§ 7. ПРОИЗВОДНЫЕ ЕДИНИЦЫ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН

Все производные единицы механических величин могут быть выражены через три основные единицы Международной системы — метр, килограмм, секунду и дополнительную единицу — радиан.

При построении системы единиц механических величин коэффициент пропорциональности во всех формулах принимается равным безразмерной единице.

Единицы пространства. Единицы величин кинематики

Площадь. Единицу площади найдем по формуле площади квадрата:

где а — длина его стороны. Положив получим

Квадратный метр равен площади квадрата со сторонами, длины которых равны 1 м. Размерность площади

Объем. Вместимость. Единицу объема V получим по формуле объема куба:

где а — длина его ребра.

Положив в формуле получим

Кубический метр равен объему куба с ребрами, длины которых равны 1 м. Размерность объема:

Скорость. Скорость — физическая величина, равная первой производной от перемещения по времени, т. е.

Для равномерного движения значение скорости может быть определено как отношение пути ко времени за которое этот путь пройден:

Положив в получим единицу скорости

Эта единица носит название метр в секунду. Метр в секунду равен скорости прямолинейно и равномерно движущейся точки, при которой эта точка за время 1 с перемещается на расстояние 1 м. Размерность скорости:

Ускорение. Ускорением называют физическую величину, равную первой производной от скорости по времени, т. е.

В случае равнопеременного движения, для которого ускорение есть величина постоянная, оно может быть определено по формуле

где изменение скорости равнопеременного движения за время

Положив в получим

Эта единица называется метр на секунду в квадрате. Метр на секунду в квадрате равен ускорению прямолинейно и равноускоренно движущейся точки, при котором за время 1 с скорость точки возрастает на Размерность ускорения:

Период. Период — это время, в течение которого совершается один цикл периодического процесса (колебаний, излучений и т. п.) или одно дискретное событие (импульс, удар и т. п.).

Период выражается в единицах времени в секундах).

Частота. Следует различать частоту периодического процесса (колебаний, излучений и т. п.), частоту дискретных событий (импульсов и т. п.) и частоту вращения.

Частотой периодического процесса называют физическую величину, равную числу циклов, происходящих за единицу времени. Из этого определения следует, что частота есть величина, обратная периоду, т. е.

Положив в найдем

Эта единица называется герцем (Гц). Герц равен частоте периодического процесса, при которой за время 1 с происходит один цикл периодического процесса.

Частотой дискретных событий называют физическую величину, равную числу событий, происходящих в единицу времени. Частота дискретных событий и время затрачиваемое на одно событие, связаны формулой

Отсюда единица частоты дискретных событий:

Эта единица называется секунда в минус первой степени. Секунда в минус первой степени равна частоте дискретных событий, при которой за время 1 с совершается одно событие.

Частотой вращения называют величину, равную числу полных оборотов за единицу времени. Частота вращения определяется по формуле

где время, в течение которого совершается один полный оборот.

Положив в этой формуле найдем

Секунда в минус первой степени равна частоте вращения, при которой за 1 с происходит один цикл вращения (один оборот). Размерность частоты:

Кривизна. Кривизна кривой характеризует степень отличия ее от прямой. В общем случае кривизна кривой в разных ее точках различна, и только кривизна окружности во всех ее точках одна и та же.

Кривизна К кривой в некоторой ее точке есть величина, обратная радиусу кривизны, т. е.

Радиус кривизны — это радиус соприкасающейся окружности.

Для получения единицы кривизны положим в Тогда

Эта единица называется метр в минус первой степени. Размерность кривизны:

Угловая скорость. Угловой скоростью называют физическую величину, равную первой производной от угла поворота тела по времени, т. е.

При равномерном вращательном движении тела угловая скорость — это величина, равная отношению угла поворота к интервалу времени за которое произошел этот поворот:

Положив рад, получим

Радиан в секунду равен угловой скорости равномерно вращающегося тела, при которой за время 1 с совершается поворот тела относительно оси вращения на угол 1 рад.

Так как плоский угол является не основной, а дополнительной величиной Международной системы, то в размерность производных величин он не входит. Учитывая это, из формулы (7.8) найдем размерность угловой скорости:

Угловое ускорение. Угловым ускорением называют физическую величину, определяемую первой производной от угловой скорости по времени:

При равноускоренном вращении тела угловое ускорение есть величина, равная отношению изменения угловой скорости ко времени в течение которого произошло это изменение:

Положив в получим

Радиан на секунду в квадрате равен угловому ускорению равноускоренно вращающегося тела, при котором за время 1 с угловая скорость тела возрастает на Размерность углового ускорения:

Единицы ееличин динамики

Сила. Сила — это векторная величина, являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел или полей. Единицу силы найдем по формуле, выражающей второй закон Ньютона:

где масса тела, а — ускорение, сообщаемое этому телу силой

Положив в получим

Эта единица носит название ньютон Ньютон равен силе, сообщающей телу массой 1 кг ускорение в направлении действия силы.

В ньютонах выражается также вес тела Вес тела — это сила, с которой тело действует на подвес или подставку, поддерживающую это тело. В случае, если подставка или подвес не имеют ускорения в вертикальном направлении, вес тела связан с его массой соотношением:

где ускорение свободного падения.

Размерность силы, а следовательно, и веса:

Плотность. Плотностью вещества называют физическую величину, определяемую отношением

В случае однородного тела плотность

где масса тела, V — его объем.

Положив в получим единицу плотности

Килограмм на кубический метр равен плотности однородного вещества, масса которого при объеме равна Размерность плотности:

Относительная величина. Относительной величиной называют величину, равную безразмерному отношению физической величины к одноименной величине, принимаемой за исходную.

Если некоторая величина X имеет размерность то и однородная (одноименная) ей величина имеет такую же размерность. Следовательно, относительная величина

имеет размерность

Все относительные величины выражаются в безразмерных единицах. Безразмерная единица равна относительной величине, равной 1.

Относительная плотность. Относительной плотностью вещества называют величину, равную отношению его плотности к плотности некоторого вещества при определенных физических условиях. Таким стандартным веществом является вода при температуре 3,98°С и нормальном атмосферном давлении (101 325 Па) или сухой воздух при 20°С и нормальном атмосферном давлении.

Относительная плотность

где плотность данного вещества, плотность стандартного вещества.

Положив в формуле получим единицу относительной плотности:

Следовательно, относительная плотность выражается в безразмерных единицах.

Удельный объем. Удельным объемом называют величину, равную отношению объема V тела к его массе

Положив получим единицу удельного объема:

Кубический метр на килограмм равен удельному объему однородного вещества, объем которого при массе 1 кг

равен . Размерность удельного объема:

Из сравнения формул (7.11) и (7.13), а также размерностей удельного объема и плотности следует, что удельный объем есть величина, обратная плотности.

Удельный вес. Удельным весом тела называют физическую величину, определяемую соотношением

Для однородного тела

где вес тела, V — его объем.

Положив в получим единицу удельного веса

Ньютон на кубический метр равен удельному весу однородного вещества, вес которого при объеме равен Размерность удельного веса:

Давление. Давлением называют физическую величину, равную отношению силы действующей на элемент поверхности нормально к ней, к площади этого элемента, т. е.

При равномерном распределении силы по поверхности площадью 5 давление выражается формулой

Положив получим единицу давления:

Эта единица называется паскаль (Па). Паскаль равен давлению, вызываемому силой равномерно распределенной по нормальной к ней поверхности площадью Размерность давления:

Импульс (количество движения). Импульсом тела называют величину, равную произведению массы тела на его скорость, т. е.

Положив получим единицу импульса:

Килограмм-метр в секунду равен импульсу (количеству движения) тела массой движущегося поступательно со скоростью Размерность импульса:

Импульс силы. Импульсом силы I называют физическую величину, равную произведению силы на время ее действия, т. е.

Положив получим единицу импульса силы:

Ньютон-секунда равен импульсу силы, создаваемому силой действующей в течение времени 1 с. Размерность импульса силы:

Сравнив размерности импульса силы и импульса, видим, что они одинаковы. Это следует и из второго закона Ньютона:

Работа, механическая энергия. Работой называют величину, равную скалярному произведению силы на бесконечно малое перемещение тела под действием этой силы:

При прямолинейном движении тела на пути под действием постоянной силы работа определяется по формуле

где а — угол между направлениями действия силы и движения тела.

Положив в получим

Эта единица называется джоуль (Дж). Джоуль равен работе, совершаемой при перемещении точки приложения силы 1 Н на расстояние 1 м в направлении действия силы. Размерность работы:

Кинетическая энергия. Кинетической энергией называют энергию движущегося тела и определяют по формуле

где масса тела, его скорость.

Положив в найдем единицу кинетической энергии:

Следовательно, кинетическая энергия выражается в тех же единицах, что и работа, в джоулях. Размерность кинетической энергии:

Потенциальная энергия. Потенциальной энергией называют энергию взаимодействия тел. Единицу этой энергии определим по формуле потенциальной энергии тела массой поднятого над Землей на высоту над ее поверхностью:

Положив найдем

Следовательно, потенциальная энергия выражается в джоулях. Размерность потенциальной энергии:

Коэффициент полезного действия. Коэффициент полезного действия — относительная величина, равная отношению полезно использованной энергии к суммарной энергии полученной системой, т. е.

Положив получим единицу коэффициента полезного действия:

Следовательно, коэффициент полезного действия, как и любая относительная величина, выражается в безразмерных единицах.

Мощность. Мощность есть физическая величина, равная отношению работы к бесконечно малому промежутку времени в течение которого эта работа совершается:

В случае постоянной мощности формула принимает вид

Положив получим единицу мощности:

Эта единица носит название ватт Ватт равен мощности, при которой за время 1 с совершается работа в Размерность мощности:

Момент силы. Моментом силы относительно некоторой точки называют величину, равную произведению силы на расстояние от этой точки до линии, вдоль которой действует сила:

Подставив получим единицу момента силы:

Ньютон-метр равен моменту силы, создаваемому силой относительно точки, расположенной на расстоянии от линии действия силы. Размерность момента силы:

Момент инерции (динамический момент инерции). Моментом инерции тела относительно некоторой оси инерции называют величину, равную сумме произведений масс всех частиц тела на квадраты их расстояний от этой оси. Единицу момента инерции удобно определить по формуле момента инерции материальной точки относительно некоторой оси инерции:

где масса материальной точки, расстояние ее до оси инерции.

Положив в получим единицу момента инерции:

Килограмм-метр в квадрате равен моменту инерции материальной точки массой находящейся на расстоянии от оси инерции. Размерность момента инерции:

Момент импульса (момент количества движения). Моментом импульса тела называют величину, равную произведению момента инерции тела на его угловую скорость :

Момент импульса тела равен сумме моментов импульса всех его частиц (материальных точек).

Момент импульса материальной точки относительно некоторой точки (полюса) есть произведение длины радиуса-вектора материальной точки, проведенного из полюса, на ее импульс, т. е.

где импульс материальной точки, ее масса и скорость.

Подставив в получим единицу момента импульса:

Килограмм-метр в квадрате в секунду равен моменту импульса (моменту количества движения) тела с моментом инерции , вращающегося с угловой скоростью Единица момента импульса получена по формуле (7.25), а определение единицы дано на основе формулы (7.24). Обе указанные формулы дают одинаковую размерность момента импульса:

Относительное удлинение. Относительным удлинением называют величину, равную отношению абсолютного удлинения тела к первоначальной его длине

Подставив найдем единицу относительного удлинения:

Относительное удлинение выражается в безразмерных единицах. В безразмерных единицах выражаются также другие виды относительной деформации: относительное поперечное сжатие, относительный сдвиг и т. д.

Нормальное механическое напряжение (нормальное напряжение). Нормальным напряжением а называют физическую величину, равную отношению упругой силы к площади перпендикулярного силе сечения тела, т. е.

При равномерном распределении напряжения оно может быть выражено формулой

Подставив получим единицу нормального напряжения:

Напряжение выражается в тех же единицах, что и давление, в паскалях.

В паскалях выражаются касательное напряжение и все критические значения напряжений: предел пропорциональности предел текучести предел прочности сгпр и др. Размерность напряжения:

Модуль упругости. Модуль упругости — величина, равная отношению напряжения к относительному удлинению. Единицу модуля упругости К найдем по закону Гука:

Так как безразмерная величина, то модуль упругости, как это следует из формулы (7.28), выражается в тех же единицах, что и напряжение, т. е. в паскалях, и имеет ту же размерность:

Модуль Юнга (модуль продольной упругости). Для случая продольной деформации (линейного растяжения или

сжатия) закон Гука имеет вид

где модуль Юйга. Он равен тому напряжению, при котором относительное удлинение равно единице, а абсолютное удлинение — первоначальной длине. Из этого определения, а также из формулы (7.29) следует, что единицей модуля Юнга является паскаль, а его размерность:

Коэффициент Пуассона. При продольном растяжении образца происходит уменьшение его поперечных размеров, которое характеризуется абсолютным и относительным сжатиями, где поперечный размер образца. Отношение относительного сжатия к относительному удлинению называют коэффициентом Пуассона

Так как и величины безразмерные, то и коэффициент Пуассона — величина безразмерная и, следовательно, выражается в безразмерных единицах.

Модуль сдвига. Модулем сдвига называют модуль упругости для деформации сдвига. Он равен отношению касательного напряжения к деформации сдвига (углу сдвига) у:

Модуль сдвига, модуль Юнга и коэффициент Пуассона связаны соотношением

Отсюда следует, что модуль сдвига выражается в тех же единицах, что и модуль Юнга, т. е. в паскалях, и имеет размерность:

Жесткость. Жесткость — величина, равная отношению упругой силы возникающей в теле при его растяжении к абсолютной деформации Жесткость является коэффициентом пропорциональности в законе Гука, записанном в виде

Из этой формулы получим

Положив найдем единицу жесткости:

Ньютон на метр равен жесткости тела, в котором возникает упругая сила при абсолютном удлинении этого тела на Размерность жесткости:

Коэффициент трения скольжения. Коэффициент трения скольжения есть коэффициент пропорциональности между силой трения скольжения и силой нормального давления. Из формулы силы трения

получим

Положив найдем единицу трения скольжения:

т. е. коэффициент трения — величина безразмерная и выражается в безразмерных единицах.

Безразмерным является также и истинный коэффициент трения скольжения входящий в двучленный закон трения:

где добавочное давление, вызванное силами молекулярного взаимодействия, площадь контакта между телами.

Коэффициент трения качения. Сила трения качения определяется по закону Кулона

где сила нормального давления, радиус катящегося тела (круглого цилиндра, шара), коэффициент трения качения. Отсюда

Положив здесь получим единицу коэффициента трения качения:

Следовательно, коэффициент трения качения выражается в метрах и имеет размерность:

Напряженность гравитационного поля. Напряженностью гравитационного поля называют физическую величину, равную отношению силы с которой поле действует на тело, помещенное в данную точку, к его массе т. е.

Положив получим единицу напряженности гравитационного поля:

Ньютон на килограмм равен напряженности гравитационного поля, которое на материальную точку массой 1 кг действует с силой Размерность напряженности гравитационного поля:

Следовательно, напряженность гравитационного поля имеет размерность ускорения.

Потенциал гравитационного поля. Потенциалом гравитационного поля называют физическую величину, равную отношению потенциальной энергии которой обладает в гравитационном поле материальная точка, к массе этой точки, т. е.

Положив получим единицу потенциала гравитационного поля:

Джоуль на килограмм равен потенциалу гравитационного поля, в котором материальная точка массой 1 кг обладает потенциальной энергией Размерность потенциала гравитационного поля:

Градиент потенциала гравитационного поля. Градиентом потенциала гравитационного поля называют векторную величину, направленную в сторону максимального возрастания потенциала вдоль нормали к поверхности равного потенциала и равную отношению разности

потенциалов двух точек, лежащих на нормали, к расстоянию между ними. В общем случае градиент потенциала определяется по формуле

где единичный вектор нормали; элемент нормали к эквипотенциальной поверхности. В случае однородного гравитационного поля

где потенциалы в двух точках поля, расстояние между поверхностями равного потенциала, проходящими через эти точки.

Положив в получим

Эта единица называется джоуль на килограмм-метр. Размерность градиента потенциала:

В теории поля доказывается, что градиент потенциала равен напряженности поля, взятой с обратным знаком, т. е.

Отсюда следует, что напряженность поля может выражаться в тех же единицах, что и градиент потенциала, т. е. в джоулях на килограмм-метр.

Градиент скорости. Градиентом скорости называют векторную величину, определяемую соотношением

где элемент нормали к поверхности слоя жидкости (газа); единичный вектор нормали. Градиент показывает быстроту изменения скорости при переходе от одного слоя жидкости (газа) к другому слою. Из формулы (7.38) следует

Эта единица называется секунда в минус первой степени. Размерность градиента скорости:

Динамическая вязкость (коэффициент вязкости, коэффициент внутреннего трения). Динамическую вязкость можно определить по формуле, выражающей силу внутреннего трения:

где градиент скорости, площадь поверхности слоя, на которую рассчитывается сила внутреннего трения. Из этой формулы получим

Положив найдем

Паскаль-секунда равна динамической вязкости среды, касательное напряжение в которой при ламинарном течении и при разности скоростей слоев, находящихся на расстоянии по нормали к направлению скорости, равной равно 1 Па. Размерность динамической вязкости:

Кинематическая вязкость. Кинематической вязкостью называют величину, равную отношению динамической вязкости жидкости (газа) к ее плотности т. е.

Положив получим

Квадратный метр на секунду равен кинематической вязкости, при которой динамическая вязкость среды плотностью равна Размерность кинематической вязкости: