2.2. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ ДЛЯ НЕПОЛНЫХ ДАННЫХ

Пусть X — -матрица, в которой строка содержит фиксированные значения факторов для объекта. Например, для плана с двумя наблюдениями в ячейке и уровнями факторов, обозначенных 0, 1,

Предполагается, что для выходной переменной верна линейная модель

где независимо и одинаково распределены с нулевым средним и одинаковой дисперсией оцениваемый параметр — вектор длины Оценка наименьших квадратов равна:

если имеет полный ранг и не определена в противном случае. Если невырождена, то несмещенная оценка с минимальной дисперсией. Если распределены нормально, В — оценка максимального правдоподобия распределенная нормально со средним и дисперсией

Наилучшей несмещенной оценкой является

где Если нормальны, то имеет распределение хи-квадрат с степенями свободы. Наилучшая несмещенная оценка ковариационной матрицы равна:

Если распределены нормально, то диагональный элемент имеет распределение Стьюдента с степенями свободы, многомерное распределение Стьюдента с параметром масштаба

Гипотезу о равенстве всех элементов некоторого множества линейных комбинаций от координат нулю проверяют, вычисляя

сумму квадратов, относящуюся к этому множеству. Точнее, пусть С - -матрнца, определяющая линейных комбинаций участвующих в проверке. Тогда сумма квадратов, относящаяся к линейным комбинациям, равна:

Проверку гипотезы проводят, сравнивая

Если распределены нормально, то в (2.6) есть критерий отношения правдоподобий для гипотезы если при этом гипотеза верна, то F имеет распределение Снедекора с степенями свободы: независимые случайные величины, распределенные по степенями свободы. Доказательства приведенных результатов можно найти в книгах по регрессионному анализу, например в [Draper and Smith (1981); Weisberg (1980)]. Как указано в этих книгах, при неортогональных планах может потребоваться аккуратная интерпретация этих критериев, например критерий для набора эффектов по А в модели с эффектами по А, по В и эффектами взаимодействия требует, чтобы фактор А был скорректирован на фактор В и взаимодействия.

Традиционные планы экспериментов выбирают так, чтобы легко и точно проводить оценивание и проверку гипотез. В частности, матрица обычно легко обратима, а значит, легко вычисляются и сумма квадратов, относящаяся к заданному набору линейных комбинаций 0, например к эффектам обработок и эффектам блоков. Как правило, эти величины вычисляются по данным путем простого усреднения наблюдений и их квадратов. Эта простота может играть важную роль при изучении нескольких факторов с оцениванием большого числа параметров, поскольку при этом может иметь большие размеры. Обращение больших матриц было особенно обременительным до появления современного программного обеспечения, но и сейчас еще может создавать затруднения при некоторых вычислениях, если велико (например, более 50).