10-5. ИЗМЕРЕНИЕ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПЛОТНОСТИ ВЕРОЯТНОСТИ

Ограничимся рассмотрением стационарного случайного сигнала с эргодическими свойствами, что позволяет исследовать одну реализацию сигнала 1 (рис. 10-4). Функция распределения может быть выражена через относительное время превышения значений реализации некоторого заданного уровня Получается функция оценка которой

где — время превышения в течение интервала времени измерения

Плотность вероятности той же реализации можно выразить через относительное время пребывания сигнала в интервале значений Оценка плотности вероятности вытекает из формулы (10-12):

На основе этих формул построены аналоговые измерительные приборы; структурная схема простейшего из них представлена на рис. 10-5.

Исследуемый сигнал подается на входное устройство обеспечивающее необходимый уровень сигнала для нормальной работы последующих узлов. Амплитудные селекторы (следящие одновибраторы — триггеры Шмитта) выделяют сигналы с амплитудой, превышающей некоторый заданный уровень — порог селекции. Порог первого селектора устанавливают равным X, второго — На выходе селектора получаются прямоугольные импульсы длительностью равной интервалам времени превышения уровня X (см. рис. 10-4). На выходе селектора получаются импульсы длительность которых равна интервалам времени превышения уровня Формирующие устройства предназначены для уравнивания высоты импульсов. Выходное напряжение первого формирующего устройства усредняется в блоке усреднения и поступает на регистрирующее устройство Очевидно, что полученное значение пропорционально ординате функции распределения на уровне

Рис. 10-4. К измерению одномерной плотности вероятности

Для получения значения ординаты плотности вероятности обе последовательности импульсов с обоих формирующих устройств поступают на вычитающее устройство на выходе которого появляются импульсы длительностью После усреднения всей суммы этих разностей на регистрирующее устройство поступает значение, пропорциональное ординате плотности вероятности в интервале

Для построения графиков функции распределения и плотности вероятности необходимо провести несколько (больше десяти) измерений при разных уровнях X и равных интервалах Амплитудные селекторы выполняются с регулируемыми порогами селекции, а уровень устанавливается с помощью регулятора уровня Управление порогами селекции и уровнями можно выполнять автоматически,

синхронно с разверткой осциллографа, включенного в качестве регистрирующего устройства. Полученная осциллограмма представляет собой график исследуемой функции.

Погрешность измерения оценок одномерной плотности вероятности и функции распределения аналоговым методом зависит от многих причин. Главными из них являются: конечный интервал времени измерения; ограниченное число уровней; значительная ширина интервала практически устанавливаемая в пределах 2-5% входного сигнала. Кроме этих методических причин, имеются много инструментальных: неточность установки порогов селекции и их дрейф; искажение фронта и среза импульсов; недостаточное быстродействие амплитудных селекторов. Все эти причины не позволяют исследовать сигналы, частота которых превышает несколько десятков килогерц.

Рис. 10-5. Структурная схема аналогового измерителя функции распределения и плотности вероятности

Дискретный метод измерения позволяет значительно уменьшить погрешности, особенно инструментальные. Аналоговая реализация случайного сигнала преобразуется в дискретную, например путем выборок. При помощи электронного частотомера подсчитывается число импульсов за интервал времени пребывания реализации сигнала в интервале при определении плотности вероятности или за интервал времени превышения уровня X при определении функции распределения. Если выбрать шаг дискретизации то где общее число импульсов опроса за время наблюдения Тогда оценку плотности вероятности можно представить так:

оценку функции распределения —

На основании этих формул разработаны приборы дискретного действия — статистические анализаторы (рис. 10-6, а). Для получения оценки плотности вероятности на оба входных устройства подают реализацию исследуемого сигнала; после масштабного преобразования она поступает на входы 1 сравнивающих устройств и Одновременно на входы 2 поступают напряжения от устройства установки порога сравнения на уровне Сравнивающие устройства пропускают напряжения реализации только тогда, когда они открываются импульсами опроса (рис. 10-6, б).

которые вырабатывает генератор опроса Частоту следования опросных импульсов устанавливают в соответствии с выбранным шагом дискретизации:

Если значение реализации превышает установленный уровень X, то на выходе появляются импульсы число которых пропорционально времени превышения. Аналогично, если превышает уровень то на выходе появляется соответствующее число импульсов

Рис. 10-6. Статистический анализатор

Импульсы в формирующих устройствах преобразуются в идентичные импульсы одной полярности и поступают в блок вычитания Если на оба входа В одновременно поступают два импульса, что случается каждый раз, когда значение превышает уровень то они вычитаются и на выход проходят импульсы регистрируемые цифровым частотомером работающим в режиме счета импульсов. Число подсчитанных импульсов совпадения за интервал времени пропорционально значению оценки плотности вероятности на данном уровне Число импульсов опроса т. е. число выборок, регистрируется за то же время измерения с помощью цифрового частотомера Ордината плотности вероятности

Для получения графика оценки плотности вероятности необходимо выполнить измерения на многих уровнях при неизменном

Функция распределения определяется по числу импульсов на выходе отнесенному к числу импульсов опроса.

Время единичного измерения или число выборок определяется шагом дискретизации который должен превышать максимальный интервал корреляции . Значение интервала выбирают в зависимости от среднеквадратического отклонения а исследуемой реализации и числа выборок например, для нормального закона распределения при уровне