§ 13. Теорема Гаусса

В предыдущем параграфе мы выяснили, чему равен ротор электростатического поля. Теперь найдем дивергенцию поля. С этой целью рассмотрим поле точечного заряда q и вычислим поток вектора Е через замкнутую поверхность 5, заключающую в себе заряд (рис. 13.1). В § 5 мы показали, что количество линий вектора Е, начинающихся на точечном заряде или заканчивающихся на заряде —q, численно равно

Согласно формуле (11.10) поток вектора Е через любую замкнутую поверхность равен числу линий, выходящих наружу, т. е. начинающихся на заряде, если он положителен, и числу линий, входящих внутрь, т. е. оканчивающихся на заряде, если он отрицателен. Учтя, что количество начинающихся или оканчивающихся на точечном заряде линий численно равно , можно написать, что

Знак потока совпадает со знаком заряда q. Размерность обеих частей равенства (13.1) одинакова.

Теперь допустим, что внутри замкнутой поверхности находятся N точечных зарядов . В силу принципа суперпозиции напряженность Е поля, создаваемого всеми зарядами, равна сумме напряженностей создаваемых каждым зарядом в отдельности: Поэтому

Каждый из интегралов, стоящих под знаком суммы, равен Следовательно,

(1.3.2)

Доказанное нами утверждение носит название теоремы Гаусса. Эта теорема гласит, что поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на

При рассмотрении полей, создаваемых макроскопическими зарядами (т. е. зарядами, образованными огромным числом элементарных зарядов), отвлекаются от дискретной (прерывистой) структуры этих зарядов и считают их распределенными в пространстве непрерывным образом с конечной всюду плотностью.

Рис. 13.1.

Объемная плотность заряда определяется по аналогии с плотностью массы как отношение заряда к физически бесконечно малому объему в котором заключен этот заряд:

В данном случае под физически бесконечно малым объемом нужно понимать такой объем, который, с одной стороны, достаточно мал для того, чтобы плотность в пределах его можно было считать одинаковой, а с другой стороны, достаточно велик для того, чтобы не могла проявиться дискретность заряда.

Зная плотность заряда в каждой точке пространства, можно найти суммарный заряд, заключенный внутри замкнутой поверхности S. Для этого нужно вычислить интеграл от по объему, ограниченному поверхностью:

Таким образом, формуле (13.2) можно придать вид

Заменив в соответствии с. (11.41) поверхностный интеграл объемным, получим

Соотношение, к которому мы пришли, должно выполняться для любого произвольно выбранного объема V. Это возможно лишь в том случае, если значения подынтегральных функций в каждой точке пространства одинаковы. Следовательно, дивергенция вектора Е связана с плотностью заряда в той же точке равенством

Это равенство выражает теорему Гаусса в дифференциальной форме.

В случае текущей жидкости дает удельную мощность источников жидкости в данной точке. По аналогии говорят, что заряды являются источниками электрического поля.