ЧЕТЫРЕ ЛЕКЦИИ ПО ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКЕ

Лекция первая

1. Вывод основных идей волновой механики из гамильтоновой аналогии между обычной механикой и геометрической оптикой

Если материальная точка то, движущаяся в консервативном силовом поле, описанном потенциальной функцией вышла из некоторой точки А с данной скоростью, т. е. с данной энергией, то ее можно заставить пройти через другую точку В, сообщив ей соответствующее начальное «направление». Вообще, существует только одна траектория, ведущая от А к В при данной энергии.

Рис. 1

Эта траектория удовлетворяет условию:

и определяется им (принцип Гамильтона в формулировке Мопертюи). Здесь Т означает кинетическую энергию материальной точки, а уравнение следует понимать следующим образом. Рассмотрим многообразие всех возможных путей, ведущих от А к В и подчиняющихся закону сохранения энергии. Среди них действительно пройденная траектория отличается тем, что для нее и для всех бесконечно близких к ней траекторий многообразия интеграл имеет одно и то же значение до

бесконечно малых величин второго порядка (причем, обозначение «бесконечно близкое» выражает бесконечно малые первого порядка). Если скорость материальной точки, то

Таким образом, уравнение (1) принимает вид:

Этот вид уравнения имеет то преимущество, что, во-первых, вариационный принцип применяется к чисто геометрическому интегралу, который не содержит переменной времени, и, во-вторых, автоматически выполняется условие постоянства энергии.

Гамильтон сопоставил уравнение (2) с принципом Ферма, согласно которому в оптически-неоднородной среде действительные световые лучи, т. е. пути, вдоль которых движется энергия, определяются законом кратчайшего распространения света. Если рис. 1 отнести теперь к любой оптически неоднородной среде, например, к земной атмосфере, то можно, поместив в точке А источник света, который дает соответственный луч, осветить произвольно выбранную точку В. Существует определенный световой путь, от А к В, который соответствует уравнению (3) и определяется им однозначно:

Здесь, как и раньше, означает элемент пути, а — скорость света, зависящую от координат

Оба принципа, уравнения (2) и (3), становятся идентичными, если мы потребуем, чтобы

где С не должно зависеть от но зависит от Е. Таким образом, мы мысленно сконструировали оптическую среду, где многообразие возможных световых лучей совпадает с динамическими путями

материальной точки то, движущейся с данной энергией в силовом поле При этом очень важным является тот факт, что скорость света и зависит не только от координат, но также и от Е — полной энергии материальной точки. Это дает нам возможность продолжить аналогию, толкуя зависимость от Е как дисперсию, т. е. как зависимость от частоты. Для этой цели мы должны допустить, что наши световые лучи имеют строго определенную частоту зависящую от энергии Е. Мы полагаем (произвольно):

( — квант действия Планка), не останавливаясь на этом допущении, столь знакомом каждому современному физику. Тогда эта неоднородная дисперсирующая среда даст посредством своих световых лучей картину всех динамических путей нашей частицы. Мы можем пойти еще на шаг далее, задавая вопрос: можно ли создать маленький «точкообразный» световой сигнал, который двигался бы точно так же, как наша материальная точка? (До сих пор мы определили только геометрическую идентичность путей, вопрос же зависимости движения от времени оставили пока без внимания).

На первый взгляд это кажется невозможным, ибо скорость материальной точки:

(вдоль пути, т. е. при постоянном Е) обратно пропорциональна скорости света и (см. уравнение 4; С зависит только от Е). Однако нужно помнить, что и — обыкновенная фазовая скорость, тогда как маленький световой сигнал распостраняетея с так называемой групповой скоростью определяемой уравнением:

или, в нашем случае, согласно уравнению (5),

Попробуем теперь допустить, что Для этого нужно только соответственным образом выбрать имеющуюся в уравнении (4) произвольную функцию энергии С. На основании (4), (6) и (7) требование

дает:

отсюда следует:

относительно Так как V содержит координаты и С зависит только от Е, то, очевидно, уравнение выполняется, вообще говоря, только в том случае, если выражение в первой скобке равно нулю. Поэтому

вследствие чего уравнение (4) получает вид:

Это — единственная формула для фазовой скорости, дающая в нашем воображаемом случае распространения света полное совпадение между динамическими законами движения материальной точки и оптическими законами движения светового сигнала. Следует еще указать, что соответственно уравнению (4):

Определение имеет, правда, еще следующую произвольность: очевидно, Е определено только до произвольной аддитивной постоянной, так как только до этой постоянной определено Эта неопределенность не может быть устранена в нерелятивистском толковании проблемы (релятивистская трактовка в этих лекциях излагаться не будет).

Основная идея волновой механики следующая. Явление, которому классическая механика, казалось, дала адекватное описание тем, что изображала движение материальной точки, т. е. рассматривала ее координаты как функцию от времени, — это явление по новым представлениям должно быть изображено некоторым волновым движением, составляющимся из волн только что описанного вида, т. е. определенной частоты и скорости (и, следовательно, определенной длины

волны), которое мы выше определили как «свет». Математически, волновое движение изображается неограниченным числом функций от одной переменной , так сказать, непрерывным многобразием таких функций, т. е. одной функцией (или, возможно, нескольким функциями) от Эти функции удовлетворяют диференциальному уравнению с частными производными типа волнового уравнения.

Если я говорю, что действительный процесс может быть точно описан только волновым движением, то это не означает, что такое волновое движение действительно существует. В дальнейшем мы увидим, что при обобщении на любую механическую систему, то, что в ней действительно происходит, описывается волновым процессом в обобщенном координатном пространстве (-пространстве). Хотя последнее имеет определенное физическое значение, нельзя сказать, что оно «существует», так что и о волновом движении нельзя говорить, что оно «существует» в обычном смысле этого слова. Возможно, что и в рассматриваемом нами случае одной материальной точки не следует буквально говорить о волновом движении, как о чем-то реальном, хотя в этом частном случае координатное пространство случайно совпадает с обыкновенным пространством.