Главная > Статистический анализ данных с пропусками
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

1.5. ОДНОМЕРНЫЕ ВЫБОРКИ С ПРОПУСКАМИ

Возможно, простейшей структурой данных является одномерная случайная выборка с пропусками. Пусть у, означает значение признака У для объекта. Предположим, что в простой случайной выборке объема присутствуют и пропущены . В этом примере обработка данных с пропусками, очевидно, сводится к уменьшению объема выборки с до Мы можем обработать сокращенную выборку так же, как обработали бы полную выборку объема Например, если мы предполагаем

нормальность распределения и хотим получить выводы о среднем, то можно оценить его выборочным средним по присутствующим значениям, а дисперсию оценить величиной где выборочная дисперсия по присутствующим значениям. Поступая так, мы фактически игнорируем механизм порождения пропусков.

Этот механизм пренебрежим для одномерной выборки, если пропуски случайны в том смысле, что наблюдаемые объекты являются случайной подвыборкой объектов выборки. Если вероятность того, что присутствует, зависит от значения то механизмом пропусков пренебрегать нельзя, и анализ по сокращенной выборке, не учитывающий это, ведет к смещениям.

Пример 1.3. Случайное цензурирование одномерной нормальной выборки. Данные на рис. 1.1 показывают важность учета процесса, приводящего к пропускам. Рис. 1.1а представляет диаграмму «стебель с листьями» (stem and leaf), т. е. гистограмму, отражающую значение каждого наблюдения, выборки объема 100 из стандартного нормального распределения. Выборочное среднее — оценка среднего популяции (равного нулю) по этой выборке равна — 0,03. Рис. 1.16 представляет подвыборку, полученную из начальной выборки независимым исключением объектов с вероятностью 0,5. Вероятность исключения не зависит от значения у, следовательно, получаемая выборка объема случайная подвыборка, ее выборочное среднее, —0,11, может использоваться как несмещенная оценка среднего популяции.

Рис. 1.1в и 1.1 г иллюстрируют неигнорируемые механизмы пропусков. На рис. 1.1 в из начальной выборки удалены неотрицательные значения, т. е.

где индикатор пропуска. Вероятность присутствия зависит от у. Результаты обычных методов анализа с игнорированием механизма пропусков в таких данных в общем случае смещены. Например, средневыборочное, —0,89, — явно заниженная оценка среднего. Такой механизм пропусков называют цензурированием: значения цензурируются сверху (или справа) в точке нуль.

Рис. 1.1 г отображает случайное цензурирование, когда вероятность присутствия лежит между единицей и нулем и равна где функция стандартного нормального распределения. Вероятность увеличивается с ростом поэтому большинство присутствующих значений отрицательно. Механизмом пропусков снова нельзя пренебрегать. Средневыборочная оценка систематически занижает среднее популяции.

(кликните для просмотра скана)

Теперь предположим, что мы столкнулись с неполной выборкой такого типа, как на рис. 1.1 в или 1.1 г, и хотим оценить среднее популяции. Если способ цензурирования известен, применяются методы с введением поправок к средневыборочному, которые устраняют смещение, возникающее при формировании выборки. Эти методы обычно основаны на методе максимального правдоподобия. Если же способ цензурирования неизвестен, задача намного труднее. Принципиальным указанием на то, что механизм пропусков неигнорируем, является асимметрия наблюдаемой выборки, противоречащая предположению, что исходная выборка извлечена из (симметричного) нормального распределения. Если мы убеждены, что нецензурированная выборка имеет симметричное распределение, то можно использовать эту информацию для поправок на смещение, применяя, например, метод максимального правдоподобия. С другой стороны, если статистик плохо представляет себе форму нецензурированного распределения, то он не способен сказать, являются ли данные цензурированной выборкой из симметричного распределения или случайной подвыборкой из асимметричного распределения. В первом случае средневыборочное — смещенная оценка среднего популяции, во втором — несмещенная.

Пример 1.4. Пример 1.3 в приложении к историческим данным о росте людей. Уочтер и Трасел [см. Wachter and Trussell (1982)] дают любопытную иллюстрацию этой задачи, связанную с оценкой роста людей в прошлом. Распределение роста в «исторических» популяциях представляет значительный интерес, поскольку несет информацию о питании, а, значит, косвенно и об уровне жизни. Большая часть информации содержится в данных о росте призывников в армию. Выборки цензурировались, поскольку часто использовались ограничения на минимальный рост. Ограничения соблюдались с различной строгостью в зависимости от наличия призывников и потребности в них. Поэтому типичное наблюдаемое распределение роста имеет вид незаштрихованной гистограммы на рис. 1.2, заимствованном из [Wachter and Trussell (1982)]. Заштрихованная область представляет рост людей, исключенных из выборки призывников. Она получена в предположении, что в нецензурированной выборке рост распределен нормально.

Рис. 1.2. Распределение роста: наблюдаемое распределение и распределение в популяции. Распределение в популяции нормально, наблюдаемое распределение представлено гистограммой. Заштрихованная область соответствует отсутствующим данным

Авторы обсуждают методы оценивания среднего и дисперсии нецензурированного распределения при таком сильном предположении. Выводы для этого примера вполне справедливы, так как существуют убедительные свидетельства в пользу того, что в полной популяции распределение роста действительно близко к нормальному. Во многих других задачах с пропусками подобная информация недоступна или очень недостоверна. Как указано в гл. 11, чувствительность выводов по неполной выборке к предположениям, которые невозможно или трудно проверить, — основная проблема анализа данных с неизвестным механизмом порождения пропусков. Она может возникнуть, например, в выборочных обследованиях.

1
Оглавление
email@scask.ru