3.3. МЕТОДЫ ДОСТУПНЫХ НАБЛЮДЕНИЙ

Анализ по полным наблюдениям, видимо, не имеет смысла в одномерном случае, например при оценивании средних и маргинальных частотных распределений, так как значения для отдельного признака исключаются, если они относятся к наблюдениям, в которых отсутствуют другие переменные. Естественным выходом при анализе одной переменной является обработка по всем наблюдениям, в которых присутствует интересующая нас переменная. Этот способ мы будем называть методом или анализом доступных наблюдений (available-case analysis). При таком способе анализа данных используются все имеющиеся значения. Его недостаток заключается в том, что совокупность наблюдений, по которым строится выборка, меняется от признака к признаку в соответствии с матрицей пропусков. Как известно многим

исследователям, имеющим дело с большими объемами данных, это обстоятельство создает затруднения на практике, особенно когда вычисления ведутся для нескольких различных выборок (например, все женщины, женщины, состоящие или состоявшие в браке, и замужние женщины — при демографическом обследовании рождаемости). Исследователю хотелось бы иметь выборки постоянного объема, чтобы проверять правильность формирования разнообразных таблиц для вычислений. Изменение числа наблюдений, по которым строится выборка, при анализе доступных наблюдений затрудняет проведение таких простых проверок, а также создает трудности при сравнении признаков, если отсутствие данных — функция значений изучаемых признаков, т. е. если данные не ОПС.

Для вычисления оценок средних и дисперсий при ОПС можно применять описанную процедуру, но для вычисления таких мер зависимости, как коэффициенты корреляции и ковариации, требуются модификации. Естественным обобщением метода доступных наблюдений в многомерном случае являются парные методы доступных наблюдений, когда мера зависимости между и вычисляется по наблюдениям для которых присутствует и . В частности, можно вычислять парные ковариации:

где — число наблюдений, в которых одновременно присутствуют а средние и сумма в (3.1) вычисляются по этим наблюдениям. Обозначим выборочные дисперсии по доступным наблюдениям. В сочетании с они позволяют получить следующую оценку корреляции:

Недостаток оценки (3.2) состоит в том, что может оказаться вне отрезка в отличие от истинной корреляции. Это затруднение можно обойти, вычисляя парные корреляции по оценкам дисперсий, полученным по той же подвыборке наблюдений, что и ковариации:

Такая оценка обсуждается в [Matthai (1951)]. Она соответствует следующей оценке ковариации:

Можно получить еще несколько вариантов оценок, заменяя средние в (3.1)-(3.4) их оценками по всем доступным наблюдениям. Применяя такой способ к (3.1), получим оценку

которая называется -оценкой в программе [см. Dixon (1983)]. Она рассматривается также в [Wilks (1932)].

В парных оценках по доступным наблюдениям типа (3.1)-(3.5) делается попытка сохранить часть информации, содержащейся в некомплектных наблюдениях и теряющейся при анализе полных наблюдений. При ОПС уравнения (3.1)-(3.5) дают возможность получить состоятельные оценки ковариаций и корреляций по отдельности. Однако если рассматривать их в совокупности, то выяснится, что они обладают недостатками, сильно снижающими их практическую применимость.

Как мы уже отметили, с помощью (3.2) можно найти для корреляции значения, находящиеся вне допустимых границ. С другой стороны, (3.3) всегда дает значения, лежащие между При переменных оба выражения (3.2) и (3.3) могут дать оценку корреляционной матрицы, не являющуюся положительно определенной. Рассмотрим крайний случай с 12 значениями для трех переменных обозначает пропуск):

Из выражения (3.3) получим Эти оценки явно неприемлемы, поскольку из следует Согг а не —1. Аналогично ковариационные матрицы, получаемые в (3.1) или (3.4), не обязательно положительно определены. Для многих способов анализа, опирающихся на ковариационную матрицу, включая множественный регрессионный анализ, нужны положительно определенные ковариационные матрицы. В связи с этим необходимы специальные модификации обсуждаемых методов, когда это условие не удовлетворено.

Поскольку в методах доступных наблюдений используются все данные, можно ожидать, что они будут лучше методов полных наблюдений. Это заключение подтверждается экспериментально в [Kim and Curry (1977)] для ситуации, когда данные ОПС и корреляции невелики. Другие эксперименты, однако, показывают превосходство метода полных наблюдений при больших коэффициентах корреляции [см. Haitovsky (1968); Azen and Van Guilder (1971)]. Ни один из этих методов, тем не менее, не является удовлетворительным в общем случае.