6.4. МОНОТОННЫЕ СТРУКТУРЫ ДАННЫХ В МНОГОМЕРНОМ СЛУЧАЕ

Методы, описанные в разделах 6.2 и 6.3, можно легко обобщить для монотонных структур данных, изображенных на рис. 6.1, где для каждого наблюдения ухприсутствует, если присутствует так что наблюдается больше, чем который наблюдается больше, чем Мы рассмотрим только МП-оценивание, а точность оценивания можно анализировать, непосредственно обобщая методы из раздела 6.3.

Рис. 6.1. Схематическое представление данных с монотонной структурой

Подходящая для данной структуры факторизация такова:

где условное распределение при заданных зависящее от параметра Если распределены по многомерному нормальному закону, то нормальное распределение со средним, линейным по и с постоянной дисперсией. При обычном параметрическом пространстве для без

ограничений раздельны и, значит, МП-оценки получаются с помощью регрессии на определяемой по наблюдениям, у которых присутствуют все

Пример 6.4. переменных, пропуски в одной переменной. В простом, но важном обобщении примера заменяется на множество К полностью наблюдаемых переменных, так что получается структура данных, как на рис. 1.3. В результате мы имеем частный случай монотонных данных с при К переменных. МП-оценки равны:

где -векторы средних, вектор коэффициентов регрессии для множественной регрессии на ковариационные -матрицы, построена по всем значениям построена по значениям для которых наблюдается МП-оценка соответствует заполнению пропусков с помощью МП-оценок множественной регрессии на

Оценка (6.17) является ОМП, если есть -мерные нормально распределенные независимые случайные величины, а данные ОС. Более того, (6.17) есть ОМП, если данные ОС и

1) при заданном распределен нормально со средним и дисперсией

2) распределение тобое распределение, для которого: а) -оценка среднего апраздельны с параметрами этого распределения.

Важный частный случай связан с регрессией на фиктивные переменные, в которой это К фиктивных переменных, указывающих одну из групп, при этом компонента равна 1, когда наблюдение относится к группе, и равна нулю в противном случае. Для наблюдения из группы для наблюдения группы для наблюдения из группы и для наблюдшая из группы группу часто называют контрольной.

При этом соглашении вектор, состоящий из пропорций числа наблюдений выборки в первых К группах, соответствующий вектор ожидаемых пропорций и условие 2 выполнено. Условие 1 эквивалентно предположению, что все значения в группе к нормальны со средним и дисперсией

По свойствам регрессии на фиктивные переменные предсказываемое значение для наблюдения из группы к — среднее присутствующих значений в группе k. Следовательно, ОМП соответствует заполнению пропусков внутригрупповыми средними — одному из видов заполнения средними, который мы обсуждали в гл. 4, посвященной анализу данных с пропусками в выборочных обследованиях.

Пример 6.5. Монотонные многомерные нормальные данные. МП-оценивание по монотонным данным с численно иллюстрируется в работе [Marini, Olsen and Rubin (1980)] на данных опроса 4352 человек. Структура этих данных, отображенная в табл. 1.2, не монотонна. Однако, как указано в гл. 1, можно получить монотонную структуру, удаляя часть данных, например данные с индексом в табл. 1.2. В результате получается монотонная структура (см. рис. 6.1) с . В предположении нормальности МП-оценки среднего и ковариационной матрицы переменных можно найти с помощью следующей процедуры:

1) вычислить по всем наблюдениям вектор средних и ковариационную матрицу для полностью присутствующих переменных блока 1;

2) вычислить по наблюдениям, в которых присутствуют значения переменных блока 1 и блока 2, многомерную линейную регрессию для переменных блока 2;

3) вычислить по наблюдениям с присутствующими переменными блоков 1—3 многомерную линейную регрессию переменных блока 3 на переменные блоков 1 и 2;

4) вычислить по наблюдениям, в которых присутствуют все переменные, многомерную линейную регрессию переменных блоков 4 на переменные блоков 1—3.

ОМП средних и ковариационной матрицы для всех переменных можно получить как функции оценок параметров, найденных в пунктах 1—4. Подробное обсуждение вычислений, включая применение мощного SWEEP-оператора, отложено до раздела 6.5. Результаты приведены в табл. 6.3.

В первом столбце дано название переменных. Следующие два столбца содержат МП-оценки средних и стандартных отклонений каждой переменной. В остальной части таблицы сравниваются оценки, полученные двумя другими способами оценивания.

(см. скан)

(см. скан)

Оценки метода доступных наблюдений — это выборочные средние и стандартные отклонения по всем наблюдениям с присутствием данной переменной (см. раздел 3.3). В двух столбцах после оценок — величина различия между ОМП и оценками метода доступных наблюдений в процентах от стандартного отклонения. Оценки метода доступных наблюдений близки к ОМП, что указывает на неплохие качества этого метода. Однако этот метод не рекомендуется для измерения связи (например, с помощью коэффициентов ковариации или регрессии), как указано в гл. 3.

В последних четырех столбцах даны и сравниваются оценки, построенные по 1594 полным наблюдениям, т. е. методом полных наблюдений, описанным в гл. 3. Оценки среднего, полученные по этому методу, могут заметно отличаться от ОМП. Например, оценка среднего выпускного балла на 0,35 стандартного отклонения больше МП-оценки. Это означает, что студенты, не обследованные в дальнейшем, имели балл ниже среднего.