Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ЧЕТЫРЕ ЛЕКЦИИ ПО ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКЕЛекция первая1. Вывод основных идей волновой механики из гамильтоновой аналогии между обычной механикой и геометрической оптикойЕсли материальная точка то, движущаяся в консервативном силовом поле, описанном потенциальной функцией
Рис. 1 Эта траектория удовлетворяет условию:
и определяется им (принцип Гамильтона в формулировке Мопертюи). Здесь Т означает кинетическую энергию материальной точки, а уравнение следует понимать следующим образом. Рассмотрим многообразие всех возможных путей, ведущих от А к В и подчиняющихся закону сохранения энергии. Среди них действительно пройденная траектория отличается тем, что для нее и для всех бесконечно близких к ней траекторий многообразия интеграл бесконечно малых величин второго порядка (причем, обозначение «бесконечно близкое» выражает бесконечно малые первого порядка). Если
Таким образом, уравнение (1) принимает вид:
Этот вид уравнения имеет то преимущество, что, во-первых, вариационный принцип применяется к чисто геометрическому интегралу, который не содержит переменной времени, и, во-вторых, автоматически выполняется условие постоянства энергии. Гамильтон сопоставил уравнение (2) с принципом Ферма, согласно которому в оптически-неоднородной среде действительные световые лучи, т. е. пути, вдоль которых движется энергия, определяются законом кратчайшего распространения света. Если рис. 1 отнести теперь к любой оптически неоднородной среде, например, к земной атмосфере, то можно, поместив в точке А источник света, который дает соответственный луч, осветить произвольно выбранную точку В. Существует определенный световой путь, от А к В, который соответствует уравнению (3) и определяется им однозначно:
Здесь, как и раньше, Оба принципа, уравнения (2) и (3), становятся идентичными, если мы потребуем, чтобы
где С не должно зависеть от материальной точки то, движущейся с данной энергией в силовом поле
( На первый взгляд это кажется невозможным, ибо скорость материальной точки:
(вдоль пути, т. е. при постоянном Е) обратно пропорциональна скорости света и (см. уравнение 4; С зависит только от Е). Однако нужно помнить, что и — обыкновенная фазовая скорость, тогда как маленький световой сигнал распостраняетея с так называемой групповой скоростью
или, в нашем случае, согласно уравнению (5),
Попробуем теперь допустить, что
отсюда следует:
относительно
вследствие чего уравнение (4) получает вид:
Это — единственная формула для фазовой скорости, дающая в нашем воображаемом случае распространения света полное совпадение между динамическими законами движения материальной точки и оптическими законами движения светового сигнала. Следует еще указать, что соответственно уравнению (4):
Определение Основная идея волновой механики следующая. Явление, которому классическая механика, казалось, дала адекватное описание тем, что изображала движение материальной точки, т. е. рассматривала ее координаты волны), которое мы выше определили как «свет». Математически, волновое движение изображается неограниченным числом функций от одной переменной Если я говорю, что действительный процесс может быть точно описан только волновым движением, то это не означает, что такое волновое движение действительно существует. В дальнейшем мы увидим, что при обобщении на любую механическую систему, то, что в ней действительно происходит, описывается волновым процессом в обобщенном координатном пространстве (
|
1 |
Оглавление
|