прошлый раз мы рассчитали до конџа простой пример двух связанных маятников. В общем случае өлектрической или механической системы, обозначая координаты через $x$ и $y$, мы имеем общее решение вида
\[
\begin{array}{l}
x=C_{1} \cos \left(\omega_{1} t+\alpha_{1}\right)+C_{2} \cos \left(\omega_{2} t+\alpha_{2}\right), \\
y=k_{1} C_{1} \cos \left(\omega_{1} t+\alpha_{1}\right)+k_{2} C_{2} \cos \left(\omega_{2} t+\alpha_{2}\right)
\end{array}
\]

Каждая координата совершает движение, которое может быть представлено, вообще говоря, как сумма двух гармонических колебаний с определенными периодами. В частности, система может колебаться с одним периодом (если $C_{1}=0$ или $C_{2}=0$ ). Эти особенные колебания с одним периодом называются нормальными. Величины $k_{1}$ и $k_{2}$ характеризуют распределение нормальных колебаний по координатам. Знание периодов существенно в вопросах резонанса. Укажем теперь примеры, на которых выяснилось, насколько важно для чисто технических вопросов знание также и величин $k_{1}$ и $k_{2}$.

Пусть система колеблется под действием внешнего источниқа колебаний. Если внешняя сила действует только на одну паруиальную систему, то тем не менее одновременно приходят в колебание обе. Если частота внешней силы значительно отличается от нормальных частот, то тип колебаний существенно другой, чем при нормальных колебаниях. Но пусть частота внешней силы очень близко подходит к $\omega_{1}$ или $\omega_{2}$. Тогда система начинает возбуждаться очень сильно (резонанс) и, кроме того, тип колебаний становится почти таким же, как при соответствующем нормальном колебании.

Физически речь может идти, например, о двух маятниках (рис. 86). Это-модель парохода с успокоителем качки ${ }^{1}$, или пловучего маяка (фонарь подвешен на буе).

Вот еще система с двумя степенями свободы: колокол и язык (рис. 106). В 70 -х годах прошлого века наблюдался случай, когда очень большой колокол не звонил. Постараемся понять, в чем здесь дело. Для того, чтобы сильно раскачать колокол, его тянут с одним из собственных периодов. Тип колебания приблизительно такой же, как при собственных колебаниях.
Рис. 106.
Пусть $k_{1}=1$. Это значит, что вблизи резонанса $x=y$. Колокол отклоняется так же, как и язык. Они колеблются как целое, и язык не ударяет в колокол.

Для того, чтобы колокол или пловучий маяк правильно действовали, нужно, чтобы было $y=0$, т. е. $k_{1}=0$ ( $y$-отклонение языка или фонаря). Но в связанной системе никогда не бывает $k_{1}=0$ : идеально успокоить фонарь невозможно. Чтобы обойти эту трудность, делают фонарь с очень большим собственным шериодом. Здесь мы возвращаемся к уже известному нам случаю действия силы с коротким периодом на систему с очень длинным собственным периодом ${ }^{2}$.

Обратимся снова к вопросу о взаимодействии между паруиальными системами. Мы знаем, что здесь возможны два существенно различных случая – слабой и сильной „связанности“. Если парџиальные системы расстроены и связь мала, то в первом приближении каждая из них колеблется „сама по себе“. Если частоты
${ }^{1}$ [См. 27-ю лекџию.]
2 [См. 20-ю лекџию.]

парџиальных систем совпадают, сильное взаимодействие будет и при сколь угодно слабой связи.

Вопрос о взаимодействии при слабой связи интересен и получил решаюшее значение в теории возмущений. Для того, чтобы понять, в чем тут дело, напишем снова уравнения связанных маятников:
\[
\begin{array}{l}
\ddot{\varphi}_{1}+n_{1}^{2} \varphi_{1}=\frac{\lambda}{I_{1}} \varphi_{2} ; \\
\ddot{\varphi}_{2}+n_{2}^{2} \varphi_{2}=\frac{\lambda}{I_{2}} \varphi_{1} .
\end{array}
\]

Если бы во втором уравнении справа стояла заданная функџия времени, то для второй парџиальной системы была бы задача о вынужденных колебаниях системы с одной степенью свободы. Эту задачу мы уже рассматривали. Но в действительности мы не знаем $\varphi_{1}(t)$, ибо $\varphi_{1}$ связана таким же уравнением с $\varphi_{2}$, как $\varphi_{2}$ с $\varphi_{1}$. Поэтому здесь нужна новая теория.

Вначале встречались такого рода недоумения. Если мы сначала пустим первую систему, то она должна колебаться со своим собственным периодом и на вторую систему будет действовать периодическая сила с частотой $n_{1}$. Между тем по теории должно быть две частоты. Откуда взялась вторая частота?

Парадокс получался только потому, что не умели правильно решать задачу. Существование двух частот вполне естественно и с физической точки зрения: если первое движение возбуждает второе, то оно изменяется под действием этого второго движения. Сила, действуюшая на $\varphi_{2}$, уменьшается по амплитуде, а сила с переменной амплитудой – это уже не синусообразная сила.

Но есть ли случаи, когда применимы рассуждения, сводящие задачу о связанных колебаниях на задачу о вынужденных? Если они есть, то в таких случаях удобно решать задачу, как задачу о вынужденных колебаниях. (Например, радиопередатчик на 100 квт и приемник образуют связанную систему, но здесь наверное можно считать, что приемник совершает колебания под действием заданной внешней силы.)

В нашем случае линейной системы задачу о связанных колебаниях можно свести приближенно к задаче о вынужденных колебаниях тогда, когда связь мала и есть сильная расстройка между парџиальными системами ( $k_{1}|\ll| k_{2} \mid$ ). При этом можно положить
\[
x=\cos ()_{1} t
\]

( $x$ колеблется почти так, как будто второй координаты нет). Случай, когда связь мала по отношению к расстройке, соответствует слабой связанности в нашем смысле.

Можно показать, что и при совпадении парџиальных частот, т. е. когда $n_{1}=n_{2}$, если связь слабая, такой способ рассмотрения допустим в первое, начальное время после того, как пустили первый маятник (второй вначале покоится), т. е. в течение определенного числа периодов, зависящего от связи. Это время тем меньше, чем больше связь. Здесь нельзя забывать, что с течением времени наступает полная перекачка энергии.

До сих пор затухание не учитывалось. Пусть теперь имеется затухание и такое, что колебання затухнут раньше, чем успеет произойти заметная перекачка энергии. Тогда и при настройке парџиальных систем ( $n_{1}=n_{2}$ ) мы получим все, что нужно, сводя задачу о связанных колебаниях на задачу о вынужденных колебаниях.

Разумеется, как угодно малая расстройка физически не может играть никакой роли в теории связанных колебаний. В окончательном результате не может иметь значения, являются ли парџиальные системы тождественными или слегка различными. Как теперь известно, эту точку зрения нельзя переносить в теорию атомных явлений. Там мы имеем основание говорить об особых случаях полной тождественности двух систем. Вне наших возможностей не допустить различия двух макроскопических систем хотя бы на один атом. В макроскопических системах точное число атомов не может играть роли. Но когда речь идет об одном атоме, дело. обстоит иначе. Различие между тождественностью и нетождественностью системы имеет в волновой механике важный физический смысл.

Возьмем связанную систему (рис. 107). Как выделить нормальные колебания на опыте? С помощью волномера (при очень слабой связи между волномером и исследуемой системой) можно разделить колебания с частотами $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$; но если они близки, то раздельный прием очень труден. Свяжем, однако, с исследуемой системой две катушки так, как показано на рис. 107. Тогда ток $I$ будет линейной комбинаџией координат $x$ и $y$ :
\[
I=s_{1} x+s_{2} y .
\]

Если мы подберем коэффиџиенты трансформаџии $s_{1}$ и $s_{2}$ так, ұтобы было $s_{1}+s_{2} k_{1}=0$, т. е. $s_{1} / s_{2}=-k_{1}$, то в токе $I$ будет
отсутствовать частота $\omega_{1}$, и мы физически осушествим в дополнительной цепи вторую нормальную координату. Аналогичным образом мы можем физически осуществить первую нормальную координату.

В теории колебаний встречается џелый класс задач следующего типа. Дана система с такими-то частотами и такими-то распределениями амплитуд. Изменим параметры системы. Как изменятся при этом частоты и распределения?

Вообще говоря, для новых значений параметров нужно заново решать всю задачу о нахождении частот и распределений. Но часто бывает так, что параметры изменены очень мало, и тогда, в первом приближении, можно узнать, как меняются частота и распределение без сложных вычислений.
Рис. 107.
Такой подход характерен для теории возмушений. Проиллюстрируем его на простом примере системы с двумя степенями свободы. Напишем снова:
\[
\begin{array}{l}
U=a x^{2}+2 h x y+b y^{2}, \\
T=A \dot{x}^{2}+2 H \dot{x} \dot{y}+B \dot{y}^{2} .
\end{array}
\]

Отбросим точки в выражении для $T$, обозначим
\[
\frac{y}{x}=\zeta
\]

и составим отношение полученных таким образом выражений:
\[
\frac{a+2 h \xi+b \xi^{2}}{A+2 H \xi+B \xi^{2}} \text {. }
\]

Мы доказали, что максимальное и минимальное значения этой функџии от $\xi$ получаются соответственно при $\xi=\zeta_{1}$ и $\xi=\xi_{2}$ и равны квадратам нормальных частот ${ }^{1}$.

Пусть теперь немного изменился один из параметров, входящий в $T$ или $U$. Изменятся нормальные частоты и отношения $\xi_{1}$ и $\xi_{2}$. Утверждение состоит в следующем: чтобы найти с точностью. до величин второго порядка относительно изменения параметра новый максимум выражения (1), нужно подставить в него прежнее $\xi_{1}$.
${ }^{1}$ [См. 24-ю лекџию.]

Докажем это. Будем менять, скажем, параметр $\boldsymbol{a}$ и рассматривать $\omega_{1}^{2}$ как функџию параметра $a$ и величины $\xi_{1}$ :
\[
\omega_{1}^{2}=f(a, \xi),
\]

причем $\xi=\xi(a)$, т. е.
\[
\omega_{1}^{2}=f[a, \xi(a)] .
\]

Если меняется параметр $a$, то меняется и $\omega_{1}^{2}$, причем в первом порядке:
\[
\Delta \omega_{1}^{2}=\frac{\partial f}{\partial a} \Delta a+\frac{\partial f}{\partial \xi} \frac{d^{\zeta}}{d a} \Delta a,
\]

где производную $\frac{\partial f}{\partial \xi}$ нужно брать при неизмененных параметрах и подставить в нее старое значение $a$.

Но при старом значении $a$ подстановка значения $\xi=\xi_{1}$ обращает величину $\omega_{1}^{2}$ в максимум, и потому
\[
\frac{\partial f}{\partial \xi}=0, \Delta \omega_{1}^{2}=\frac{\partial f}{\partial a} \Delta a .
\]

Изменение $\xi$ выпадает.
Для того, чтобы пояснить математическую сторону дела, приведем следуюший пример: возьмем функџию
\[
x^{2}+a x
\]

и изменим параметр $a$. При этом изменяется значение $x$, даюшее экстремум функџии. Но если $a$ изменяется на малую величину первого порядка, то значение $x$, соответствуюшее өкстремуму, остается прежним с точностью до величин второго порядка.

Только что указанный простой способ нахождения изменения частот имеет одно очень важное исключение. Это-случай, когда в исходной системе нет связи и обе частоты совпадают:
\[
n_{1}^{2}=\frac{a}{A}=n_{2}^{2}=\frac{b}{B},
\]

а возмущение заключается в том, что вводится малая связь.
Если мы захотим применить общий способ, мы должны будем подставить в выражение (1) для возмущенной системы значения $\xi$ в невозмущенной системе. Но чему считать равным өто $\xi$ ? Неизвестно. В исходной системе $\xi$ может иметь какие угодно значения. Так решать задачу нельзя.

Но легко доказать следующее. Если
\[
\frac{a}{A}=\frac{b}{B},
\]

то при наличии связи
\[
\xi_{1}=-\xi_{2}, \quad \xi_{1}=\sqrt{\frac{a}{b}},
\]

а раз мы нашли $\xi_{1}$ и $\xi_{2}$, то очень просто найти обычным путем нормальные частоты как максимум и минимум выражения (1). Здесь также есть исключительный случай-тот, когда
\[
\frac{h}{H}=\frac{a}{A} .
\]

Но тогда и при возмущении попрежнему нет связи.
Случай, когда две тождественные системы с одной степенью свободы, сначала не связанные, приходят в слабую связь, имеет в теории возмущений большое значение. При этом всегда наступает полная перекачка энергии. К этому случаю применим только что указанный способ расчета.

Перейдем к вопросу о действии внешней периодической силы на систему с двумя степенями свободы. Вернемся к уравнениям Лагранжа:
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{i}}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_{i}}=Q_{i} .
\]

Если обобщенные силы $Q_{i}$ содержат, помимо слагаемых $Q_{i}^{\prime}$, имеющих потенџиальную энергию:
\[
Q_{i}^{\prime}=-\frac{\partial U}{\partial q_{i}},
\]

еще слагаемые $Q_{i}^{\prime \prime}$, происходящие от внешних воздействий, уравнения принимают вид
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{i}}\right)+\frac{\partial(U-T)}{\partial q_{i}}=Q_{i}^{\prime \prime} .
\]

Пусть система имеет две степени свободы и пусть на координаты $x$ и $y$ действуют синусоидальные силы с частотой $p$ (например, рис. 108). Тогда мы получаем уравнения движения:
\[
\left.\begin{array}{l}
A \ddot{x}+H \ddot{y}+a x+h y=X \cos p t ; \\
H \ddot{x}+B \ddot{y}+h x+b y=Y \cos p t .
\end{array}\right\}
\]

Будем искать решение в виде
\[
\begin{array}{l}
x=\alpha \cos p t \\
y=\beta \cos p t .
\end{array}
\]

Подставляя эти формулы в дифференџиальные уравнения, получаем для $\alpha$ и $\beta$ систему алгебрапческих уравнений:
\[
\left.\begin{array}{l}
\left(a-A p^{2}\right) \alpha+\left(h-H p^{2}\right) \beta=X ; \\
\left(h-H p^{2}\right) \alpha+\left(b-B p^{2}\right) \beta=Y .
\end{array}\right\}
\]

Из них мы определим амплитуды обеих координат при действии внешней силы. При собственном колебании детерминант должен был равняться нулю. Из этого условия мы определяли нормальные частоты. При любом $p$, таком, что детерминант системы отличен от нуля, система (4) имеет решение. При этом однородные уравнения не имеют решения.

Напишем решения неоднородных уравнений в виде отношения детермиРис. 108. нантов:
\[
\chi=\frac{1}{\Delta}\left|\begin{array}{ll}
X & h-H p^{2} \\
Y & b-B p^{2}
\end{array}\right|, \quad \beta=\frac{1}{\Delta}\left|\begin{array}{ll}
a-A p^{2} & X \\
h-H p^{2} & Y
\end{array}\right|,
\]

где
\[
\Delta=\left|\begin{array}{ll}
a-A p^{2} & h-H p^{2} \\
h-H p^{2} & b-B p^{2}
\end{array}\right| .
\]

Здесь возникает ряд вопросов, чуждых системе с одной степенью свободы.

Пусть $Y=0, X
eq 0$ (сила действует только на первую парџиальную систему). Тогда
\[
\beta=-\frac{X\left(h-H p^{2}\right)}{\Delta} .
\]

Пусть теперь сила действует только на вторую парџиальную систему: $X=0, Y
eq 0$. При этом
\[
\alpha=-\frac{Y\left(h-H p^{2}\right)}{\Delta} .
\]

Мы получили замечательное свойство-свойство, далеко идущее и очень общее: если на вторую координату действует сила $Y=1$, то движение первой координаты – такое же, как движение второй координаты, когда на первую будет действовать сила $X=1$. Это-знаменитая теорема взаимности. Она справедлива для систем с любым числом степеней свободы, и-в соответствуюшим образом измененной формулировке – для сплошных систем. Она широко применяется в радиотехнике и в оптике.

Я укажу на одно ее применение в беспроволочной телеграфии. Имеются две радиостанџии $A$ и $B$ с какими угодно антеннами. Пусть один раз стандия $A$ передает, а $B$ принимает, а в другой раз $B$ передает, а $A$ принимает. Теорема взаимности утверждает, грубо говоря, что станџия $A$ так же принимает станџию $B$, как станџия $B$ принимает станџию $A$. Если в направлении $B$ станџия $A$ передает сильнее, то она и принимает сильнее колебания, приходящие из направления $B$. Это отнюдь не само собой понятно. Это связано с линейностью уравнений. Вот тривиальный пример, когда это перестает быть справедливым. Пусть антенна станџии $A$ перегружается, в ней пробивается изоляџия. Тогда станџия $B$ принимать не будет, а станџия $A$ попрежнему хорошо принимает станџию $B$. Это происходит потому, что нарушается линейность: когда происходит пробой, ток не растет пропорџионально напряжению, проводник не подчиняется закону Ома.

Ионизированные слои атмосферы не подчиняются линейным зависимостям. При достаточно больших амплитудах они должны дать нарушение взаимности, но я не думаю, чтобы это легко было обнаружить на опыте ${ }^{1}$.
Вернемся к формулам (5) и (6).
Пусть $p$ приближается к $\omega_{1}$ или $\omega_{2}$. При этом
\[
\Delta \rightarrow 0, \alpha \rightarrow \infty, \beta \rightarrow \infty .
\]

Получаются два положения резонанса. При приближении к резонансу начинает играть роль затухание, но если мы захотим его учесть, то нам нужно будет решать чрезвычайно громоздкие уравнения.

Затухание приводит к тому, что при резонансе получается чрезвычайно большая, но конечная амплитуда. Для многих вопросов достаточно знать, при каких частотах имеет место резонанс. На өтот вопрос уравнения (5) часто дают достаточно правильный
${ }^{1}$ [Нелинейные явления в ионосфере (Люксембург-Горьковский эффект) были впервые замечены в 1933 r.]

ответ. Важно подчеркнуть, что система отвечает особенно сильно на две частоты.
Рассмотрим теперь очень спеџифический случай. Пусть
\[
Y=0, \quad p=\sqrt{\frac{b}{B}}=n_{2}
\]
(внешняя сила действует только на первую парџиальную систему. Ее частота равна частоте второй парџиальной системы). В этом случае получаем согласно (5)
\[
\alpha=0 \text {. }
\]

Таким образом, если на парџиальную систему $x$ действует сила с частотой, равной собственной частоте парциальной системы $y$, то в координате $x$ колебание не возбуждается. Это имеет очень важное практическое значение для электрических фильтров и успокоителей механических колебаний, например устройств для успокоения качки корабля.