2.7. ОЦЕНКИ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ СТАНДАРТНЫХ ОШИБОК И СУММ КВАДРАТОВ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ

Верные оценки наименьших квадратов стандартных ошибок и сумм квадратов с одной степенью свободы можно получить с помощью простого обобщения методов из раздела 2.6.

Пусть (где С — вектор из констант) — линейная комбинация с оценкой полученная в результате дисперсионного анализа по данным, заполненным по методу наименьших квадратов. Поскольку были подставлены оценки наименьших квадратов пропущенных значений, то значит, верная оценка наименьших квадратов Стандартная ошибка X, полученная с помощью дисперсионного анализа по полным данным, равна:

а сумма квадратов, относящаяся к X, есть

Правильная стандартная ошибка согласно разделу 2.5.4 представляет собой

а правильная сумма квадратов, относящаяся к X, —

Пусть вектор оценок X, полученных с помощью дисперсионного анализа для полных данных, при котором в качестве зависимой переменной вместо берут каждую из современных пропусков, т. е. в матричных обозначениях

Ясно, что можно вычислять одновременно с компоненту и строку В получают из анализа для сопеременной пропусков. Теория ковариационного анализа или матричная алгебра вместе с результатами из раздела 2.5.4 позволяют получить

Выражения (2.17), (2.19), (2.21), (2.22) и равенство

означают, что можно просто выразить с помощью результатов, традиционно вычисляемых при дисперсионном анализе для полных данных:

Аналогично (2.18), (2.20) с и (2.22) означают, что можно также просто выразить

Пример 2.2. Уточнение стандартных ошибок при заполненных пропусках (продолжение примера 2.1). Чтобы применить описанный метод, требуется раз провести дисперсионный анализ для полных данных: первый раз — для заполненного начальными значениями Y, по одному разу для каждой сопеременной и, наконец, для заполненного по методу наименьших квадратов Следуя [Rubin (1976а)], рассмотрим данные из табл. 2.1 и линейную комбинацию, соответствующую сравнению обработок 1 и 2. В принятой в примере 2.1 параметризации блочно-диагональная матрица в которой верхняя левая подматрица диагональна с элементами, равными 3. Тогда X — просто разность среднего трех наблюдений для обработки 1 и среднего трех наблюдений для обработки 2 со стандартной ошибкой, соответствующей полным данным, равной и суммой квадратов

Как в примере 2.1, сначала оценим оба пропуска общим средним и получим остатки и верную общую сумму квадратов

При для пропуска будем подставлять 1, а для всех остальных значений и проводить анализ получаемой сопеременной пропусков с помощью программы дисперсионного анализа для полных данных. Пусть вектор остатков, соответствующий пропускам, и оценка исследуемой линейной комбинации параметров. Тогда как указано в примере и, следовательно,

Теперь заполним пропуски оценками наименьших квадратов, найденными в примере 2.1 (7,8549, 7,9206), и проведем дисперсионный анализ по заполненным данным. Получаем оценку Из (2.23) получаем правильную стандартную ошибку X:

а из (2.24) — правильную сумму квадратов, относящуюся к