Мы видели, что функџия, удовлетворяющая дифференџиальному уравнению и граничным условиям задачи Штурма-Лиувилля, удовлетворяет также определенному интегральному уравнению. Это верно также, если положить $\lambda=0$; мы имеем в этом случае статическую задачу, решением которой является функџия
\[
\varphi(x)=\int_{0}^{l} V(x, \xi) g(\xi) d \xi .
\]

Более общий класс интегральных уравнений получится, если не ограничивать функцию $V(x, \xi)$ тем условием, что она есть функџия Грина некоторой задачи.

Мы займемся однородным интегральным уравнением, т. е. положим:
\[
g(\xi)=0,
\]

и приведем ядро к симметричному виду, вводя функџию
\[
\psi(x)=\sqrt{q(x)} \varphi(x) .
\]

Новое симметричное ядро мы обозначим через $K(x, \xi)$, т. е.
\[
K(x, \xi)=V(x, \xi) \sqrt{q(x) q(\xi)} .
\]

Новое уравнение запишется так:
\[
\psi(x)=\lambda \int_{0}^{l} K(x, \xi) \psi(\xi) d \xi .
\]

Мы знаем, что если ядро построено указанным способом из функции Грина, то интегральное уравнение обладает бесконечным множеством собственных значений и собственных функцй. Существует теорема, которую мы примем без доказательства: всякое интегральное уравнение с симметричным ядром обладает по крайней мере одним собственным значением и соответствуюшей собственной функџией. В случае несимметричного ядра может оказаться, что интегральное уравнение не имеет ни одного решения.

Рассмотрим пример Ковалевского. Пусть ядро симметрично и имеет вид
\[
K(x, \xi)=\sin \pi x \sin \pi \xi
\]

Пусть, кроме того, $l=1$. Тогда уравнение будет
\[
\psi(x)=\lambda \int_{0}^{1} \sin \pi x \sin \pi \xi \psi(\xi) d \xi .
\]

Такое ядро, которое можно представить как произведение вида
\[
f_{1}(x) f_{2}(\xi)
\]

называется вырожденным. В нашем примере ядро вырождено и
\[
\psi(x)=\lambda \sin \pi x \int_{0}^{1} \psi(\xi) \sin \pi \xi d \xi=c \lambda \sin \pi x,
\]

где $c$ — постоянная.
Подставляя это выражение для $\psi$ в интегральное уравнение, находим:
\[
\frac{1}{\lambda}=\int_{0}^{1} \sin ^{2} \pi \xi d \xi=\frac{1}{2}
\]

откуда следует, что $\lambda=2$.
Возьмем теперь несимметричное ядро
\[
K(x, \xi)=\sin \pi x \cos \pi \xi .
\]

Повторяя прежнее вычисление, находим:
\[
\frac{1}{\lambda} \int_{0}^{1} \sin \pi \xi \cos \pi \xi d \xi=0 \text {. }
\]

Таким образом, уравнение не имеет собственного значения и единственное решение — тривиальное:
\[
\psi=0 .
\]

Пусть в рассматриваемой задаче имеется не меньше двух собственных значений. Тогда
\[
\begin{array}{l}
\psi_{m}(x)=\lambda_{m} \int_{0}^{l} K(x, \xi) \psi_{m}(\xi) d \xi, \\
\psi_{n}(x)=\lambda_{n} \int_{0}^{l} K(x, \xi) \psi_{n}(\xi) d \xi,
\end{array}
\]

причем $\lambda_{m}
eq \lambda_{n}$. Покажем, что ес.и ядро симметрично, то функџии $\psi_{m}$ и $\psi_{n}$ ортогональны. Умножая (2) на $\lambda_{n} \psi_{n}$, а (3) — на $\lambda_{m} \psi_{m}$, вычитая и интегрируя по $x$ от 0 до $l$, находим:
\[
\begin{array}{c}
\left(\lambda_{n}-\lambda_{m}\right) \int_{0}^{l} \psi_{m}(x) \psi_{n}(x) d x= \\
=\lambda_{m} \lambda_{n} \int_{0}^{l} \int_{0}^{l} K(x, \xi)\left[\psi_{m}(\xi) \psi_{n}(x)-\psi_{m}(x) \psi_{n}(\xi)\right] d \xi d x .
\end{array}
\]

Меняя в последнем члене $x$ и $\xi$ местами, получим при симметричном ядре:
\[
\left(\lambda_{n}-\lambda_{m}\right) \int_{0}^{l} \psi_{m}(x) \psi_{n}(x) d x=0,
\]
т. е. функции $\psi_{m}$ и $\psi_{n}$ ортогональны. Ясно, что это условие ортогональности совпадает с ранее выведенным для функџий $\varphi$ :
\[
\int_{0}^{l} q(x) \varphi_{m}(x) \varphi_{n}(x) d x=0 .
\]

В задаче Штурма-Лиувилля каждому собственному значению соответствует одна и только одна собственная функция. В общем случае в интегральном уравнении данному собственному значению могут соответствовать $n$ линейно независимых собственных функций (например, в случае мембран и пластин). Ясно, что наше доказательство ортогональности не годится для функций, соответствующих одному и тому же собственному значению. Вообще говоря, различные собственные функџии, соответствующие одному и тому же собственному значению, не ортогональны, но так как они линейно независимы, систему өтих функџий всегда можно ортогонализировать. Легке убедиться в этом на примере функџий $\psi_{1}$ и $\psi_{2}$. Пусть они не ортогональны. Можно всегда выбрать постоянные $a$ и $b$ так, чтобы функџии
\[
\begin{array}{l}
\bar{\psi}_{1}=a_{1} \psi_{1}+b_{1} \psi_{2}, \\
\bar{\psi}_{2}=a_{2} \dot{\psi}_{1}+b_{2} \psi_{2}
\end{array}
\]

были ортогональны и нормированы, т. е. чтобы было
\[
\int_{0}^{l} \bar{\psi}_{1}^{2}(x) d x=1, \int_{0}^{l} \Psi_{2}^{2}(x) d x=1, \int_{0}^{l} \bar{\psi}_{1}(x) \bar{\psi}_{2}(x) d x=0 .
\]

Поэтому мы всегда будем считать, что система фундаментальных функций ортогональна и нормирована. В общем случае ограниченного симметричного ядра одному собственному значению может соответствовать больше одной собственной функции, но число их при этом всегда конечное.
Мы знаем, что общее решение в случае струны имеет вид
\[
y(x, t)=\sum_{i} \varphi_{i}(x)\left(A_{i} \cos \sqrt{\lambda_{i}} t+B_{i} \sin \sqrt{\lambda_{i}} t\right) .
\]

Оно представляет собою сумму всех возможных колебаний. Если даны начальнье распределения смещений и скоростей, то колебание определено условиями:
\[
\begin{array}{l}
y(x, 0)=\sum_{i} A_{i} \varphi_{i}(x)=f(x), \\
\frac{\partial y(x, 0)}{\partial t}=\sum_{i} B_{i} \sqrt{\lambda_{i}} \varphi_{i}(x)=F(x) .
\end{array}
\]

Еслй функџии $f(x)$ и $F(x)$ могут быть разложены в ряды по собственным функциям задачи, то коэффиџиенты разложения дают амплитуды колебаний. Следовательно, вопрос заключается в возможности разложения любой функџии в равномерно сходяџийся ряд по собственным функциям задачи. Докажем, что это всегда возможно. Мы будем оперировать с функџиями $\psi_{i}$, так как разложение можно умножить на $\sqrt{q(x)}$ :
\[
\begin{array}{c}
\sum_{i} A_{i} \psi_{i}(x)=f(x) \sqrt{q(x)} \\
\sum_{i} B_{i} \sqrt{\lambda_{i}} \psi_{i}(x)=F(x) \sqrt{q(x)} .
\end{array}
\]

Пусть ядро симметричное. Мы выберем некоторую спеџиальную функцию и допустим, что ее можно разложить в ряд по собственным функциям. Мы покажем, что в таком случае можно разложить в ряд по собственным функџиям также произвольную функџию. В качестве спедиальной функџии мы возьмем ядро интегрального уравнения
\[
K(x, \xi)=c_{1} \psi_{1}(x)+c_{2} \psi_{2}(x)+\ldots
\]

Так как по предположению ряд сходится равномерно, то его можно интегрировать почленно:
\[
\int_{0}^{l} K(x, \xi) \psi_{k}(x) d x=\int_{0}^{l} \psi_{k}(x)\left[c_{1} \psi_{1}(x)+c_{2} \psi_{2}(x)+\ldots\right] .
\]

В силу ортогональности собственных функций разного номера и условия нормировки
\[
\int_{0}^{l} \psi_{k}^{2}(x) d x=1
\]

имеем:
\[
c_{k}=\int_{0}^{l} K(x, \xi) \Psi_{k}(x) d x .
\]

Но из интегрального уравнения зидно, что интеграл равен
\[
\frac{\psi_{k}(\xi)}{\lambda_{i}} \text {. }
\]

Следовательно,
\[
c_{k}=\frac{\psi(\xi)}{\lambda_{k}}
\]

и
\[
K(x, \xi)=\frac{\psi_{1}(x) \psi_{1}(\xi)}{\lambda_{1}}+\frac{\psi_{2}(x) \psi_{2}(\xi)}{\lambda_{2}}+\ldots
\]

Выражение в правой части называется билинейной формой нашего интегрального уравнения. Докажем, что если она сходится равномерно, то она непременно представляет ядро. (Мы только предположили, а не доказали, что ряд (6) сходится равномерно. Вообще, нельзя доказать, что всякое ядро может быть разложено таким образом.)
Образуем разность
\[
g(x, \xi)=K(x, \xi)-\sum_{i} \frac{\psi_{i}(x) \psi_{i}(\xi)}{\lambda_{i}} .
\]

Ясно, что $g(x, \xi)$ есть непрерывная и симметричная функџия $x$ и $\xi$. Следовательно, если мы образуем однородное интегральное уравнение с ядром $g(x, \xi)$, то это уравнение обладает по крайней мере одним собственным значением и одним нетривиальным решением:
\[
\chi(x)=\mu \cdot \int_{0}^{l} g(x, \xi) \chi(\xi) d \xi .
\]

Покажем, что решение этого уравнения $\chi(x)$ ортогонально ко всем функциям $\psi_{k}(x)$.
Умножая уравнение (8) на $\psi_{k}(x)$ и интегрируя, получаем:
\[
\begin{array}{c}
\int_{0}^{l} \psi_{k}(x) \chi(x) d x=\mu \int_{0}^{l} \chi(\xi)\left[\int_{0}^{l} K(x, \xi) \psi_{k}(x) d x-\right. \\
\left.-\int_{0}^{l} \sum_{i} \frac{\psi_{i}(x) \psi_{i}(\xi)}{\lambda_{i}} \psi_{k}(x) d x\right] d \xi .
\end{array}
\]

Изменив порядок суммирования и интегрирования в последнем члене (это можно сделать, так как ряд сходится равномерно), мы получаем в силу ортогональности $\psi_{i}$ и $\psi_{k}(i
eq k)$, что он равен
\[
\frac{\psi_{k}(\xi)}{\lambda_{k}} \text {. }
\]

Но первый член в силу исходного интегрального уравнения тоже равен
\[
\frac{\Psi_{k}(\xi)}{\lambda_{k}} \text {. }
\]

Значит,
\[
\int_{0}^{l} \psi_{k}(x) \chi(x) d x=0
\]
т. е. функџия $\chi(x)$ ортогональна ко всем функџиям $\psi_{i}(x)$.

Покажем теперь, что функџия $\chi(x)$ является собственной функцией исходного интегрального уравнения, образованного с помощью ядра $K(x$, द̧).
Действительно,
\[
\begin{array}{c}
\chi(x)=\mu \int_{0}^{l} g(x, \xi) \chi(\xi) d \xi= \\
=\mu \int_{0}^{l} K(x, \xi) \chi(\xi) d \xi-\mu \int_{0}^{l} \sum_{i} \frac{\psi_{i}(x) \psi_{i}(\xi)}{\lambda_{i}} \chi(\xi) d \xi .
\end{array}
\]

Но в силу ортогональности $\chi(x)$ ко всем $\psi_{i}(x)$, последний интеграл есть нуль. Следовательно, $\chi(x)$ действительно есть собственная функџия ядра $K(x, \xi)$.

Но тогда $\chi(x)$ есть одна из функџий $\psi_{i}(x)$. Так как она ортогональна ко всем $\psi_{i}(x)$, то она ортогональна к самой себе, и мы пришли к противоречию. Следовательно, уравнение
(8) не имеет собственной функџии, а это возможно только, если
\[
g(x, \xi)=0,
\]
т. е.
\[
K(x, \xi)=\sum_{i} \frac{\psi_{i}(x) \psi_{i}(\xi)}{\lambda_{i}} .
\]

Докажем теперь, что если ядро может быть представлено билинейной формой в согласии с уравнением (9), то всякая функция, порождаемая ядром, т. е. всякая функџия $f(x)$, которая может быть представлена в виде
\[
f(x)=\int_{0}^{l} K(x, \xi) h(\xi) d \xi,
\]

может быть разложена в равномерно сходящийся ряд по собственным функџиям ядра.
Действительно, умножая (9) на $h(\xi)$ и интегрируя, получаем
\[
f(x)=\int_{0}^{l} K(x, \xi) h(\xi) d \xi=\int_{0}^{l} \sum_{i} \frac{\psi_{i}(x) \psi_{i}(\xi)}{\lambda_{i}} h(\xi) d \xi .
\]

Если функџия $h(\xi)$-ограниченная, то ряд, стояџий справа, равномерно сходится, и, следовательно,
\[
f(x)=\sum_{i} \psi_{i}(x) \int_{0}^{i} \frac{\psi_{i}(\xi) h(\xi)}{\lambda_{i}} d \xi,
\]

или
\[
f(x)=\sum_{i} c_{i} \psi_{i}(x)
\]

где
\[
c_{i}=\int_{0}^{l} \frac{\psi_{i}(\xi) h(\xi)}{\lambda_{i}} d \xi .
\]

Таким образом, функция $f(x)$ действительно может быть разложена в равномерно сходящийся ряд по функџиям $\psi_{i}(x)$.