2.3. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ НОРМАЛЬНОСТЬ И ЭФФЕКТИВНОСТЬ ОММП

Интересно получить неравенство Крамера-Рао для данных с пропусками, т.е. указать для регулярного случая нижнюю границу ковариационных матриц оценок получаемых по присутствующим данным. В традиционной форме [Ибрагимов, Хасьминский (1979), с. 104; Боровков (1984), с. 158] неравенство неприменимо для данных с пропусками, так как аргумент плотности, является случайным (он меняется в зависимости от Тем

не менее для данных с пропусками остается верной запись

где единичная матрица, смещение, если определить информационную матрицу как

Точнее, справедлив следующий результат.

Теорема 2. Пусть непрерывно дифференцируема по для значений для оценки верно выполняется условие ОС, матрица положительно определена и непрерывна по Тогда выполнено (3).

При условии ОПС инеформационная матрица (4) имеет более простой вид:

Введем следующее условие регулярности.

Условие Для всех для которых функции трижды дифференцируемы по 0, все производные первого и второго порядков мажорируются интегрируемыми функциями, а третьи производные — функциями, интегрируемыми по

Теорема 3. Пусть выполняются условие ОС и условие регулярности положительно определена в 9. Тогда:

1) ОММП по выборке асимптотически нормальна с ковариационной матрицей т.е. при имеет место сходимость по распределению —

2) среди решений уравнения начиная с некоторого случайного существует по -вероятности только одно состоятельное решение.

Таким образом, асимптотическое поведение ММП-оценки в условиях регулярности аналогично поведению ОМП в задаче без пропусков, т.е. ОММП асимптотически нормальна и эффективна.