4.2. РАНДОМИЗАЦИОННЫЕ ВЫВОДЫ ДЛЯ ПОЛНЫХ ДАННЫХ

Допустим, что требуется сделать выводы о популяции, состояшей из объектов или индивидуумов, и пусть где представляет вектор из к признаков для объекта Определим для объекта индикаторную функцию:

и

Пусть множество Процесс извлечения выборки можно характеризовать распределением при заданном Например, простой случайный выбор при выборке объема определяется распределением

где — число сочетаний, в которых единиц можно извлечь из популяции.

При простом случайном выборе определение того, какие единицы выбирать, не опирается на априорную информацию о популяции. В более эффективных планах такая информация используется, если она доступна. Например, может оказаться, что популяция разделима на слои (страты), в которых объекты относительно однородны. Тогда можно проводить расслоенный (стратифицированный) случайный выбор. Из слоя с единицами извлекают путем простого случайного выбора объектов. В итоге получается выборка с объемом В более общем случае используется матрица в которой строка представляет информацию об объекте, известную до начала обследования и используемую в плане обследования. Например, при расслоенном выборе -указывает слой, к которому относится объект. Выборочное распределение в таких планах определяется условным распределением I при заданных которое мы будем обозначать

Рандомизационные выводы в общем случае требуют, чтобы объекты извлекались путем случайного выбора, который характеризуется следующими двумя свойствами:

1) выборочное распределение задается исследователем до того, как станет известно хотя бы одно значение у. Точнее, так как распределение не может зависеть от неизвестных значений Y, которые надо получить в обследовании;

2) для каждого объекта существует положительная (известная) вероятность извлечения. Обозначим для всех При равновероятном плане выбора, таком, как простой случайный выбор, эта вероятность одинакова для всех объектов.

Цель состоит в оценивании характеристик конечной популяции, таких, как среднее переменной Y, выборочными величинами, такими, как выборочное среднее. Выводы основываются на распределении выборочных величин при повторном выборе из распределения Подробное описание рандомизационных выводов можно найти в книгах по теории выборочных обследований, например в [Cochran (1977), Hansen, Hurwitz and Madow (1953)]. Вкратце: при построении выводов о параметре популяции совершают следующие шаги:

а) выбирают статистику функцию выборочных значений которая представляет собой (приближенно) несмещенную при повторном выборе оценку Например, если среднее популяции, то может быть выборочным средним у, которое является несмещенной оценкой У при равновероятном выборе;

б) выбирают статистику которая является (приближенно) несмещенной оценкой дисперсии для повторного выбора. Например, можно показать, что для простого случайного выбора дисперсия выборочного среднего есть

где дисперсия значений в популяции. Статистика

где дисперсия значений У в выборке — несмещенная оценка при простом случайном выборе;

в) вычисляют интервальную оценку предполагая, что распределено приближенно нормально со средним и дисперсией Например, -ный доверительный интервал для У при простом случайном выборе дается выражением

где 1,96 — процентиль 97,5% нормального распределения. Нормальное приближение выполняется в силу центральной предельной теоремы для конечной популяции [Hajek (1960)].

Отметим, что при таком построении значения считаются фиксированными. Привлекательной чертой рандомизационного подхода является то, что не требуется задавать модель для значений в популяции, хотя для (4.2) нужно, чтобы распределение в популяции обеспечивало применимость нормального приближения при выборке объема из популяции объема

При другом подходе к построению выводов о параметрах конечной популяции, кроме выборочного распределения, определяют модель для Y, часто в виде плотности с неизвестным параметром в. Эта модель используется затем для предсказания значений у, не попавших в выборку. Например, среднее популяции можно оценить как

где — ожидаемое значение у, для данной модели, в которой в заменено на оценку в, такую, как среднее апостериорного распределения если задана байесовская модель. Мы обсудим этот подход в приложении к выборочным обследованиям в гл. 12.