Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 2-3. СЛУЧАЙНЫЕ ПОГРЕШНОСТИСлучайные погрешности измерений возникают вследствие одновременного воздействия на объект измерения нескольких независимых величин, изменения которых носят флуктуационный характер. Определенный вклад в случайную погрешность измерения вносит и случайная погрешность средства измерения. Будем полагать, что систематическая составляющая погрешности измерения исключена и характеризуется плотностью распределения вероятностей (иначе, плотностью вероятности)
Закономерность изменения случайной погрешности можно установить при многократных наблюдениях ее значений и статистической обработке результатов наблюдений.
Рис. 2-1. Плотность вероятности случайных погрешностей при нормальном законе распределения Эта трудоемкая и кропотливая работа выполняется при точных измерениях и заключается в проверке соответствия полученных данных предполагаемому распределению по некоторому критерию. Флуктуации влияющих величин также являются случайными и характеризуются своими законами распределения (равномерный, треугольный, нормальный и т. д.). Однако вследствие соизмеримости их дисперсий уже при 4-5 влияющих величинах результирующий закон распределения случайной погрешности измерения удовлетворительно согласуется с нормальным (рис. 2-1). Функция распределения по нормальному закону
и плотность вероятности
где Дисперсия и среднеквадратическое отклонение характеризуют точность измерения: чем больше
Рис. 2-2. Интеграл вероятности Вероятность появления случайной погрешности в пределах от
Если ввести нормированную случайную величину
Эта функция табулирована, и ее значения приведены, в табл. Если задана некоторая вероятность а
Рис. 2-3. Плотность вероятности случайных погрешностей при равномерном законе распределения Равномерный закон распределения также встречается в измерениях. В частности, он характерен для измерения непрерывных величин методом дискретного счета. Плотность вероятности погрешности в интервале от
Следовательно, дисперсия
и среднеквадратическое отклонение
Например, погрешность квантования, которая обычно заключена в пределах единицы младшего разряда (от —1/2 до 1/2), характеризуется среднеквадратическим отклонением Вернемся к закону нормального распределения. Этот закон характеризуется численными параметрами: математическим ожиданием и дисперсией. Точное определение этих параметров практически невозможно, так как для этого нужно иметь бесконечно большое число значений случайной величины, т. е. выполнить оценками математического ожидания и среднеквадратичен ского отклонения. Рассмотрим процедуру статистического измерения некоторой величины, истинное значение которой За оценку математического ожидания (истинного значения) принимают среднее арифметическое значение
которое называют действительным значением А измеряемой величины Теперь можно вычислить абсолютное отклонение Оценка
Точность результата
С увеличением числа измерений Доверительный интервал и доверительная вероятность. В результате
Выражение (2-14) читается так: истинное значение измеренной величины Аналогично для случайной погрешности
Случайная погрешность измерения заключена в пределах доверительного интервала от В зависимости от целей измерения доверительную вероятность устанавливают равной Предельную погрешность и доверительный интервал выражают через среднеквадратическое отклонение. Для нормального закона распределения доверительный интервал по заданной доверительной вероятности (и наоборот) определяют при помощи таблицы интеграла вероятности (табл. П4). Задаются доверительной вероятностью Очевидно, что и доверительный интервал, и доверительная вероятность связаны с числом наблюдений
где Интеграл Легко убедиться, что при использовании распределения Стьюдента доверительный интервал расширяется при той же самой доверительной вероятности. Грубые погрешности. При статистических измерениях результаты каждого наблюдения отличаются друг от друга. Нередко случается, что одно или два значения отличаются более резко, чем остальные. Если можно утверждать, что это не промахи, т. е. не явные ошибки, допущенные оператором, то необходимо установить, не являются ли они грубыми погрешностями, которые так же нужно исключить из обработки, как и промахи. Исключение грубой погрешности без достаточных оснований приводит к необоснованному улучшению результата измерений. С другой стороны, неисключение грубой погрешности, в особенности при малом числе наблюдений, исказит как действительное значение измеренной величины, так и границы доверительного интервала. Следовательно, грубые погрешности необходимо обнаруживать и исключать. Простейшим способом обнаружения грубой погрешности при нормальном законе распределения является сравнение абсолютной погрешности «подозрительного» наблюдения Однако следует помнить, что при небольшом числе наблюдений
|
1 |
Оглавление
|