2.2. СОСТОЯТЕЛЬНОСТЬ ММП-ОЦЕНОК

В задаче оценивания будем считать, что параметрическое семейство, доминированное мерой с соответствующим семейством плотностей Как и в книге, далее предполагается, что не зависит от в.

Для каждой структуры пропусков определим соответствующую маргинальную плотность:

где интегрирование ведется по компонентам вектора отсутствующим в соответствии с Напомним, что индекс аргумента маргинальной плотности опущен.

Обобщение метода максимального правдоподобия на случай данных с пропусками приводит к оценке максимального «маргинального правдоподобия» (ОММП):

Для выборки наблюдений с пропусками равна

Покажем теперь, что при выполнении некоторых условий ММП-оценка обладает асимптотическими свойствами, которые проявляет обычная ОМП. Обозначим истинное значение оцениваемого параметра, соответствующее распределению X,. Укажем сначала на свойство сильной состоятельности ОММП в весьма слабых условиях регулярности.

Усдрвие И. Для любого найдется такая структура пропусков что на множестве таком, что

Приведем несколько примеров, в которых выполняется условие идентифицируемости И.

1. При оценивании параметров многомерного нормального распределения условие выполняется, если вероятность совместного наблюдения переменных в любой из попарных комбинаций больше нуля. к

2. Оценивание параметров смеси к распределений по неклассифицированной выборке можно рассматривать как задачу обработки данных с пропусками (у каждого наблюдения пропущен индекс класса). Условие И выполняется, если смесь идентифицируема, т.е. если заданное распределение однозначно определяет число классов к, веса и параметры каждого класса (определение см., например, в [Патрик (1980); Миленький (1975)]). Таким образом, значения переменной могут полностью отсутствовать в выборке, однако параметры, определ яющие ее распределение, могут быть состоятельно оценены, как параметр распределения индекса класса в данном примере.

3. Вероятность появления полностью комплектного наблюдения больше нуля, выполняется условие ОПС, в при Это самое распространеннное условие (см. [Бурлаков (1979); Titterington, Jiang (1983)]).

Обозначим метрику в

Условие непрерывна по на множестве

Условие Для всех для которых существует такое что

(по умолчанию область интегрирования —

Условие J налагает ограничения на маргинальные плотности для всех возможных структур пропусков. Следующее условие проще, предъявляется только к полной плотности и влечет за собой выполнение условия для всех существует такое что

Теорема 1. Если выполняются условия компакт, то ОММП в случае выборки наблюдений с пропусками сильно состоятельна.

Доказательства теорем 1,3 и 4 (при условии содержатся в [Никифоров (1987)], их формулировки в насятощем дополнении следуют [Никифоров (1989)]. Теорема 1 соответствует одному из вариантов в [Боровков (1984), раздел 2.27], обобщенному на случай пропусков.