3. Боровские стационарные энергетические состояния как собственные частоты колебания волн

Рассмотрим теперь с помощью волновой механики случай, недоступный обычной механике, а именно случай, который характеризовался как движение электрона в атоме водорода. Как нам приступить к такой проблеме? — Таким же образом, как мы рассматривали бы проблему определения всевозможных движений (колебаний) упругого тела, с той лишь разницей, что последняя проблема, благодаря существованию двух видов волн — продольных и поперечных, принимает более сложную форму. Чтобы обойти это затруднение, представим себе упругую жидкость в замкнутом сосуде. Для давления получится волновое уравнение

где и — постоянная скорость распространения продольных волн, единственно возможных в случае жидкости. Нужно найти общее решение этого дифференциального уравнения с частными производными, удовлетворяющее известным граничным условиям на поверхности сосуда.

Обычный способ решения дается подстановкой:

откуда для получается следующее уравнение:

причем подчиняется тем же граничным условиям, что и Здесь мы встречаемся с известным фактом, что не для всех значений коэффициента при т. е. не для всех частот существует регулярное, однозначное решение, удовлетворяющее уравнению и граничным условиям, но только для дискретной бесконечной последовательности частот называемых характеристическими или собственными частотами проблемы или тела. Пусть будет решением, относящимся к (в общем случае, для каждого существует с точностью до некоторого произвольного множителя только одно Так как уравнение и граничные условия однородны, то более общее решение равно:

где — произвольные постоянные; (11) является общим решением, если последовательность — полная. (Для физических применений пользуются, конечно, вещественной частью выражения 11).

В случае волн, которые должны заменить движение электрона, также встретится величина подчиненная волновому уравнению вида (10), хотя мы еще ничего не можем сказать о физическом значении Оставим на момент этот вопрос в стороне. В уравнении (10) мы должны положить для и значение [см. уравнение (8)]:

теперь не является постоянной, а зависит, во-первых, от Е, т. е. в сущности от частоты во-вторых, от координат через

потенциальную энергию V. Это те усложнения, которые появляются по сравнению с простым вышерассмотренным случаем колеблющегося жидкого тела. Ни одно из них не является существенным. Зависимостью и от Е мы ограничены в том, что можем применить волновое уравнение только к такой функции зависимость которой от времени дана в виде:

так что

Но это то же допущение, которое вводится и при обычном методе решения. Если мы подставим (12) и (8) в (10) и букву заменим на (чтобы выразить, что здесь точно также, как и раньше, мы исследуем лишь функцию координат), то найдем:

Итак, мы видим, что второе усложнение уравнения (10) (зависимость скорости и от V и, следовательно, от координат) придает уравнению (10а) только более интересную форму , выражающуюся в том, что коэффициент при уже не постоянный, а зависит от координат. Этого действительно можно было ожидать, так как уравнение, выражающее механическую проблему, должно в сущности содержать потенциальную функцию. Упрощение в случае волномеханической проблемы (по сравнению с рассмотренной проблемой жидкости) заключается в отсутствии граничных условий.

Когда я впервые занялся этим вопросом, мне это упрощение казалось неблагоприятным, так как я не был достаточно математически подготовлен и не мог себе представить, каким образом могут получиться собственные частоты без граничных условий. Позже я понял, что более сложная форма коэффицентов, а именно, появление до известной степени дает то, что обычно достигается граничными условиями — отбор определенных значений Е.

Я здесь не могу углубляться в эту несколько длительную математическую дискуссию, а также не могу останавливаться подробно на том, как находятся эти решения. Скажу только, что метод практически тот же, как и в обычной проблеме колебания: вводят соответствующие координаты (сферические, эллиптические, смотря по форме функции V) и полагают равным произведению функций, из которых

каждая содержит лишь одну координату. Сообщу лишь результаты для случая атома водорода.

Здесь нужно положить:

где - расстояние от ядра. Тогда находим, что простые, регулярные и конечные решения существуют не для всех, а только для следующих значений Е:

Константа та же, что и в (14), и в нерелятивистской волновой механике не имеет определенного значения. Правда, ее нельзя принять равной нулю, как это обычно делается ради простоты, — в этом случае все значения в 1) были бы отрицательны, а отрицательная частота означает (если она, вообще, что-нибудь означает) то же, что и положительная частота того же абсолютного значения. Тогда было бы непонятно, почему допускаются все положительные частоты, а из отрицательных — только дискретный ряд. Однако вопрос об этих постоянных здесь несущественен.

Видите, таким образом, что наше дифференциальное уравнение автоматически отбирает следующие допустимые значения Е:

1) энергетические уровни квантованных по теории Бора эллиптических орбит;

2) все энергетические уровни, относящиеся к гиперболическим орбитам.

Это весьма замечательно, ибо показывает, что, независимо от физического значения волн, теория дает метод квантования, совершенно свободный от необходимости постулирования целочисленности той или иной величины. Для того, чтобы дать представление о том, как здесь выступают целые числа, приведу пример.

Если — азимутальный угол, а амплитудная функция содержит множитель соътф, где — произвольная константа, то последняя должна быть целым числом, иначе волновая функция не была бы однозначной.

Теперь вам интересно, какой вид имеют волновые функции, относящиеся к характеристическим значениям Е, и способны ли они объяснить какие-либо экспериментальные факты. Это, действительно, имеет место, хотя представляется несколько сложным делом.