2.5. МЕТОД БАРТЛЕТА

2.5.1. Полезные свойства метода Бартлета

Метод Бартлета имеет следующие полезные свойства. Во-первых, он неитеративный, и, следовательно, снимается вопрос о сходимости. Во-вторых, если структура пропусков обладает вырожденностью (например, в том случае, когда нельзя оценить некоторые параметры, как при отсутствии всех значений для какой-то обработки), этот метод «предупреждает» исследователя, тогда как итеративные методы приводят к ответу, возможно, недопустимому. Еще одно достоинство заключается в том, что метод, как указано выше, дает не только правильные оценки и остаточные суммы квадратов, но и верные стандартные ошибки, суммы квадратов, F-критерии.

2.5.2. Обозначения

Допустим, что каждый пропуск заполняется начальным значением, чтобы вектор значений К был полон. Обозначим начальные значения Пусть их -матрица современных пропусков: первая строка равна строка равна (), а все при равны так как они соответствуют присутствующим При ковариационном анализе используется и для предсказания Аналогично (2.1) моделью для теперь является

где у — вектор-столбец из коэффициентов регрессии для современных пропусков. Остаточная сумма квадратов, минимизируемая по равна:

По определению

2.5.3. Оценки параметров и пропущенных значений Y

Как и ранее, пусть правильная оценка наименьших квадратов полученная в (2.2) по присутствующим значениям, т. е. по последним строкам Она минимизирует вторую сумму в (2.8). Но если при положить где

то будет минимизирована и обратится в нуль первая сумма в (2.8), так что

Значит, минимизирует и является оценкой наименьших квадратов получаемой из модели ковариационного анализа (2.7). Уравнение (2.9) означает также, что точная оценка наименьших квадратов отсутствующего значения т. е. есть или в словесной формулировке:

В работе Бартлета все приравниваются по этому методу нулю, однако с вычислительной точки зрения использование в качестве общего среднего более привлекательно и дает точную сумму квадратов отклонений от среднего.

2.5.4. Оценки остаточной суммы квадратов и ковариационной матрицы

Уравнение (2.10) означает, что остаточная сумма квадратов, получаемая по методу Бартлета, совпадает с точной суммой квадратов. Число степеней свободы, соответствующее этой остаточной сумме квадратов, равно что также верно. Следовательно, остаточный средний квадрат вычислен точно и равен Если ковариационная матрица полученная этим методом, будет равна вычисленному в (2.4) по объектам с присутствующими то все стандартные ошибки, суммы квадратов и критерии значимости также будут правильны. Оценка ковариационной матрицы получаемая при применении этого метода, равна оценке среднего квадрата остатков умноженной на верхнюю левую подматрицу матрицы которую мы обозначим Так как оценка среднего квадрата остатков правильна, нам нужно лишь показать, что это сумма перекрестных произведений для X по объектам с присутствующими Из матричной алгебры

По определению

и

Из

Но

поэтому (2.15) равно а в соответствии с (2.12)

так что ковариационной матрице получаемой при исключении объектов с пропуском что и требовалось для завершения доказательства, что метод, основанный на ковариационном анализе, дает для всех статистик решения, соответствующие решениям по методу наименьших квадратов.