Лекция третья

8. Теория вторичного излучения и дисперсии

Предположим, что все выражения встречающиеся в показателях уравнения (28а), велики по сравнению с величиной:

Это означает, что разность между поглощенной частотой и какой-либо частотой спонтанного излучения велика по сравнению с частотой, соответствующей потенциальной энергии атома во внешнем поле (исключение для случая сильного или приближенного резонанса). При этом предположении уравнения (28а) показывают, что все производные по времени от малы по сравнению с производными экспоненциальных функций. Рассмотрим для этого случая одну из экспоненциальных функций в правой части одного из уравнений (28а). Ее коэффициент си можно рассматривать как постоянный во время периода экспоненциальной функции. Тогда этот член суммы вызовет лишь небольшое периодическое колебание с; (в левой части), которое через период экспоненциальной функции точно или с достаточной точностью снова вернется к исходному значению. То же действительно для всех экспоненциальных функций. Поэтому все с производят большое число малых колебаний вокруг своего среднего значения — колебаний, которые, конечно, исчезают с исчезновением А. Поэтому можно в правой части уравнения (28а) заменить с постоянными, а именно — их средними значениями, так как если здесь пренебречь малыми колебаниями, то отпадают только выражения с Введем для упомянутых постоянных обозначение с. Тогда уравнения легко интегрировать.

Получается:

Следовательно, I-й член в нашем решении (26) будет:

Хотя мы еще не достигли результатов, которые можно было бы сравнить с опытом, все же, руководствуясь уравнением (29), дадим описание того, что происходит под влиянием подающей световой волны. Каждое собственное колебание будет ли оно сначала возбуждено, или нет, должно совершить много малых вынужденных колебаний, а именно, два, так сказать, «в честь» каждого заметно возбужденного собственного колебания Частоты обоих вынужденных колебаний, которые совершает, как мы сказали, «в честь» равны т. е. сумме и разности поглощенной частоты и частоты свободного собственного колебания. Их амплитуды пропорциональны, во-первых, амплитуде внешнего поля и, во-вторых, амплитудам свободных колебаний кроме того, они содержат в качестве сомножителя константу т. е. ту самую постоянную, которая определяет интенсивность спонтанного испускания частоты Далее, в обеих вынужденных амплитудах встречаются два «резонансных знаменателя», которые вызывают быстрое увеличение одной из амплитуд, если частота падающего света приближается к частоте спонтанного излучения

Прежде, чем составить из (26) и (29) полное решение, ограничимся важным случаем, когда возбуждено только одно собственное колебание, скажем

Мы можем предположить, что соответствует нормальному состоянию. Тогда в правой части уравнения (29) отпадает первое: выражение (кроме случая и знак суммы, и мы для полного решения получаем [уравнение (6), где к нужно заменить через

(Обратите внимание, что теперь экспоненты независимы от суммационных индексов ; имеется только две частоты вынужденного колебания.) Чтобы определить вторичное излучение, образуем из (30) компоненту результирующего электрического момента. Если пренебречь

малыми выражениями второго порядка (пропорциональными ), то после приведения находим:

Первый член независим от времени. Он равен постоянному электрическому моменту, соответствующему возбуждению свободного колебания Этот постоянный момент нас здесь не интересует. Второе выражение определяет вторичную волну. Видно, что ее частота совпадает с частотой электрического вектора поглощаемого колебания Обе имеют равные или противоположные фазы в зависимости от того, имеет ли место или — точно как в классической механике. Это имеет место в том случае, если соответствует нормальному состоянию, так что всегда положительны. Если же они становятся отрицательными, то справедливо обратное (члены Крамера в формуле дисперсии). Величина а в уравнении (26), определяющая по (24) увеличение показателя преломления, получится из второго члена (31), если отбросить Знаменатели дают явление аномальной дисперсии вблизи всех тех эмиссионных (или абсорбционных) частот, где имеет место собственное колебание. (Вспомним наше предположение о том, что возбуждено только это единственное свободное колебание). Величина в числителе та же, которая определяет интенсивность спонтанного испускания Во всех этих пунктах формула является точным отображением старой формулы Гельмгольца (дополненной «отрицательными» членами Крамера), и, как полагают, находится в полном согласии с экспериментом.

Следует упомянуть о двух дальнейших обстоятельствах. Известно, что Томас и Кун выдвинули гипотезу, согласно которой сумму всех коэффициентов формулы дисперсии, в нашем случае

следует приравнять значению коэффициента для одного квазиупруго связанного электрона, т. е. положить равной:

(в нашем случае, значению для одного электрона, ибо мы занимаемся атомом с одним электроном; в общем случае — целому кратному этого значения). Равенство обеих упомянутых величин может быть доказано для нашей дисперсионной формулы. Но доказательство несколько кропотливо, поэтому я здесь его не приведу.

Второе обстоятельство следующее. Вы, вероятно, помните допущение, впервые сделанное Смекалем, что существует и такое вторичное излучение, частоты которого отличны от частоты поглощаемых лучей (так что отсутствует связь между фазами, а с ней и влияние на показатель преломления). Частоты, которые можно было бы ожидать, следующие:

Вторичное излучение точно таких же частот дает и настоящая теория, если отказаться от нашего упрощающего предположения, что возбуждено только одно свободное колебание, а имеется, по меньшей мере, два таких колебания, скажем, и