Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Глава 7. Проблема n частицИтак, начиная с этого момента, мы можем (рассматривая гиббсовский ансамбль, Перейдем теперь к проблеме Согласно современным воззрениям газ не может рассматриваться как состоящий из Лежащая в основе этого физическая идея заключается в том, что частицы суть кванты энергии, лишенные индивидуальности; первым «квантовым физиком» был не Макс Планк, а Демокрит из Абдеры! Отложим несколько обсуждение физического смысла этой совершенно новой точки зрения и тех экспериментальных фактов, которые вынудили нас принять ее. Займемся сначала построением с помощью нашей общей теории новой термодинамики системы
уровни одной частицы, то определенный уровень (а не класс уровней!)
частиц, находящихся, соответственно, на уровнях
(Не следует путать эту схему со схемой, приведенной ранее для величин
Знак самым теорию так называемой химической постоянной, а также теорию ферми-дираковского газа, важнейшим приложением которой является электронная теория металлов. Вычислим величину
в чем можно убедиться с первого взгляда. Следует, однако, иметь в виду, что если система конечна, то флуктуациями этих При вычислении
2) Условие постоянства общего числа частиц
может выполняться или не выполняться. Известен, впрочем, лишь один случай, когда это условие не выполняется, — это случаи Бозе-Эйнштейна, т.е. случай излучения абсолютно черного тела (фотоны). Разумеется, этот случай наиболее прост. Положим
что справедливо для всякого случая. Тогда
должно суммироваться по всем допустимым совокупностям чисел Принимая во внимание сначала лишь ограничения случая 1, а) или, соответственно, случая
Удобно объединить эти формулы следующим образом:
В этой формуле следует брать либо оба верхних знака, либо оба нижних; верхний знак относится к случаю Бозе-Эйнштейна. До сих пор мы не обращали внимания на (7.3). Как я уже указывал, это допустимо только в одном частном случае (тепловое излучение; верхний знак). Можно было бы рассмотреть в первую очередь этот простейший случай. Это кажется заманчивым, однако изложение при этом удлинилось бы. Если наложить условие (7.3), то результат (7.6) оказывается еще не окончательным, так как исходное выражение (7.5) показывает, что мы должны выбрать из (7.6) только однородные члены с показателем однородности
Тогда точное значение
где контур интегрирования расположен вокруг начала координат в комплексной плоскости Не представляет особого труда показать, что в обоих случаях подынтегральное выражение имеет при Полагая на действительной положительной оси
получаем следующие два выражения:
первое из которых определяет действительный положительный корень С (мы опускаем индекс 0), а второе дает величину
Остается доказать, что Хотя в настоящем случае строгий переход к пределу
В дальнейшем мы заменим эту сумму интегралом, который окажется пропорциональным объему V вследствие того, что для достаточно больших
(Если бы мы отказались от виртуального перехода к пределу Частная производная от (7.15) по
Это выражение раскрывает смысл уравнения (7.14). Согласно последнему уравнению средняя энергия нашего газового тела, очевидно, равна:
Читатель может сам убедиться в том, что этот результат может быть также получен из (7.15) с помощью общего соотношения:
Если не считать одного любопытного исключения (случай бозе-эйнштейновской конденсации, который мы подробно рассмотрим в дальнейшем), суммы в выражениях (7.14), (7.15) и (7.17) и им подобные могут быть заменены интегралами. При этом мы можем не беспокоиться о точных значениях уровней Ограничимся случаем, когда Число состояний (отдельной частицы), присущих «физически бесконечно малому» элементу фазового пространства, равно
Интегрируя первые три переменные по объему V и, кроме того, интегрируя по всем телесным углам
где Выражение (7.19) является распределением состояний отдельной частицы по оси импульсов
Это выражение распространяется на все случаи. Наличие квадратного корня делает его, однако, неудобным. Это неудобство, впрочем, не является существенным, поскольку практически приходится иметь дело лишь с двумя предельными случаями:
В первом случае имеем
Во втором случае с превосходным приближением получим:
Энергия покоя Величина (7.19) может быть получена совершенно сходным образом из волновой механики. Согласно асимптотической формуле, данной Г. Вейлем, для любого волнового движения, происходящего в объеме У, определяемом любыми граничными условиями, число собственных колебаний с длиной волны
Эта величина должна быть умножена на небольшое целое число, 1, 2 или 3, в зависимости от того, каковы тензорные свойства волн, определяемые различными возможными состояниями поляризации плоской волны. Термин «асимптотическая» означает, что формула становится точной в пределе
из (7.23) получаем
что дает для числа состояний между Итак, мы можем рассматривать (7.19), во-первых, как выражение, дающее число квантовых состояний частицы, и, во-вторых, как выражение, дающее число волново-механических собственных колебаний внутри ящика. Эти два эквивалентных способа интересуют нас здесь по следующей причине: вторая из этих точек зрения позволяет нам трактовать соответствует так называемому вторичному квантованию или квантованию поля.)
определяет одно-единственное состояние газа, а не класс из
состояний, перестает казаться нововведением, укладываясь в обычные представления о квантовых состояниях и их статистическом весе (одинаковом для любых двух состояний). Часто употребляемый термин «новая статистика» возник именно в связи с первой точкой зрения, основанной на представлении о частицах. Этому же соответствует и то обстоятельство, что идея новой статистики не возникла первоначально в связи с тепловым излучением, так как в этом случае волновая точка зрения была исторической, классической, — никто и не думал вначале о чем-либо ином. Волновая картина считалась (и исторически действительно была) классическим описанием явлений. Квантование волн выступило, таким образом, в роли «первичного» квантования, и никто и не помышлял о чем-либо вроде «вторичного» квантования. Только после того, как идея фотонов стала достаточно обоснованной, Бозе (около 1924 г.) указал, что наряду со статистикой «осцилляторов полого пространства» можно говорить о статистике фотонов. Эта другая статистика и есть статистика Бозе. Вскоре после этого Эйнштейн сделал то же для частиц идеального газа. Поэтому я и указал, что можно также и в этом случае говорить об обычной статистике, примененной к волново-механическим собственным колебаниям, соответствующим движению частиц газа. В связи с волновой точкой зрения в обоих случаях или, по крайней мере, во всех «случаях Бозе» возникает еще один интересный вопрос. Поскольку в случае Бозе мы, очевидно, встречаемся с простым осциллятором планковского типа, для которого
Вопрос этот, по моему мнению, следует признать открытым. По аналогии с предыдущим было бы весьма желательно остановить выбор на полунечетных числах, так как нулевая энергия планковского осциллятора После этого отступления вернемся к нашей проблеме. Мы не будем рассматривать случай фотонов, он слишком хорошо известен, и читатель легко может познакомиться с ним сам. Поэтому мы воспользуемся выражением (7.22) [совместно с (7.19)], опуская в нем несущественную постоянную Используя эти выражения, превращаем суммы (7.14), (7.15) и (7.16) в интегралы; при этом сразу же вводим повсюду безразмерную переменную интегрирования
так что интегралы сводятся к функции одного параметра ?. При этом получаем
Сразу же видно, что первое из этих уравнений (определяющее Заметим, что с помощью интегрирования по частям интеграла, содержащего логарифм, для Ф может быть получено следующее выражение:
Отсюда (используя замечание относительно
Столь же просто может быть вычислено и давление
Из (7.24) и (7.25) сразу видим, что С, а следовательно, и Ф являются лишь функциями от
имеет место в обоих случаях, а также, между прочим, и в классической теории идеального одноатомного газа (для теплового излучения
а так как это эквивалентно
то
другими словами,
|
1 |
Оглавление
|