2-3. СЛУЧАЙНЫЕ ПОГРЕШНОСТИ

Случайные погрешности измерений возникают вследствие одновременного воздействия на объект измерения нескольких независимых величин, изменения которых носят флуктуационный характер. Определенный вклад в случайную погрешность измерения вносит и случайная погрешность средства измерения.

Будем полагать, что систематическая составляющая погрешности измерения исключена и Случайная погрешность, как случайная величина, полностью

характеризуется плотностью распределения вероятностей (иначе, плотностью вероятности) где функция распределения. Следовательно, определяется не численное значение случайной погрешности, а лишь вероятность того, что она заключена в некотором интервале или не превышает некоторого значения. Если известен закон распределения, то известны и Вероятность нахождения случайной погрешности в заданном интервале от до находится по формуле

Закономерность изменения случайной погрешности можно установить при многократных наблюдениях ее значений и статистической обработке результатов наблюдений.

Рис. 2-1. Плотность вероятности случайных погрешностей при нормальном законе распределения

Эта трудоемкая и кропотливая работа выполняется при точных измерениях и заключается в проверке соответствия полученных данных предполагаемому распределению по некоторому критерию.

Флуктуации влияющих величин также являются случайными и характеризуются своими законами распределения (равномерный, треугольный, нормальный и т. д.). Однако вследствие соизмеримости их дисперсий уже при 4-5 влияющих величинах результирующий закон распределения случайной погрешности измерения удовлетворительно согласуется с нормальным (рис. 2-1).

Функция распределения по нормальному закону

и плотность вероятности

где дисперсия, характеризующая рассеивание случайной погрешности относительно центра распределения, а ее среднеквадратическое отклонение.

Дисперсия и среднеквадратическое отклонение характеризуют точность измерения: чем больше тем меньше точность. В практике измерений преимущественно используется среднеквадратическое отклонение с, так как оно выражается в тех же единицах, что и измеряемая величина.

Рис. 2-2. Интеграл вероятности

Вероятность появления случайной погрешности в пределах от до в соответствии с формулой

Если ввести нормированную случайную величину правая часть равенства преобразуется в функцию Лапласа, часто называемую интегралом вероятности

Эта функция табулирована, и ее значения приведены, в табл. а график представлен на рис. 2-2.

Если задана некоторая вероятность а то, найдя можно определить При нормальном законе распределения максимальную погрешность Дмакс принимают равной что соответствует вероятности появления погрешности, превышающей Это означает, что в 369 из 370 наблюдений с вероятностью 0,9973 погрешность заключена в интервале ±3а и лишь в одном наблюдении может выйти за его пределы.

Рис. 2-3. Плотность вероятности случайных погрешностей при равномерном законе распределения

Равномерный закон распределения также встречается в измерениях. В частности, он характерен для измерения непрерывных величин методом дискретного счета. Плотность вероятности погрешности в интервале от до (рис. 2-3) записывается в следующем виде;

Следовательно, дисперсия

и среднеквадратическое отклонение

Например, погрешность квантования, которая обычно заключена в пределах единицы младшего разряда (от —1/2 до 1/2), характеризуется среднеквадратическим отклонением

Вернемся к закону нормального распределения. Этот закон характеризуется численными параметрами: математическим ожиданием и дисперсией. Точное определение этих параметров практически невозможно, так как для этого нужно иметь бесконечно большое число значений случайной величины, т. е. выполнить наблюдений при . В практике измерений всегда конечно, поэтому вычисленные в результате эксперимента значения называют

оценками математического ожидания и среднеквадратичен ского отклонения.

Рассмотрим процедуру статистического измерения некоторой величины, истинное значение которой Производят однократных наблюдений, в результате которых получают ряд случайных значений измеряемой величины . В каждом абсолютная погрешность 1-го наблюдения Определить значение этой погрешности невозможно, так как неизвестно.

За оценку математического ожидания (истинного значения) принимают среднее арифметическое значение

которое называют действительным значением А измеряемой величины при

Теперь можно вычислить абсолютное отклонение каждого результата наблюдения относительно среднего значения: Очевидно, что при Для контроля правильности вычислений можно использовать свойства отклонений результатов наблюдений от среднего арифметического: сумма отклонений равна нулю и сумма их квадратов минимальна:

Оценка среднеквадратического отклонения абсолютных отклонений каждого из однократных наблюдений определяется по формуле

Точность результата измерений будет выше. Она характеризуется оценкой среднеквадратического отклонения среднего арифметического (действительного) значения:

С увеличением числа измерений (при независимых результатах) точность увеличивается пропорционально Казалось бы, что увеличением можно получить любое увеличение точности. Однако здравый смысл и практика измерений подсказывают, что приносит мало пользы, так как сама измеряемая величина может измениться за время измерения.

Доверительный интервал и доверительная вероятность. В результате наблюдений измеряемой величины получаем оценку ее действительного значения А, равного среднему арифметическому X, в соответствии с формулой (2-11). Эта оценка также случайная величина; ее среднеквадратическое отклонение а - определяется по формуле (2-13), т. е. результат измерения содержит неопределенность. Требуется выяснить, в каких пределах может изменяться действительное значение А при повторных измерениях (статистических) величины в одних и тех же условиях, т. е. нужно найти интервал значений, который с заданной вероятностью «накрывает» истинное значение измеряемой величины. Такой интервал называют доверительным, а заданную (установленную) вероятность — доверительной. Доверительный интервал и доверительная вероятность характеризуют неопределенность результата измерения. Аналитически это записывается следующим образом:

Выражение (2-14) читается так: истинное значение измеренной величины заключено в пределах доверительного интервала от до с доверительной вероятностью а.

Аналогично для случайной погрешности

Случайная погрешность измерения заключена в пределах доверительного интервала от до с доверительной вероятностью а.

В зависимости от целей измерения доверительную вероятность устанавливают равной . В выражениях (2-14) и (2-15) доверительные интервалы симметричны. Половину доверительного интервала называют предельной (максимальной, допустимой) погрешностью при доверительной вероятности а. Иногда доверительный интервал несимметричен и имеет вид

Предельную погрешность и доверительный интервал выражают через среднеквадратическое отклонение. Для нормального закона распределения доверительный интервал по заданной доверительной вероятности (и наоборот) определяют при помощи таблицы интеграла вероятности (табл. П4). Задаются доверительной вероятностью например 0,95. По таблице находят и значение которое в данном случае равно 2. Так как то и доверительный интервал

Очевидно, что и доверительный интервал, и доверительная вероятность связаны с числом наблюдений так как Чем больше тем уже интервал. Однако, как уже было сказано выше, в практике измерений встречается редко. Для числа наблюдений доверительный интервал определяется не через а через некоторый коэффициент который зависит от числа наблюдений и доверительной вероятности а. Закон изменения коэффициента определяется распределением Стьюдента нормированной случайной величины вычисленного для с нормальным распределением. Коэффициент определяется с помощью следующей формулы:

где доверительная вероятность; плотность вероятности распределения Стьюдента при 2.

Интеграл табулирован (см. табл. П5). При распределение Стьюдента стремится к нормальному. Доверительный интервал находят по заданной вероятности и числу наблюдений. Например: Из табл. находят значение Тогда

Легко убедиться, что при использовании распределения Стьюдента доверительный интервал расширяется при той же самой доверительной вероятности.

Грубые погрешности. При статистических измерениях результаты каждого наблюдения отличаются друг от друга. Нередко случается, что одно или два значения отличаются более резко, чем остальные. Если можно утверждать, что

это не промахи, т. е. не явные ошибки, допущенные оператором, то необходимо установить, не являются ли они грубыми погрешностями, которые так же нужно исключить из обработки, как и промахи. Исключение грубой погрешности без достаточных оснований приводит к необоснованному улучшению результата измерений. С другой стороны, неисключение грубой погрешности, в особенности при малом числе наблюдений, исказит как действительное значение измеренной величины, так и границы доверительного интервала. Следовательно, грубые погрешности необходимо обнаруживать и исключать.

Простейшим способом обнаружения грубой погрешности при нормальном законе распределения является сравнение абсолютной погрешности «подозрительного» наблюдения с максимальной погрешностью Если то этот результат следует отбросить и вновь вычислить значения Этот способ основан на том, что вероятность появления значения, отклоняющегося от среднего арифметического более чем на равна всего лишь 0,003.

Однако следует помнить, что при небольшом числе наблюдений хотя и с малой вероятностью, но возможно, что отброшенное число является не грубой погрешностью, а естественным статистическим отклонением данной величины. Поэтому в ответственных случаях определение грубой погрешности производится на основе теории вероятности . Устанавливается, при каком числе измерений с заданной вероятностью а можно отбросить результат наблюдения, превышающий заданное число или заданные границы.