Главная > Л.И.МАНДЕЛЬШТАМ. ТОМ IV
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Мы видели, что функџия, удовлетворяющая дифференџиальному уравнению и граничным условиям задачи Штурма-Лиувилля, удовлетворяет также определенному интегральному уравнению. Это верно также, если положить λ=0; мы имеем в этом случае статическую задачу, решением которой является функџия
φ(x)=0lV(x,ξ)g(ξ)dξ.

Более общий класс интегральных уравнений получится, если не ограничивать функцию V(x,ξ) тем условием, что она есть функџия Грина некоторой задачи.

Мы займемся однородным интегральным уравнением, т. е. положим:
g(ξ)=0,

и приведем ядро к симметричному виду, вводя функџию
ψ(x)=q(x)φ(x).

Новое симметричное ядро мы обозначим через K(x,ξ), т. е.
K(x,ξ)=V(x,ξ)q(x)q(ξ).

Новое уравнение запишется так:
ψ(x)=λ0lK(x,ξ)ψ(ξ)dξ.

Мы знаем, что если ядро построено указанным способом из функции Грина, то интегральное уравнение обладает бесконечным множеством собственных значений и собственных функцй. Существует теорема, которую мы примем без доказательства: всякое интегральное уравнение с симметричным ядром обладает по крайней мере одним собственным значением и соответствуюшей собственной функџией. В случае несимметричного ядра может оказаться, что интегральное уравнение не имеет ни одного решения.

Рассмотрим пример Ковалевского. Пусть ядро симметрично и имеет вид
K(x,ξ)=sinπxsinπξ

Пусть, кроме того, l=1. Тогда уравнение будет
ψ(x)=λ01sinπxsinπξψ(ξ)dξ.

Такое ядро, которое можно представить как произведение вида
f1(x)f2(ξ)

называется вырожденным. В нашем примере ядро вырождено и
ψ(x)=λsinπx01ψ(ξ)sinπξdξ=cλsinπx,

где c — постоянная.
Подставляя это выражение для ψ в интегральное уравнение, находим:
1λ=01sin2πξdξ=12

откуда следует, что λ=2.
Возьмем теперь несимметричное ядро
K(x,ξ)=sinπxcosπξ.

Повторяя прежнее вычисление, находим:
1λ01sinπξcosπξdξ=0

Таким образом, уравнение не имеет собственного значения и единственное решение — тривиальное:
ψ=0.

Пусть в рассматриваемой задаче имеется не меньше двух собственных значений. Тогда
ψm(x)=λm0lK(x,ξ)ψm(ξ)dξ,ψn(x)=λn0lK(x,ξ)ψn(ξ)dξ,

причем λmeqλn. Покажем, что ес.и ядро симметрично, то функџии ψm и ψn ортогональны. Умножая (2) на λnψn, а (3) — на λmψm, вычитая и интегрируя по x от 0 до l, находим:
(λnλm)0lψm(x)ψn(x)dx==λmλn0l0lK(x,ξ)[ψm(ξ)ψn(x)ψm(x)ψn(ξ)]dξdx.

Меняя в последнем члене x и ξ местами, получим при симметричном ядре:
(λnλm)0lψm(x)ψn(x)dx=0,
т. е. функции ψm и ψn ортогональны. Ясно, что это условие ортогональности совпадает с ранее выведенным для функџий φ :
0lq(x)φm(x)φn(x)dx=0.

В задаче Штурма-Лиувилля каждому собственному значению соответствует одна и только одна собственная функция. В общем случае в интегральном уравнении данному собственному значению могут соответствовать n линейно независимых собственных функций (например, в случае мембран и пластин). Ясно, что наше доказательство ортогональности не годится для функций, соответствующих одному и тому же собственному значению. Вообще говоря, различные собственные функџии, соответствующие одному и тому же собственному значению, не ортогональны, но так как они линейно независимы, систему өтих функџий всегда можно ортогонализировать. Легке убедиться в этом на примере функџий ψ1 и ψ2. Пусть они не ортогональны. Можно всегда выбрать постоянные a и b так, чтобы функџии
ψ¯1=a1ψ1+b1ψ2,ψ¯2=a2ψ˙1+b2ψ2

были ортогональны и нормированы, т. е. чтобы было
0lψ¯12(x)dx=1,0lΨ22(x)dx=1,0lψ¯1(x)ψ¯2(x)dx=0.

Поэтому мы всегда будем считать, что система фундаментальных функций ортогональна и нормирована. В общем случае ограниченного симметричного ядра одному собственному значению может соответствовать больше одной собственной функции, но число их при этом всегда конечное.
Мы знаем, что общее решение в случае струны имеет вид
y(x,t)=iφi(x)(Aicosλit+Bisinλit).

Оно представляет собою сумму всех возможных колебаний. Если даны начальнье распределения смещений и скоростей, то колебание определено условиями:
y(x,0)=iAiφi(x)=f(x),y(x,0)t=iBiλiφi(x)=F(x).

Еслй функџии f(x) и F(x) могут быть разложены в ряды по собственным функциям задачи, то коэффиџиенты разложения дают амплитуды колебаний. Следовательно, вопрос заключается в возможности разложения любой функџии в равномерно сходяџийся ряд по собственным функциям задачи. Докажем, что это всегда возможно. Мы будем оперировать с функџиями ψi, так как разложение можно умножить на q(x) :
iAiψi(x)=f(x)q(x)iBiλiψi(x)=F(x)q(x).

Пусть ядро симметричное. Мы выберем некоторую спеџиальную функцию и допустим, что ее можно разложить в ряд по собственным функциям. Мы покажем, что в таком случае можно разложить в ряд по собственным функџиям также произвольную функџию. В качестве спедиальной функџии мы возьмем ядро интегрального уравнения
K(x,ξ)=c1ψ1(x)+c2ψ2(x)+

Так как по предположению ряд сходится равномерно, то его можно интегрировать почленно:
0lK(x,ξ)ψk(x)dx=0lψk(x)[c1ψ1(x)+c2ψ2(x)+].

В силу ортогональности собственных функций разного номера и условия нормировки
0lψk2(x)dx=1

имеем:
ck=0lK(x,ξ)Ψk(x)dx.

Но из интегрального уравнения зидно, что интеграл равен
ψk(ξ)λi

Следовательно,
ck=ψ(ξ)λk

и
K(x,ξ)=ψ1(x)ψ1(ξ)λ1+ψ2(x)ψ2(ξ)λ2+

Выражение в правой части называется билинейной формой нашего интегрального уравнения. Докажем, что если она сходится равномерно, то она непременно представляет ядро. (Мы только предположили, а не доказали, что ряд (6) сходится равномерно. Вообще, нельзя доказать, что всякое ядро может быть разложено таким образом.)
Образуем разность
g(x,ξ)=K(x,ξ)iψi(x)ψi(ξ)λi.

Ясно, что g(x,ξ) есть непрерывная и симметричная функџия x и ξ. Следовательно, если мы образуем однородное интегральное уравнение с ядром g(x,ξ), то это уравнение обладает по крайней мере одним собственным значением и одним нетривиальным решением:
χ(x)=μ0lg(x,ξ)χ(ξ)dξ.

Покажем, что решение этого уравнения χ(x) ортогонально ко всем функциям ψk(x).
Умножая уравнение (8) на ψk(x) и интегрируя, получаем:
0lψk(x)χ(x)dx=μ0lχ(ξ)[0lK(x,ξ)ψk(x)dx0liψi(x)ψi(ξ)λiψk(x)dx]dξ.

Изменив порядок суммирования и интегрирования в последнем члене (это можно сделать, так как ряд сходится равномерно), мы получаем в силу ортогональности ψi и ψk(ieqk), что он равен
ψk(ξ)λk

Но первый член в силу исходного интегрального уравнения тоже равен
Ψk(ξ)λk

Значит,
0lψk(x)χ(x)dx=0
т. е. функџия χ(x) ортогональна ко всем функџиям ψi(x).

Покажем теперь, что функџия χ(x) является собственной функцией исходного интегрального уравнения, образованного с помощью ядра K(x, द̧).
Действительно,
χ(x)=μ0lg(x,ξ)χ(ξ)dξ==μ0lK(x,ξ)χ(ξ)dξμ0liψi(x)ψi(ξ)λiχ(ξ)dξ.

Но в силу ортогональности χ(x) ко всем ψi(x), последний интеграл есть нуль. Следовательно, χ(x) действительно есть собственная функџия ядра K(x,ξ).

Но тогда χ(x) есть одна из функџий ψi(x). Так как она ортогональна ко всем ψi(x), то она ортогональна к самой себе, и мы пришли к противоречию. Следовательно, уравнение
(8) не имеет собственной функџии, а это возможно только, если
g(x,ξ)=0,
т. е.
K(x,ξ)=iψi(x)ψi(ξ)λi.

Докажем теперь, что если ядро может быть представлено билинейной формой в согласии с уравнением (9), то всякая функция, порождаемая ядром, т. е. всякая функџия f(x), которая может быть представлена в виде
f(x)=0lK(x,ξ)h(ξ)dξ,

может быть разложена в равномерно сходящийся ряд по собственным функџиям ядра.
Действительно, умножая (9) на h(ξ) и интегрируя, получаем
f(x)=0lK(x,ξ)h(ξ)dξ=0liψi(x)ψi(ξ)λih(ξ)dξ.

Если функџия h(ξ)-ограниченная, то ряд, стояџий справа, равномерно сходится, и, следовательно,
f(x)=iψi(x)0iψi(ξ)h(ξ)λidξ,

или
f(x)=iciψi(x)

где
ci=0lψi(ξ)h(ξ)λidξ.

Таким образом, функция f(x) действительно может быть разложена в равномерно сходящийся ряд по функџиям ψi(x).

1
Оглавление
email@scask.ru