2.6. ОЦЕНКИ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ ДЛЯ ПРОПУЩЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ МЕТОДОМ СОПЕРЕМЕННЫХ С ПОМОЩЬЮ ПРОЦЕДУР ДЛЯ ПОЛНЫХ ДАННЫХ

Изложенная теория, связывающая дисперсионный анализ для полных данных с ковариационным анализом для неполных данных, представляла бы только академический интерес, если бы требовалось специальное программное обеспечение. Мы опишем, как реализовать вычисление оценок наименьших квадратов пропущенных значений по методу сопеременных, используя лишь программы дисперсионного анализа для полных данных и программу обращения симметричной матрицы (для последней цели можно применять оператор, описанный в разделе 6.5). В разделе 2.7 дается обобщение метода, позволяющее вычислять верные стандартные ошибки и суммы квадратов для гипотез «с одной степенью свободы». Обоснование будет строиться на результатах для ковариационного анализа. Непосредственное алгебраическое доказательство содержится в [Rubin (1972)].

Согласно теории ковариационного анализа вектор -у можно переписать так:

где - матрица перекрестных произведений для остатков сопеременных пропусков после коррекции на матрицу плана вектор взаимных произведений и остатков сопеременных. Если В вырождена, значит, структура пропусков такова, что мы пытаемся оценить параметры, которые невозможно оценивать, например влияние обработки, когда все наблюдения для этой обработки отсутствуют. Итак, требуется: 1) вычислить по

программам дисперсионного анализа для полных данных; 2) обратить В, чтобы вычислить -у по (2.16); 3) вычислить по (2.11) значения для пропусков.

Чтобы найти Вид, надо сначала провести дисперсионный анализ для сопеременной первого пропуска, т. е. в качестве зависимой переменной использовать не Y, а первый столбец в котором все числа — нули, за исключением одной единицы, соответствующей первому пропуску. Остатки для пропусков, полученные в результате, составят первую строку В. Будем повторять анализ для сопеременной, в которой все нули, кроме единицы, соответствующей пропуску, определяют остатки для пропусков в качестве строки В. Вектор вычислим, проводя дисперсионный анализ для по реальным данным вместе с начальными значениями Остатки для пропущенных значений составят вектор

Эти процедуры работают в силу следующих причин: элемент В равен:

где присутствующее и подобранное при дисперсионном анализе по X для сопеременной значения для -го объекта. Для всех переменных X в матрице плана вследствие элементарных свойств оценок наименьших квадратов. Отсюда так как фиксированная линейная комбинация переменных для -го объекта. Следовательно,

— остаток сопеременной для пропуска, поскольку если и если . Аналогично компонента это сумма по всем объектам остатков (с подставленными начальными значениями), умноженная на остаток сопеременной. Из выкладок, подобных только что приведенным, следует, что это просто остаток сопеременной.

Пример 2.1. Оценка пропущенных значений в плане с рандомизированными блоками. Следующий пример с рандомизированными блоками взят из [Cochran and Сох (1957), с. III; Rubin (1972, 1976b)]. Допустим, что отсутствуют два значения, как показано в табл. 2.1. Примем модель (2.1) с семимерным параметром состоящим из пяти параметров — средних для пяти обработок и

двух параметров для эффектов блоков. Средний квадрат остатков формируется по взаимодействию обработка — блок с степенями свободы при отсутствии пропусков.

Таблица 2.1. (см. скан) Значения показателя прочности хлопкового волокна в эксперименте с рандомизированными блоками

Подставляя вместо пропусков общее среднее находим остатки для ячейки , и для ячейки . Следовательно, Вычислим также точную общую сумму квадратов:

Взяв для и, единицу, а для остальных объектов — нули, найдем, что остаток для ячейки и, равен 0,5333, а для он составляет 0,0667. Аналогично, взяв единицу для найдем остатки: 0,0667 — для для Отсюда

Оценки наименьших квадратов для пропущенных значений следующие:

Итак, оценки наименьших квадратов равны соответственно 7,8549 и 7,9206. Оценки наименьших квадратов для пропусков, данные Кокреном и Коксом, были получены итеративно и совпадают с нашими значениями.

Оценки параметров, основанные на анализе заполненных данных, будут совпадать с оценками наименьших квадратов. Например, верными оценками средних по обработкам будут просто средние по обработкам присутствующих и подставленных значений (7,9283, 8,0533, 7,8069, 7,5133, 7,4500). Далее, будет получена верная остаточная сумма квадратов, а значит, и верный остаточный средний квадрат если из числа степеней свободы остатков вычесть число пропусков Однако в общем случае суммы квадратов и стандартные ошибки будут неверными.