13. Возмущение произвольной системы

Теория возмущения любой системы не имеет существенных новых черт по сравнению с теорией возмущения атома с одним электроном, частный случай которого мы рассмотрели в § 7-9. Однако для ясности представим ее еще раз в сжатом виде. Общее волновое уравнение по § 10 можно написать в виде:

Введем оператор

(V в качестве оператора означает «умножение на Тогда по уравнению (43) собственными функциями являются те же самые собственные функции и воспроизводятся до постоянного множителя применением к ним оператора Н. Эта постоянная равна соответственному собственному значению; следовательно:

При этом уравнение (54) принимает простой вид:

Приложение к V небольшого возмущения, независимо от того, содержит ли оно явно время или нет, означает небольшое изменение оператора Н. (Конечно, изменение Н можно получить и иным путем, например, изменением одной из масс и т. п. Этот общий случай можно включить в наше рассмотрение.) Обозначим возмущенный оператор через , учтя при этом, что Н должно быть «малым» оператором. Нам нужно, следовательно, решить уравнение:

Если ввести:

где — медленно изменяющиеся со временем функции, то получим:

Это уравнение удовлетворяется, если оно ортогонально ко всем Умножая на и интегрируя по всему координатному пространству,

имеем:

где

— многократный интеграл по всему координатному пространству, — малые величины. Предположим, что возмущение консервативно; тогда постоянны. Так же, как и в рассмотренных частных случаях, заметное изменение вызывают только экспоненциальные функции с исчезающими показателями. Предположим сперва, что система невырождена. Тогда, отбросив остальные члены, дающие только небольшие колебания, получим для каждого

что, будучи введено в (58), означает ничто иное, как небольшое изменение частоты — на величину Рассмотрите теперь случай вырождения. Тогда одному собственному значению и частоте соответствуют амплитуды разных собственных функций, и в каждом из соответствующих уравнений получается не один, а а исчезающих экспонентов, являющихся причиной вековых изменений. Эти а амплитуд определяются следующим рядом уравнений:

Они показывают, что под влиянием незначительного возмущения обычно происходит обмен между амплитудами вырожденных колебаний, относящихся к одному и тому же собственному значению. Следует говорить об обмене, так как из уравнения (62) можно легко показать, что

Однако, говоря об обмене, не нужно забывать, что ряд собственных функций

является произвольным вплоть до ортогональной линейной подстановки с детерминантом 1. Последняя приводит к подобной замене амплитуд Если задано определенное возмущение, т. е. определенные

значения то всегда возможно найти по меньшей мере одну ортогональную подстановку приводящую уравнение (62) к простому виду невырожденного случая (61). Тогда эти специальные собственные функции, выбранные так, чтобы соответствовать особой форме возмущения, имеют под влиянием возмущения постоянные квадраты амплитуд, но в общем соответствуют различным собственным частотам, -кратное собственное значение расщеплено на а несколько отличных друг от друга собственных значений. Вырождение уничтожено полем возмущения; специально выбранные собственные функции вырожденной проблемы являются невырожденными функциями «нулевого приближения» для отдельных собственных значений возмущенной проблемы.

Можно показать, что небольшие изменения в собственных значениях являются -корнями векового уравнения:

Может случиться, что не все эти корни между собой различны; тогда вырождение уничтожено не полностью. Следовательно, утверждение о том, что в произвольно выбранном ряду все вырожденные функции колеблются с невозмущенной частотой, но меняют свои амплитуды, или что соответственно выбранный ряд имеет постоянные амплитуды, но каждая функция обладает несколько отличной частотой — это, естественно, одно и то же. Это можно понимать так: либо колебание с переменной амплитудой имеет в действительности не ту частоту, которую мы ему приписываем, либо две или более малоотличные между собой частоты при наложении приводят к явлению «биения», т. е. к переменной амплитуде.