1.5. ОДНОМЕРНЫЕ ВЫБОРКИ С ПРОПУСКАМИ

Возможно, простейшей структурой данных является одномерная случайная выборка с пропусками. Пусть у, означает значение признака У для объекта. Предположим, что в простой случайной выборке объема присутствуют и пропущены . В этом примере обработка данных с пропусками, очевидно, сводится к уменьшению объема выборки с до Мы можем обработать сокращенную выборку так же, как обработали бы полную выборку объема Например, если мы предполагаем

нормальность распределения и хотим получить выводы о среднем, то можно оценить его выборочным средним по присутствующим значениям, а дисперсию оценить величиной где выборочная дисперсия по присутствующим значениям. Поступая так, мы фактически игнорируем механизм порождения пропусков.

Этот механизм пренебрежим для одномерной выборки, если пропуски случайны в том смысле, что наблюдаемые объекты являются случайной подвыборкой объектов выборки. Если вероятность того, что присутствует, зависит от значения то механизмом пропусков пренебрегать нельзя, и анализ по сокращенной выборке, не учитывающий это, ведет к смещениям.

Пример 1.3. Случайное цензурирование одномерной нормальной выборки. Данные на рис. 1.1 показывают важность учета процесса, приводящего к пропускам. Рис. 1.1а представляет диаграмму «стебель с листьями» (stem and leaf), т. е. гистограмму, отражающую значение каждого наблюдения, выборки объема 100 из стандартного нормального распределения. Выборочное среднее — оценка среднего популяции (равного нулю) по этой выборке равна — 0,03. Рис. 1.16 представляет подвыборку, полученную из начальной выборки независимым исключением объектов с вероятностью 0,5. Вероятность исключения не зависит от значения у, следовательно, получаемая выборка объема случайная подвыборка, ее выборочное среднее, —0,11, может использоваться как несмещенная оценка среднего популяции.

Рис. 1.1в и 1.1 г иллюстрируют неигнорируемые механизмы пропусков. На рис. 1.1 в из начальной выборки удалены неотрицательные значения, т. е.

где индикатор пропуска. Вероятность присутствия зависит от у. Результаты обычных методов анализа с игнорированием механизма пропусков в таких данных в общем случае смещены. Например, средневыборочное, —0,89, — явно заниженная оценка среднего. Такой механизм пропусков называют цензурированием: значения цензурируются сверху (или справа) в точке нуль.

Рис. 1.1 г отображает случайное цензурирование, когда вероятность присутствия лежит между единицей и нулем и равна где функция стандартного нормального распределения. Вероятность увеличивается с ростом поэтому большинство присутствующих значений отрицательно. Механизмом пропусков снова нельзя пренебрегать. Средневыборочная оценка систематически занижает среднее популяции.

(кликните для просмотра скана)

Теперь предположим, что мы столкнулись с неполной выборкой такого типа, как на рис. 1.1 в или 1.1 г, и хотим оценить среднее популяции. Если способ цензурирования известен, применяются методы с введением поправок к средневыборочному, которые устраняют смещение, возникающее при формировании выборки. Эти методы обычно основаны на методе максимального правдоподобия. Если же способ цензурирования неизвестен, задача намного труднее. Принципиальным указанием на то, что механизм пропусков неигнорируем, является асимметрия наблюдаемой выборки, противоречащая предположению, что исходная выборка извлечена из (симметричного) нормального распределения. Если мы убеждены, что нецензурированная выборка имеет симметричное распределение, то можно использовать эту информацию для поправок на смещение, применяя, например, метод максимального правдоподобия. С другой стороны, если статистик плохо представляет себе форму нецензурированного распределения, то он не способен сказать, являются ли данные цензурированной выборкой из симметричного распределения или случайной подвыборкой из асимметричного распределения. В первом случае средневыборочное — смещенная оценка среднего популяции, во втором — несмещенная.

Пример 1.4. Пример 1.3 в приложении к историческим данным о росте людей. Уочтер и Трасел [см. Wachter and Trussell (1982)] дают любопытную иллюстрацию этой задачи, связанную с оценкой роста людей в прошлом. Распределение роста в «исторических» популяциях представляет значительный интерес, поскольку несет информацию о питании, а, значит, косвенно и об уровне жизни. Большая часть информации содержится в данных о росте призывников в армию. Выборки цензурировались, поскольку часто использовались ограничения на минимальный рост. Ограничения соблюдались с различной строгостью в зависимости от наличия призывников и потребности в них. Поэтому типичное наблюдаемое распределение роста имеет вид незаштрихованной гистограммы на рис. 1.2, заимствованном из [Wachter and Trussell (1982)]. Заштрихованная область представляет рост людей, исключенных из выборки призывников. Она получена в предположении, что в нецензурированной выборке рост распределен нормально.

Рис. 1.2. Распределение роста: наблюдаемое распределение и распределение в популяции. Распределение в популяции нормально, наблюдаемое распределение представлено гистограммой. Заштрихованная область соответствует отсутствующим данным

Авторы обсуждают методы оценивания среднего и дисперсии нецензурированного распределения при таком сильном предположении. Выводы для этого примера вполне справедливы, так как существуют убедительные свидетельства в пользу того, что в полной популяции распределение роста действительно близко к нормальному. Во многих других задачах с пропусками подобная информация недоступна или очень недостоверна. Как указано в гл. 11, чувствительность выводов по неполной выборке к предположениям, которые невозможно или трудно проверить, — основная проблема анализа данных с неизвестным механизмом порождения пропусков. Она может возникнуть, например, в выборочных обследованиях.