§ 27. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛОВЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ В ФОРМУЛАХ ПРИ ПЕРЕХОДЕ К СИ

Многие эмпирические формулы, встречающиеся в учебных пособиях и справочниках по техническим дисциплинам, содержат числовые коэффициенты. Такие формулы выражают связь не между физическими величинами, а между их числовыми значениями. Коэффициенты пропорциональности в этих формулах зависят от единиц, в которых выражены величины, входящие в формулы. При замене одних единиц другими коэффициент пропорциональности принимает другое значение.

В связи с переходом к Международной системе единиц возникает необходимость в пересчете коэффициентов. Рассмотрим методику этого пересчета.

Как указывалось в § 1, некоторая физическая величина может быть выражена через другие уравнением вида (1.5):

Если в этом равенстве каждую величину выразить по формуле (1.1) и разделить на соответствующие единицы, то получим

или после сокращения

Такие уравнения называют уравнениями между числовыми значениями.

Если величины выразить соответственно в единицах а затем в единицах

то получим два уравнения между числовыми значениями для одних и тех же величин:

Разделим второе из этих равенств на первое:

Если учесть, что числовые значения величины обратно пропорциональны размерам единиц, в которых данная величина выражена (см. с. 15), то последнее равенство можно переписать в виде

Вводя далее обозначения:

получим

Отсюда найдем окончательную формулу для вычисления

При практическом использовании этой формулы рекомендуется выполнять операции в такой последовательности:

1) величины исходной формулы, в которой требуется пересчитать коэффициент пропорциональности, поставить в соответствие с величинами формулы (27.1);

2) единицы которых выражены величины в исходной формуле, перевести в соответствующие единицы Международной системы или в кратные или дольные единицы от единиц СИ;

3) найти отношения:

4) подставить эти отношения в формулу (27.2) и произвести вычисления.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Наибольшее контактное напряжение в радиальных однородных шарикоподшипниках определяется формулой

где напряжение радиальная нагрузка на подшипник радиус кольца (см), безразмерный коэффициент. Определить числовой коэффициент в этой формуле, если напряжение выразить в мегапаскалях радиальную нагрузку — в ньютонах радиус — в метрах

Решение. 1. Сравнивая формулы (27.3) и (27.1), устанавливаем следующее соответствие величин:

Формула (27.2) для данного примера принимает вид

2. Переведем единицы, в которых выражены величины в исходной формуле, в единицы Международной системы:

3. Найдем отношения соответствующих единиц:

4. Подставив вычисленные значения отношений в формулу (27.4), определим числовой коэффициент:

Таким образом, если напряжение о выразить в мегапаскалях, радиальную нагрузку в ньютонах, радиус кольца — в метрах, то формула (27.3) примет вид

Пример 2. Для определения мощности двигателя применяется формула

где мощность двигателя — вращающий момент частота вращения (об/мин). Определить числовой коэффициент в этой формуле, если все величины в ней выразить в единицах Международной системы единиц.

Решение. 1. Сравнивая формулы (27.5) и (27.1), установим следующее соответствие величин:

Формула (27.2) для данного примера имеет вид

2. Переведем единицы, в которых выражены величины в исходной формуле, в единицы Международной системы:

3. Найдем отношения соответствующих единиц:

4. Подставив вычисленные значения отношений в формулу (27.6), определим числовой коэффициент:

Следовательно, если величины, входящие в формулу (27.5), выразить в единицах Международной системы, то формула запишется в виде