Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 2. РАЗМЕРНОСТИ ПРОИЗВОДНЫХ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИНПроизводные величины, как было указано в § 1, можно выразить через основные. Для этого необходимо ввести два понятия: размерность производной величины и определяющее уравнение. Размерностью физической величины называют выражение, отражающее связь величины с основными величинами системы, в котором коэффициент пропорциональности принят равным единице. Определяющим уравнением производной величины называют формулу, посредством которой физическая величина может быть в явном виде выражена через другие величины системы. При этом коэффициент пропорциональности в данной формуле должен быть равным единице. Например, определяющим уравнением скорости является формула
где
где а — ускорение, сообщаемое силой Найдем размерности некоторых производных величин механики в системе Чтобы найти размерность скорости, подставим в формулу (2.1) вместо длины пути
Условимся обозначать размерность величины символом
Определяющими уравнениями площади и объема являются формулы:
где а — длина стороны квадрата,
Найти же размерность силы используя формулу ускорения равнопеременного движения:
где Подставив сюда уже известные нам размерности скорости и времени, получим
Теперь по формуле (2.2) найдем размерность силы:
Точно так же для получения размерности мощности Из приведенных примеров следует, что не безразлично, в какой последовательности надо расположить определяющие уравнения при построении данной системы величин, т. е. при установлении размерностей производных величин. Последовательность расположения производных величин при построении системы должна удовлетворять следующим условиям: 1) первой должна быть величина, которая выражается только через основные величины; 2) каждая последующая должна быть величиной, которая выражается только через основные и такие производные, которые ей предшествуют. В качестве примера приведем в таблице последовательность величин, которая удовлетворяет таким условиям: (см. скан) Последовательность величин, приведенная в таблице, не является единственной, удовлетворяющей указанному выше условию. Отдельные величины в таблице могут быть переставлены. Например, плотность (строка 5) и момент инерции (строка 4) или момент силы (строка 11) и давление (строка 12) можно поменять местами, так как размерности этих величин определяются независимо друг от друга. Но плотность в этой последовательности нельзя поставить раньше объема (строка 2), так как плотность выражается через объем и для определения ее размерности необходимо знать размерность объема. Момент силы, давление и работа (строка 13) не могут быть поставлены раньше силы, так как для определения их размерности надо знать размерность силы. Из приведенной таблицы следует, что размерность любой физической величины
где В системе величин механики
Приведем в общем виде формулы размерности соответственно в системах величин:
Из формул (2.5) — (2.10) следует, что размерность величины представляет собой произведение размерностей основных величин, возведенных в соответствующие степени. Показатель степени электромагнитной системах LMT, в которых они могут быть и дробными. Некоторые показатели размерности могут оказаться равными нулю. Так, записав размерности скорости и момента инерции в системе
находим, что у скорости равен нулю показатель размерности Может оказаться, что все показатели размерности некоторой величины равны нулю. Такая величина называется безразмерной. Безразмерными величинами являются, например, относительная деформация, относительная диэлектрическая проницаемость. Величина называется размерной, если в ее размерности хотя бы одна из основных величин возведена в степень, не равную нулю. Конечно, размерности одной и той же величины в различных системах могут оказаться разными. В частности, величина безразмерная в одной системе может оказаться размерной в другой системе. Например, абсолютная диэлектрическая проницаемость в электростатической системе Эти примеры показывают, что размерность не есть нечто абсолютное. Понятие размерности есть понятие относительное, поэтому об определенных размерностях физических величин можно говорить, только оставаясь в рамках одной системы величин. Однако это не мешает использованию размерностей как эффективного средства исследования ряда вопросов метрического характера. Остановимся кратко на некоторых из них. 1. Размерность позволяет определить, как изменяется размер производной величины при изменении размеров основных величин. Если размерность величины
Пример. Определим, как изменится момент инерции системы с увеличением линейных размеров в 2 раза и массы в 3 раза. Равномерность момента инерции
Пользуясь формулой (2.11), получим
Следовательно, момент инерции увеличится в 12 раз. 2. Пользуясь размерностями физических величин, можно определить, как изменится размер производной единицы с изменением размеров основных единиц, через которые она выражается, а также установить соотношение единиц в разных системах (см. с. 216). 3. Размерности физических величин позволяют обнаружить ошибки при решении физических задач. Получив в результате решения расчетную формулу, следует проверить, совпадают ли размерности левой и правой частей формулы. Несовпадение этих размерностей свидетельствует о том, что в ходе решения задачи была допущена ошибка. Конечно, совпадение размерностей еще не означает, что задача решена правильно. Рассмотрение других практических приложений размерностей выходит за рамки настоящего пособия.
|
1 |
Оглавление
|